Theorem acni 9994

Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acni	⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐴   𝑔,𝐹,𝑥   𝑔,𝑋,𝑥

Proof of Theorem acni

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6860	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
2	1	eleq2d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥) ↔ (𝑔‘𝑥) ∈ (𝐹‘𝑥)))
3	2	ralbidv 3184	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝐹‘𝑥)))
4	3	exbidv 1940	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥) ↔ ∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝐹‘𝑥)))
5		acnrcl 9991	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
6		isacn 9993	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑋 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥)))
7	5, 6	mpdan 697	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (𝑋 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥)))
8	7	ibi 269	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥))
9	8	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥))
10		pwexg 5332	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
11	10	difexd 5284	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ∈ V)
12	11, 5	elmapd 8814	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (𝐹 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})))
13	12	biimpar 481	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → 𝐹 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴))
14	4, 9, 13	rspcdva 3581	1 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  {csn 4579  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8801  AC wacn 9889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-fv 6523  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8803  df-acn 9893

This theorem is referenced by:  acni2  9995