MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvrec 20829
Description: The absolute value distributes under reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvrec.z 0 = (0g𝑅)
abvrec.p 𝐼 = (invr𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvrec (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(𝐼𝑋)) = (1 / (𝐹𝑋)))

Proof of Theorem abvrec
StepHypRef Expression
1 simplr 769 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → 𝐹𝐴)
2 simprl 771 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → 𝑋𝐵)
3 abv0.a . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
4 abvneg.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
53, 4abvcl 20817 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
61, 2, 5syl2anc 584 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
76recnd 11289 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
8 simpll 767 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
9 simprr 773 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → 𝑋0 )
10 abvrec.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
11 abvrec.p . . . . . 6 𝐼 = (invr𝑅)
124, 10, 11drnginvrcl 20753 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
138, 2, 9, 12syl3anc 1373 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
143, 4abvcl 20817 . . . 4 ((𝐹𝐴 ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝐼𝑋)) ∈ ℝ)
151, 13, 14syl2anc 584 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(𝐼𝑋)) ∈ ℝ)
1615recnd 11289 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(𝐼𝑋)) ∈ ℂ)
173, 4, 10abvne0 20820 . . 3 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝐹𝑋) ≠ 0)
181, 2, 9, 17syl3anc 1373 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹𝑋) ≠ 0)
19 eqid 2737 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
20 eqid 2737 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
214, 10, 19, 20, 11drnginvrr 20757 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝑋(.r𝑅)(𝐼𝑋)) = (1r𝑅))
228, 2, 9, 21syl3anc 1373 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝑋(.r𝑅)(𝐼𝑋)) = (1r𝑅))
2322fveq2d 6910 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)(𝐼𝑋))) = (𝐹‘(1r𝑅)))
243, 4, 19abvmul 20822 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)(𝐼𝑋))) = ((𝐹𝑋) · (𝐹‘(𝐼𝑋))))
251, 2, 13, 24syl3anc 1373 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)(𝐼𝑋))) = ((𝐹𝑋) · (𝐹‘(𝐼𝑋))))
263, 20abv1 20826 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) → (𝐹‘(1r𝑅)) = 1)
2726adantr 480 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(1r𝑅)) = 1)
2823, 25, 273eqtr3d 2785 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → ((𝐹𝑋) · (𝐹‘(𝐼𝑋))) = 1)
297, 16, 18, 28mvllmuld 12099 1 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(𝐼𝑋)) = (1 / (𝐹𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   / cdiv 11920  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  1rcur 20178  invrcinvr 20387  DivRingcdr 20729  AbsValcabv 20809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-ico 13393  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-abv 20810
This theorem is referenced by:  abvdiv  20830
  Copyright terms: Public domain W3C validator