MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvrec Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem abvrec 20677
Description: The absolute value distributes under reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvneg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
abvrec.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
abvrec.p 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abvrec (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(πΌβ€˜π‘‹)) = (1 / (πΉβ€˜π‘‹)))
Proof of Theorem abvrec
StepHypRef Expression
1 simplr 766 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
2 simprl 768 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 abv0.a . . . . 5 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
4 abvneg.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
53, 4abvcl 20665 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
61, 2, 5syl2anc 583 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
76recnd 11243 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
8 simpll 764 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
9 simprr 770 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ 𝑋 β‰  0 )
10 abvrec.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
11 abvrec.p . . . . . 6 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
124, 10, 11drnginvrcl 20607 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
138, 2, 9, 12syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
143, 4abvcl 20665 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(πΌβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
151, 13, 14syl2anc 583 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(πΌβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
1615recnd 11243 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(πΌβ€˜π‘‹)) ∈ β„‚)
173, 4, 10abvne0 20668 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  0)
181, 2, 9, 17syl3anc 1368 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  0)
19 eqid 2726 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
20 eqid 2726 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
214, 10, 19, 20, 11drnginvrr 20611 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘…))
228, 2, 9, 21syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘…))
2322fveq2d 6888 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹))) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
243, 4, 19abvmul 20670 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹))) = ((πΉβ€˜π‘‹) Β· (πΉβ€˜(πΌβ€˜π‘‹))))
251, 2, 13, 24syl3anc 1368 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹))) = ((πΉβ€˜π‘‹) Β· (πΉβ€˜(πΌβ€˜π‘‹))))
263, 20abv1 20674 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1)
2726adantr 480 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1)
2823, 25, 273eqtr3d 2774 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) Β· (πΉβ€˜(πΌβ€˜π‘‹))) = 1)
297, 16, 18, 28mvllmuld 12047 1 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(πΌβ€˜π‘‹)) = (1 / (πΉβ€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   / cdiv 11872  Basecbs 17151  .rcmulr 17205  0gc0g 17392  1rcur 20084  invrcinvr 20287  DivRingcdr 20585  AbsValcabv 20657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-ico 13333  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-drng 20587  df-abv 20658
This theorem is referenced by:  abvdiv  20678
  Copyright terms: Public domain W3C validator