MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acni 10083
Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acni ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐴   𝑔,𝐹,𝑥   𝑔,𝑋,𝑥

Proof of Theorem acni
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6906 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
21eleq2d 2825 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥) ↔ (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
32ralbidv 3176 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
43exbidv 1919 . 2 (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥) ↔ ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
5 acnrcl 10080 . . . . 5 (𝑋AC 𝐴𝐴 ∈ V)
6 isacn 10082 . . . . 5 ((𝑋AC 𝐴𝐴 ∈ V) → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥)))
75, 6mpdan 687 . . . 4 (𝑋AC 𝐴 → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥)))
87ibi 267 . . 3 (𝑋AC 𝐴 → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥))
98adantr 480 . 2 ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥))
10 pwexg 5384 . . . . 5 (𝑋AC 𝐴 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
1110difexd 5337 . . . 4 (𝑋AC 𝐴 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ∈ V)
1211, 5elmapd 8879 . . 3 (𝑋AC 𝐴 → (𝐹 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})))
1312biimpar 477 . 2 ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → 𝐹 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴))
144, 9, 13rspcdva 3623 1 ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  cdif 3960  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  AC wacn 9976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-acn 9980
This theorem is referenced by:  acni2  10084
  Copyright terms: Public domain W3C validator