Theorem abvdom 20985

Description: Any ring with an absolute value is a domain, which is to say that it contains no zero divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvrec.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
abvdom.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvdom	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem abvdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝐹 ∈ 𝐴)
2		simp2l 1218	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simp3l 1220	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		abv0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
5		abvneg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		abvdom.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	4, 5, 6	abvmul 20976	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘𝑌)))
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘𝑌)))
9	4, 5	abvcl 20971	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
10	1, 2, 9	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11254	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
12	4, 5	abvcl 20971	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℝ)
13	1, 3, 12	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11254	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℂ)
15		simp2r 1219	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑋 ≠ 0 )
16		abvrec.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
17	4, 5, 16	abvne0 20974	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐹‘𝑋) ≠ 0)
18	1, 2, 15, 17	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ≠ 0)
19		simp3r 1221	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑌 ≠ 0 )
20	4, 5, 16	abvne0 20974	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝐹‘𝑌) ≠ 0)
21	1, 3, 19, 20	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑌) ≠ 0)
22	11, 14, 18, 21	mulne0d 11883	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘𝑌)) ≠ 0)
23	8, 22	eqnetrd 3027	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ≠ 0)
24	4, 16	abv0 20978	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘ 0 ) = 0)
25	1, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘ 0 ) = 0)
26		fveqeq2 6894	. . . 4 ⊢ ((𝑋 · 𝑌) = 0 → ((𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = 0 ↔ (𝐹‘ 0 ) = 0))
27	25, 26	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = 0))
28	27	necon3d 2981	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → ((𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ≠ 0 → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
29	23, 28	mpd 16	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  0cc0 11117   · cmul 11122  Basecbs 17293  ._rcmulr 17335  0_gc0g 17516  AbsValcabv 20963

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-ico 13396  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-ring 20363  df-abv 20964

This theorem is used by:  abvn0b  20991