Theorem abvdom 19608

Description: Any ring with an absolute value is a domain, which is to say that it contains no zero divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvrec.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
abvdom.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvdom	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem abvdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝐹 ∈ 𝐴)
2		simp2l 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simp3l 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		abv0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
5		abvneg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		abvdom.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	4, 5, 6	abvmul 19599	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘𝑌)))
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘𝑌)))
9	4, 5	abvcl 19594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
10	1, 2, 9	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
11	10	recnd 10668	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
12	4, 5	abvcl 19594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℝ)
13	1, 3, 12	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℝ)
14	13	recnd 10668	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℂ)
15		simp2r 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑋 ≠ 0 )
16		abvrec.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
17	4, 5, 16	abvne0 19597	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐹‘𝑋) ≠ 0)
18	1, 2, 15, 17	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ≠ 0)
19		simp3r 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑌 ≠ 0 )
20	4, 5, 16	abvne0 19597	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝐹‘𝑌) ≠ 0)
21	1, 3, 19, 20	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑌) ≠ 0)
22	11, 14, 18, 21	mulne0d 11291	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘𝑌)) ≠ 0)
23	8, 22	eqnetrd 3083	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ≠ 0)
24	4, 16	abv0 19601	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘ 0 ) = 0)
25	1, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘ 0 ) = 0)
26		fveqeq2 6678	. . . 4 ⊢ ((𝑋 · 𝑌) = 0 → ((𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = 0 ↔ (𝐹‘ 0 ) = 0))
27	25, 26	syl5ibrcom 249	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = 0))
28	27	necon3d 3037	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → ((𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ≠ 0 → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
29	23, 28	mpd 15	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℝcr 10535  0cc0 10536   · cmul 10541  Basecbs 16482  ._rcmulr 16565  0_gc0g 16712  AbsValcabv 19586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-ico 12743  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-ring 19298  df-abv 19587

This theorem is referenced by:  abvn0b  20074