MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvrec 19192
Description: The absolute value distributes under reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvrec.z 0 = (0g𝑅)
abvrec.p 𝐼 = (invr𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvrec (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(𝐼𝑋)) = (1 / (𝐹𝑋)))

Proof of Theorem abvrec
StepHypRef Expression
1 simplr 787 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → 𝐹𝐴)
2 simprl 789 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → 𝑋𝐵)
3 abv0.a . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
4 abvneg.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
53, 4abvcl 19180 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
61, 2, 5syl2anc 581 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
76recnd 10385 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
8 simpll 785 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
9 simprr 791 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → 𝑋0 )
10 abvrec.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
11 abvrec.p . . . . . 6 𝐼 = (invr𝑅)
124, 10, 11drnginvrcl 19120 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
138, 2, 9, 12syl3anc 1496 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
143, 4abvcl 19180 . . . 4 ((𝐹𝐴 ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝐼𝑋)) ∈ ℝ)
151, 13, 14syl2anc 581 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(𝐼𝑋)) ∈ ℝ)
1615recnd 10385 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(𝐼𝑋)) ∈ ℂ)
173, 4, 10abvne0 19183 . . 3 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝐹𝑋) ≠ 0)
181, 2, 9, 17syl3anc 1496 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹𝑋) ≠ 0)
19 eqid 2825 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
20 eqid 2825 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
214, 10, 19, 20, 11drnginvrr 19123 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝑋(.r𝑅)(𝐼𝑋)) = (1r𝑅))
228, 2, 9, 21syl3anc 1496 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝑋(.r𝑅)(𝐼𝑋)) = (1r𝑅))
2322fveq2d 6437 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)(𝐼𝑋))) = (𝐹‘(1r𝑅)))
243, 4, 19abvmul 19185 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)(𝐼𝑋))) = ((𝐹𝑋) · (𝐹‘(𝐼𝑋))))
251, 2, 13, 24syl3anc 1496 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)(𝐼𝑋))) = ((𝐹𝑋) · (𝐹‘(𝐼𝑋))))
263, 20abv1 19189 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) → (𝐹‘(1r𝑅)) = 1)
2726adantr 474 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(1r𝑅)) = 1)
2823, 25, 273eqtr3d 2869 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → ((𝐹𝑋) · (𝐹‘(𝐼𝑋))) = 1)
297, 16, 18, 28mvllmuld 11183 1 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝐹‘(𝐼𝑋)) = (1 / (𝐹𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999  cfv 6123  (class class class)co 6905  cr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   · cmul 10257   / cdiv 11009  Basecbs 16222  .rcmulr 16306  0gc0g 16453  1rcur 18855  invrcinvr 19025  DivRingcdr 19103  AbsValcabv 19172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-tpos 7617  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-ico 12469  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-0g 16455  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-oppr 18977  df-dvdsr 18995  df-unit 18996  df-invr 19026  df-drng 19105  df-abv 19173
This theorem is referenced by:  abvdiv  19193
  Copyright terms: Public domain W3C validator