MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvdom Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem abvdom 20589
Description: Any ring with an absolute value is a domain, which is to say that it contains no zero divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvneg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
abvrec.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
abvdom.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abvdom ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) β‰  0 )
Proof of Theorem abvdom
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
2 simp2l 1197 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simp3l 1199 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 abv0.a . . . . 5 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
5 abvneg.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
6 abvdom.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
74, 5, 6abvmul 20580 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) Β· (πΉβ€˜π‘Œ)))
81, 2, 3, 7syl3anc 1369 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) Β· (πΉβ€˜π‘Œ)))
94, 5abvcl 20575 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
101, 2, 9syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
1110recnd 11246 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
124, 5abvcl 20575 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
131, 3, 12syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
1413recnd 11246 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ β„‚)
15 simp2r 1198 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ 𝑋 β‰  0 )
16 abvrec.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
174, 5, 16abvne0 20578 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  0)
181, 2, 15, 17syl3anc 1369 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  0)
19 simp3r 1200 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ π‘Œ β‰  0 )
204, 5, 16abvne0 20578 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) β‰  0)
211, 3, 19, 20syl3anc 1369 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) β‰  0)
2211, 14, 18, 21mulne0d 11870 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) Β· (πΉβ€˜π‘Œ)) β‰  0)
238, 22eqnetrd 3006 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) β‰  0)
244, 16abv0 20582 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
251, 24syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = 0)
26 fveqeq2 6899 . . . 4 ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = 0 ↔ (πΉβ€˜ 0 ) = 0))
2725, 26syl5ibrcom 246 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) = 0 β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = 0))
2827necon3d 2959 . 2 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) β‰  0 β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) β‰  0 ))
2923, 28mpd 15 1 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  0gc0g 17389  AbsValcabv 20567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-ico 13334  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-ring 20129  df-abv 20568
This theorem is referenced by:  abvn0b  21120
  Copyright terms: Public domain W3C validator