Theorem acni 9732

Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acni	⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐴   𝑔,𝐹,𝑥   𝑔,𝑋,𝑥

Proof of Theorem acni

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6755	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
2	1	eleq2d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥) ↔ (𝑔‘𝑥) ∈ (𝐹‘𝑥)))
3	2	ralbidv 3120	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝐹‘𝑥)))
4	3	exbidv 1925	. 2 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥) ↔ ∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝐹‘𝑥)))
5		acnrcl 9729	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
6		isacn 9731	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑋 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥)))
7	5, 6	mpdan 683	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (𝑋 ∈ AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥)))
8	7	ibi 266	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥))
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴)∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝑓‘𝑥))
10		pwexg 5296	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
11	10	difexd 5248	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ∈ V)
12	11, 5	elmapd 8587	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (𝐹 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})))
13	12	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → 𝐹 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑m 𝐴))
14	4, 9, 13	rspcdva 3554	1 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑔∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  AC wacn 9627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-map 8575  df-acn 9631

This theorem is referenced by:  acni2  9733