Theorem acni2 10002

Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acni2	⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐴   𝐵,𝑔   𝑔,𝑋,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem acni2

Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4746	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
2		elpw2g 5289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑋))
3	2	anbi1d 640	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
4	1, 3	bitrid 285	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
5	4	ralbidv 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
6	5	biimpar 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8	7	fmpt 7091	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
9	6, 8	sylib 220	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
10		acni 10001	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑓∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦))
11	9, 10	syldan 600	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑓∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦))
12		nffvmpt1 6878	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
13	12	nfel2 2942	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
14		nfv 1934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)
15		fveq2 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑥))
16		fveq2 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
17	15, 16	eleq12d 2856	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)))
18	13, 14, 17	cbvralw 3304	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
19		simplr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
20		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝐴)
21		simpll 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ AC 𝐴)
22		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
23	21, 22	ssexd 5280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝐵 ∈ V)
24	7	fvmpt2 6987	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
25	20, 23, 24	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
26	25	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
27	26	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝑋 → ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
28	27	adantrd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
29	28	ralimdva 3174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
30	29	imp 410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
31		ralbi 3117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
33	32	biimpa 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
34		ssel 3930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑋 → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋))
35	34	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋))
36	35	ral2imi 3101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋))
37	19, 33, 36	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋)
38		fveq2 6867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑦))
39	38	eleq1d 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋 ↔ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑋))
40	39	rspccva 3580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑋)
41	37, 40	sylan 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑋)
42	41	fmpttd 7096	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋)
43		simpll 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → 𝑋 ∈ AC 𝐴)
44		acnrcl 9998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → 𝐴 ∈ V)
46		fex2 7917	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ AC 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) ∈ V)
47	42, 45, 43, 46	syl3anc 1390	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) ∈ V)
48		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))
49		fvex 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓‘𝑥) ∈ V
50	15, 48, 49	fvmpt 6975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
51	50	eleq1d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
52	51	ralbiia 3106	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
53	33, 52	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵)
54	42, 53	jca 519	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
55		feq1 6669	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → (𝑔:𝐴⟶𝑋 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋))
56		fveq1 6866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → (𝑔‘𝑥) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥))
57	56	eleq1d 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → ((𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
58	57	ralbidv 3185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
59	55, 58	anbi12d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → ((𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵)))
60	47, 54, 59	spcedv 3557	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵))
61	60	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵)))
62	18, 61	biimtrid 244	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵)))
63	62	exlimdv 1953	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∃𝑓∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵)))
64	11, 63	mpd 15	1 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560  ∃wex 1799   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4555  {csn 4582   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  AC wacn 9896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-map 8810  df-acn 9900

This theorem is referenced by:  acni3  10003  acndom  10007  acnnum  10008  acndom2  10010  dfacacn  10098