Theorem acni2 9963

Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acni2	⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐴   𝐵,𝑔   𝑔,𝑋,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem acni2

Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4722	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
2		elpw2g 5264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑋))
3	2	anbi1d 638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
4	1, 3	bitrid 285	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
5	4	ralbidv 3164	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
6	5	biimpar 479	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
7		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8	7	fmpt 7055	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
9	6, 8	sylib 220	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
10		acni 9962	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑓∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦))
11	9, 10	syldan 598	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑓∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦))
12		nffvmpt1 6842	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
13	12	nfel2 2921	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
14		nfv 1922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)
15		fveq2 6831	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑥))
16		fveq2 6831	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
17	15, 16	eleq12d 2835	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)))
18	13, 14, 17	cbvralw 3283	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
19		simplr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
20		simplr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝐴)
21		simpll 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ AC 𝐴)
22		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
23	21, 22	ssexd 5255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝐵 ∈ V)
24	7	fvmpt2 6951	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
25	20, 23, 24	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
26	25	eleq2d 2827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
27	26	ex 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝑋 → ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
28	27	adantrd 493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
29	28	ralimdva 3153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
30	29	imp 408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
31		ralbi 3096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
33	32	biimpa 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
34		ssel 3911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑋 → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋))
35	34	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋))
36	35	ral2imi 3080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋))
37	19, 33, 36	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋)
38		fveq2 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑦))
39	38	eleq1d 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋 ↔ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑋))
40	39	rspccva 3561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑋)
41	37, 40	sylan 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑋)
42	41	fmpttd 7060	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋)
43		simpll 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → 𝑋 ∈ AC 𝐴)
44		acnrcl 9959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → 𝐴 ∈ V)
46		fex2 7880	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ AC 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) ∈ V)
47	42, 45, 43, 46	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) ∈ V)
48		eqid 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))
49		fvex 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓‘𝑥) ∈ V
50	15, 48, 49	fvmpt 6939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
51	50	eleq1d 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
52	51	ralbiia 3085	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
53	33, 52	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵)
54	42, 53	jca 517	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
55		feq1 6637	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → (𝑔:𝐴⟶𝑋 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋))
56		fveq1 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → (𝑔‘𝑥) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥))
57	56	eleq1d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → ((𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
58	57	ralbidv 3164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
59	55, 58	anbi12d 639	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → ((𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵)))
60	47, 54, 59	spcedv 3538	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵))
61	60	ex 414	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵)))
62	18, 61	biimtrid 244	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵)))
63	62	exlimdv 1941	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∃𝑓∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵)))
64	11, 63	mpd 15	1 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548  ∃wex 1787   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  Vcvv 3433   ∖ cdif 3882   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264  𝒫 cpw 4532  {csn 4558   ↦ cmpt 5156  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  AC wacn 9857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8769  df-acn 9861

This theorem is referenced by:  acni3  9964  acndom  9968  acnnum  9969  acndom2  9971  dfacacn  10059