Theorem abvrec 20851

Description: The absolute value distributes under reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvrec.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
abvrec.p	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvrec	⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝐼‘𝑋)) = (1 / (𝐹‘𝑋)))

Proof of Theorem abvrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝐹 ∈ 𝐴)
2		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		abv0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
4		abvneg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	3, 4	abvcl 20839	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
6	1, 2, 5	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11318	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
8		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
9		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝑋 ≠ 0 )
10		abvrec.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		abvrec.p	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
12	4, 10, 11	drnginvrcl 20775	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
13	8, 2, 9, 12	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	3, 4	abvcl 20839	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝐼‘𝑋)) ∈ ℝ)
15	1, 13, 14	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝐼‘𝑋)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11318	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝐼‘𝑋)) ∈ ℂ)
17	3, 4, 10	abvne0 20842	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐹‘𝑋) ≠ 0)
18	1, 2, 9, 17	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ≠ 0)
19		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
20		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
21	4, 10, 19, 20, 11	drnginvrr 20779	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋)) = (1r‘𝑅))
22	8, 2, 9, 21	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋)) = (1r‘𝑅))
23	22	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋))) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
24	3, 4, 19	abvmul 20844	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋))) = ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘(𝐼‘𝑋))))
25	1, 2, 13, 24	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋))) = ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘(𝐼‘𝑋))))
26	3, 20	abv1 20848	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1)
27	26	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1)
28	23, 25, 27	3eqtr3d 2788	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘(𝐼‘𝑋))) = 1)
29	7, 16, 18, 28	mvllmuld 12126	1 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝐼‘𝑋)) = (1 / (𝐹‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   / cdiv 11947  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  1_rcur 20208  inv_rcinvr 20413  DivRingcdr 20751  AbsValcabv 20831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-ico 13413  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-drng 20753  df-abv 20832

This theorem is referenced by:  abvdiv  20852