Theorem acni2 9982

Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acni2	⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐴   𝐵,𝑔   𝑔,𝑋,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem acni2

Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4747	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
2		elpw2g 5301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑋))
3	2	anbi1d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
4	1, 3	bitrid 282	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
5	4	ralbidv 3174	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
6	5	biimpar 478	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8	7	fmpt 7058	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
9	6, 8	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
10		acni 9981	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑓∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦))
11	9, 10	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑓∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦))
12		nffvmpt1 6853	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
13	12	nfel2 2925	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
14		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)
15		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑥))
16		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
17	15, 16	eleq12d 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)))
18	13, 14, 17	cbvralw 3289	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
19		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
20		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝐴)
21		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ AC 𝐴)
22		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
23	21, 22	ssexd 5281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝐵 ∈ V)
24	7	fvmpt2 6959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
25	20, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
26	25	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
27	26	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝑋 → ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
28	27	adantrd 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
29	28	ralimdva 3164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
30	29	imp 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
31		ralbi 3106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
33	32	biimpa 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
34		ssel 3937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑋 → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋))
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋))
36	35	ral2imi 3088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋))
37	19, 33, 36	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋)
38		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑦))
39	38	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋 ↔ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑋))
40	39	rspccva 3580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑋)
41	37, 40	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑋)
42	41	fmpttd 7063	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋)
43		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → 𝑋 ∈ AC 𝐴)
44		acnrcl 9978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → 𝐴 ∈ V)
46		fex2 7870	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ AC 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) ∈ V)
47	42, 45, 43, 46	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) ∈ V)
48		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))
49		fvex 6855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓‘𝑥) ∈ V
50	15, 48, 49	fvmpt 6948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
51	50	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
52	51	ralbiia 3094	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
53	33, 52	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵)
54	42, 53	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
55		feq1 6649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → (𝑔:𝐴⟶𝑋 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋))
56		fveq1 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → (𝑔‘𝑥) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥))
57	56	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → ((𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
58	57	ralbidv 3174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
59	55, 58	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → ((𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵)))
60	47, 54, 59	spcedv 3557	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵))
61	60	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵)))
62	18, 61	biimtrid 241	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵)))
63	62	exlimdv 1936	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∃𝑓∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵)))
64	11, 63	mpd 15	1 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  Vcvv 3445   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  AC wacn 9874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-map 8767  df-acn 9878

This theorem is referenced by:  acni3  9983  acndom  9987  acnnum  9988  acndom2  9990  dfacacn  10077