MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acni2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acni2 9982
Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acni2 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐴   𝐵,𝑔   𝑔,𝑋,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem acni2
Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4747 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋𝐵 ≠ ∅))
2 elpw2g 5301 . . . . . . . 8 (𝑋AC 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋𝐵𝑋))
32anbi1d 630 . . . . . . 7 (𝑋AC 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝒫 𝑋𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)))
41, 3bitrid 282 . . . . . 6 (𝑋AC 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)))
54ralbidv 3174 . . . . 5 (𝑋AC 𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)))
65biimpar 478 . . . 4 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
7 eqid 2736 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
87fmpt 7058 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
96, 8sylib 217 . . 3 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
10 acni 9981 . . 3 ((𝑋AC 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑓𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦))
119, 10syldan 591 . 2 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑓𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦))
12 nffvmpt1 6853 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
1312nfel2 2925 . . . . 5 𝑥(𝑓𝑦) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
14 nfv 1917 . . . . 5 𝑦(𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)
15 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝑥))
16 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
1715, 16eleq12d 2832 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓𝑦) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) ↔ (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)))
1813, 14, 17cbvralw 3289 . . . 4 (∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
19 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅))
20 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋AC 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝑋) → 𝑥𝐴)
21 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋AC 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝑋) → 𝑋AC 𝐴)
22 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋AC 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
2321, 22ssexd 5281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋AC 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝑋) → 𝐵 ∈ V)
247fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ V) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
2520, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋AC 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝑋) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
2625eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋AC 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝑋) → ((𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
2726ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋AC 𝐴𝑥𝐴) → (𝐵𝑋 → ((𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)))
2827adantrd 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋AC 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅) → ((𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)))
2928ralimdva 3164 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋AC 𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅) → ∀𝑥𝐴 ((𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)))
3029imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → ∀𝑥𝐴 ((𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
31 ralbi 3106 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴 ((𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
3332biimpa 477 . . . . . . . . . 10 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
34 ssel 3937 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝑋 → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑋))
3534adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑋))
3635ral2imi 3088 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵 → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑋))
3719, 33, 36sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑋)
38 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑦))
3938eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑓𝑥) ∈ 𝑋 ↔ (𝑓𝑦) ∈ 𝑋))
4039rspccva 3580 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑋𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ∈ 𝑋)
4137, 40sylan 580 . . . . . . . 8 ((((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ∈ 𝑋)
4241fmpttd 7063 . . . . . . 7 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)):𝐴𝑋)
43 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → 𝑋AC 𝐴)
44 acnrcl 9978 . . . . . . . 8 (𝑋AC 𝐴𝐴 ∈ V)
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → 𝐴 ∈ V)
46 fex2 7870 . . . . . . 7 (((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)):𝐴𝑋𝐴 ∈ V ∧ 𝑋AC 𝐴) → (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)) ∈ V)
4742, 45, 43, 46syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)) ∈ V)
48 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)) = (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))
49 fvex 6855 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝑥) ∈ V
5015, 48, 49fvmpt 6948 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))‘𝑥) = (𝑓𝑥))
5150eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
5251ralbiia 3094 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
5333, 52sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵)
5442, 53jca 512 . . . . . 6 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)):𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
55 feq1 6649 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)) → (𝑔:𝐴𝑋 ↔ (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)):𝐴𝑋))
56 fveq1 6841 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)) → (𝑔𝑥) = ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))‘𝑥))
5756eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)) → ((𝑔𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
5857ralbidv 3174 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)) → (∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
5955, 58anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)) → ((𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦)):𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑓𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵)))
6047, 54, 59spcedv 3557 . . . . 5 (((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐵))
6160ex 413 . . . 4 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐵)))
6218, 61biimtrid 241 . . 3 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐵)))
6362exlimdv 1936 . 2 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → (∃𝑓𝑦𝐴 (𝑓𝑦) ∈ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐵)))
6411, 63mpd 15 1 ((𝑋AC 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑋𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4586  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  AC wacn 9874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-map 8767  df-acn 9878
This theorem is referenced by:  acni3  9983  acndom  9987  acnnum  9988  acndom2  9990  dfacacn  10077
  Copyright terms: Public domain W3C validator