Theorem abvrec 20800

Description: The absolute value distributes under reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvrec.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
abvrec.p	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvrec	⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝐼‘𝑋)) = (1 / (𝐹‘𝑋)))

Proof of Theorem abvrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 774	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝐹 ∈ 𝐴)
2		simprl 776	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		abv0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
4		abvneg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5	3, 4	abvcl 20788	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
6	1, 2, 5	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11164	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
8		simpll 772	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
9		simprr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → 𝑋 ≠ 0 )
10		abvrec.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		abvrec.p	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
12	4, 10, 11	drnginvrcl 20725	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
13	8, 2, 9, 12	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	3, 4	abvcl 20788	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝐼‘𝑋)) ∈ ℝ)
15	1, 13, 14	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝐼‘𝑋)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11164	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝐼‘𝑋)) ∈ ℂ)
17	3, 4, 10	abvne0 20791	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐹‘𝑋) ≠ 0)
18	1, 2, 9, 17	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ≠ 0)
19		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
20		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
21	4, 10, 19, 20, 11	drnginvrr 20729	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋)) = (1r‘𝑅))
22	8, 2, 9, 21	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋)) = (1r‘𝑅))
23	22	fveq2d 6831	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋))) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
24	3, 4, 19	abvmul 20793	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋))) = ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘(𝐼‘𝑋))))
25	1, 2, 13, 24	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r‘𝑅)(𝐼‘𝑋))) = ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘(𝐼‘𝑋))))
26	3, 20	abv1 20797	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1)
27	26	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1)
28	23, 25, 27	3eqtr3d 2782	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘(𝐼‘𝑋))) = 1)
29	7, 16, 18, 28	mvllmuld 11978	1 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝐼‘𝑋)) = (1 / (𝐹‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   / cdiv 11798  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393  1_rcur 20153  inv_rcinvr 20358  DivRingcdr 20701  AbsValcabv 20780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-ico 13295  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-drng 20703  df-abv 20781

This theorem is referenced by:  abvdiv  20801