MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acni 10085
Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acni ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐴   𝑔,𝐹,𝑥   𝑔,𝑋,𝑥

Proof of Theorem acni
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6905 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
21eleq2d 2827 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥) ↔ (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
32ralbidv 3178 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
43exbidv 1921 . 2 (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥) ↔ ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
5 acnrcl 10082 . . . . 5 (𝑋AC 𝐴𝐴 ∈ V)
6 isacn 10084 . . . . 5 ((𝑋AC 𝐴𝐴 ∈ V) → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥)))
75, 6mpdan 687 . . . 4 (𝑋AC 𝐴 → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥)))
87ibi 267 . . 3 (𝑋AC 𝐴 → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥))
98adantr 480 . 2 ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥))
10 pwexg 5378 . . . . 5 (𝑋AC 𝐴 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
1110difexd 5331 . . . 4 (𝑋AC 𝐴 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ∈ V)
1211, 5elmapd 8880 . . 3 (𝑋AC 𝐴 → (𝐹 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})))
1312biimpar 477 . 2 ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → 𝐹 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴))
144, 9, 13rspcdva 3623 1 ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cdif 3948  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  AC wacn 9978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-acn 9982
This theorem is referenced by:  acni2  10086
  Copyright terms: Public domain W3C validator