MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvrec 20716
Description: The absolute value distributes under reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvneg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
abvrec.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
abvrec.p 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abvrec (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(πΌβ€˜π‘‹)) = (1 / (πΉβ€˜π‘‹)))

Proof of Theorem abvrec
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
2 simprl 770 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 abv0.a . . . . 5 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
4 abvneg.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
53, 4abvcl 20704 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
61, 2, 5syl2anc 583 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
76recnd 11273 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
8 simpll 766 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
9 simprr 772 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ 𝑋 β‰  0 )
10 abvrec.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
11 abvrec.p . . . . . 6 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
124, 10, 11drnginvrcl 20646 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
138, 2, 9, 12syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
143, 4abvcl 20704 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(πΌβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
151, 13, 14syl2anc 583 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(πΌβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
1615recnd 11273 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(πΌβ€˜π‘‹)) ∈ β„‚)
173, 4, 10abvne0 20707 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  0)
181, 2, 9, 17syl3anc 1369 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) β‰  0)
19 eqid 2728 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
20 eqid 2728 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
214, 10, 19, 20, 11drnginvrr 20650 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘…))
228, 2, 9, 21syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘…))
2322fveq2d 6901 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹))) = (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)))
243, 4, 19abvmul 20709 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹))) = ((πΉβ€˜π‘‹) Β· (πΉβ€˜(πΌβ€˜π‘‹))))
251, 2, 13, 24syl3anc 1369 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹))) = ((πΉβ€˜π‘‹) Β· (πΉβ€˜(πΌβ€˜π‘‹))))
263, 20abv1 20713 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1)
2726adantr 480 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(1rβ€˜π‘…)) = 1)
2823, 25, 273eqtr3d 2776 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) Β· (πΉβ€˜(πΌβ€˜π‘‹))) = 1)
297, 16, 18, 28mvllmuld 12077 1 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(πΌβ€˜π‘‹)) = (1 / (πΉβ€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   Β· cmul 11144   / cdiv 11902  Basecbs 17180  .rcmulr 17234  0gc0g 17421  1rcur 20121  invrcinvr 20326  DivRingcdr 20624  AbsValcabv 20696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-ico 13363  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-drng 20626  df-abv 20697
This theorem is referenced by:  abvdiv  20717
  Copyright terms: Public domain W3C validator