Theorem abvdom 21102

Description: Any ring with an absolute value is a domain, which is to say that it contains no zero divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvrec.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
abvdom.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvdom	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem abvdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝐹 ∈ 𝐴)
2		simp2l 1218	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simp3l 1220	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		abv0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
5		abvneg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		abvdom.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	4, 5, 6	abvmul 21093	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘𝑌)))
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘𝑌)))
9	4, 5	abvcl 21088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
10	1, 2, 9	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11350	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
12	4, 5	abvcl 21088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℝ)
13	1, 3, 12	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11350	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℂ)
15		simp2r 1219	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑋 ≠ 0 )
16		abvrec.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
17	4, 5, 16	abvne0 21091	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐹‘𝑋) ≠ 0)
18	1, 2, 15, 17	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ≠ 0)
19		simp3r 1221	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑌 ≠ 0 )
20	4, 5, 16	abvne0 21091	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝐹‘𝑌) ≠ 0)
21	1, 3, 19, 20	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑌) ≠ 0)
22	11, 14, 18, 21	mulne0d 11981	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘𝑌)) ≠ 0)
23	8, 22	eqnetrd 3026	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ≠ 0)
24	4, 16	abv0 21095	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘ 0 ) = 0)
25	1, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘ 0 ) = 0)
26		fveqeq2 6905	. . . 4 ⊢ ((𝑋 · 𝑌) = 0 → ((𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = 0 ↔ (𝐹‘ 0 ) = 0))
27	25, 26	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = 0))
28	27	necon3d 2980	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → ((𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ≠ 0 → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
29	23, 28	mpd 16	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  0cc0 11213   · cmul 11218  Basecbs 17402  ._rcmulr 17444  0_gc0g 17625  AbsValcabv 21080

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-ico 13495  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-ring 20476  df-abv 21081

This theorem is used by:  abvn0b  21108