MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvrec 20723
Description: The absolute value distributes under reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvrec.z 0 = (0g𝑅)
abvrec.p 𝐼 = (invr𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvrec (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(𝐼𝑋)) = (1 / (𝐹𝑋)))

Proof of Theorem abvrec
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → 𝐹𝐴)
2 simprl 769 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → 𝑋𝐵)
3 abv0.a . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
4 abvneg.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
53, 4abvcl 20711 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
61, 2, 5syl2anc 582 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
76recnd 11280 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
8 simpll 765 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
9 simprr 771 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → 𝑋0 )
10 abvrec.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
11 abvrec.p . . . . . 6 𝐼 = (invr𝑅)
124, 10, 11drnginvrcl 20653 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
138, 2, 9, 12syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
143, 4abvcl 20711 . . . 4 ((𝐹𝐴 ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝐼𝑋)) ∈ ℝ)
151, 13, 14syl2anc 582 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(𝐼𝑋)) ∈ ℝ)
1615recnd 11280 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(𝐼𝑋)) ∈ ℂ)
173, 4, 10abvne0 20714 . . 3 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝐹𝑋) ≠ 0)
181, 2, 9, 17syl3anc 1368 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹𝑋) ≠ 0)
19 eqid 2728 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
20 eqid 2728 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
214, 10, 19, 20, 11drnginvrr 20657 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝑋(.r𝑅)(𝐼𝑋)) = (1r𝑅))
228, 2, 9, 21syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝑋(.r𝑅)(𝐼𝑋)) = (1r𝑅))
2322fveq2d 6906 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)(𝐼𝑋))) = (𝐹‘(1r𝑅)))
243, 4, 19abvmul 20716 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)(𝐼𝑋))) = ((𝐹𝑋) · (𝐹‘(𝐼𝑋))))
251, 2, 13, 24syl3anc 1368 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)(𝐼𝑋))) = ((𝐹𝑋) · (𝐹‘(𝐼𝑋))))
263, 20abv1 20720 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) → (𝐹‘(1r𝑅)) = 1)
2726adantr 479 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(1r𝑅)) = 1)
2823, 25, 273eqtr3d 2776 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → ((𝐹𝑋) · (𝐹‘(𝐼𝑋))) = 1)
297, 16, 18, 28mvllmuld 12084 1 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(𝐼𝑋)) = (1 / (𝐹𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  cfv 6553  (class class class)co 7426  cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   · cmul 11151   / cdiv 11909  Basecbs 17187  .rcmulr 17241  0gc0g 17428  1rcur 20128  invrcinvr 20333  DivRingcdr 20631  AbsValcabv 20703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-ico 13370  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-drng 20633  df-abv 20704
This theorem is referenced by:  abvdiv  20724
  Copyright terms: Public domain W3C validator