Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acni 9456
 Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acni ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐴   𝑔,𝐹,𝑥   𝑔,𝑋,𝑥

Proof of Theorem acni
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6650 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
21eleq2d 2901 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥) ↔ (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
32ralbidv 3191 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
43exbidv 1923 . 2 (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥) ↔ ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
5 acnrcl 9453 . . . . 5 (𝑋AC 𝐴𝐴 ∈ V)
6 isacn 9455 . . . . 5 ((𝑋AC 𝐴𝐴 ∈ V) → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥)))
75, 6mpdan 686 . . . 4 (𝑋AC 𝐴 → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥)))
87ibi 270 . . 3 (𝑋AC 𝐴 → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥))
98adantr 484 . 2 ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥))
10 pwexg 5260 . . . . 5 (𝑋AC 𝐴 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
11 difexg 5212 . . . . 5 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ∈ V)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝑋AC 𝐴 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ∈ V)
1312, 5elmapd 8403 . . 3 (𝑋AC 𝐴 → (𝐹 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})))
1413biimpar 481 . 2 ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → 𝐹 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴))
154, 9, 14rspcdva 3610 1 ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2115  ∀wral 3132  Vcvv 3479   ∖ cdif 3915  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4520  {csn 4548  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138   ↑m cmap 8389  AC wacn 9351 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-br 5048  df-opab 5110  df-id 5441  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-fv 6344  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-map 8391  df-acn 9355 This theorem is referenced by:  acni2  9457
 Copyright terms: Public domain W3C validator