Theorem acni 10064

Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acni	⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐴   𝑔,𝐹,𝑥   𝑔,𝑋,𝑥

Proof of Theorem acni

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6880	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
2	1	eleq2d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥) ↔ (𝑔‘𝑥) ∈ (𝐹‘𝑥)))
3	2	ralbidv 3164	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝐹‘𝑥)))
4	3	exbidv 1921	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥) ↔ ∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝐹‘𝑥)))
5		acnrcl 10061	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
6		isacn 10063	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑋 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥)))
7	5, 6	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (𝑋 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥)))
8	7	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥))
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥))
10		pwexg 5353	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
11	10	difexd 5306	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ∈ V)
12	11, 5	elmapd 8859	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (𝐹 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})))
13	12	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → 𝐹 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴))
14	4, 9, 13	rspcdva 3607	1 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928  ∅c0 4313  𝒫 cpw 4580  {csn 4606  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8845  AC wacn 9957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8847  df-acn 9961

This theorem is referenced by:  acni2  10065