Theorem acni2 9120

Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acni2	⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐴   𝐵,𝑔   𝑔,𝑋,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem acni2

Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4472	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
2		elpw2g 4985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑋))
3	2	anbi1d 623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
4	1, 3	syl5bb 274	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
5	4	ralbidv 3133	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
6	5	biimpar 469	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
7		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
8	7	fmpt 6570	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
9	6, 8	sylib 209	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
10		acni 9119	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑓∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦))
11	9, 10	syldan 585	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑓∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦))
12		nffvmpt1 6386	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
13	12	nfel2 2924	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
14		nfv 2009	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)
15		fveq2 6375	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝑥))
16		fveq2 6375	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
17	15, 16	eleq12d 2838	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)))
18	13, 14, 17	cbvral 3315	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥))
19		simplr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
20		simplr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝐴)
21		simpll 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝑋 ∈ AC 𝐴)
22		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
23	21, 22	ssexd 4966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → 𝐵 ∈ V)
24	7	fvmpt2 6480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
25	20, 23, 24	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
26	25	eleq2d 2830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑋) → ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
27	26	ex 401	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝑋 → ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
28	27	adantrd 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
29	28	ralimdva 3109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
30	29	imp 395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
31		ralbi 3215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
33	32	biimpa 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
34		ssel 3755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑋 → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋))
35	34	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋))
36	35	ral2imi 3094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋))
37	19, 33, 36	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋)
38		fveq2 6375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑦))
39	38	eleq1d 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋 ↔ (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑋))
40	39	rspccva 3460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑋)
41	37, 40	sylan 575	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑦) ∈ 𝑋)
42	41	fmpttd 6575	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋)
43		simpll 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → 𝑋 ∈ AC 𝐴)
44		acnrcl 9116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ AC 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → 𝐴 ∈ V)
46		fex2 7319	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ AC 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) ∈ V)
47	42, 45, 43, 46	syl3anc 1490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) ∈ V)
48		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))
49		fvex 6388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓‘𝑥) ∈ V
50	15, 48, 49	fvmpt 6471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
51	50	eleq1d 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
52	51	ralbiia 3126	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
53	33, 52	sylibr 225	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵)
54	42, 53	jca 507	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
55		feq1 6204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → (𝑔:𝐴⟶𝑋 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋))
56		fveq1 6374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → (𝑔‘𝑥) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥))
57	56	eleq1d 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → ((𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
58	57	ralbidv 3133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵))
59	55, 58	anbi12d 624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) → ((𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵)))
60	59	spcegv 3446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)) ∈ V → (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦)):𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (𝑓‘𝑦))‘𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵)))
61	47, 54, 60	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵))
62	61	ex 401	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵)))
63	18, 62	syl5bi 233	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵)))
64	63	exlimdv 2028	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (∃𝑓∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑦) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵)))
65	11, 64	mpd 15	1 ⊢ ((𝑋 ∈ AC 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑔(𝑔:𝐴⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑔‘𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   = wceq 1652  ∃wex 1874   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937  ∀wral 3055  Vcvv 3350   ∖ cdif 3729   ⊆ wss 3732  ∅c0 4079  𝒫 cpw 4315  {csn 4334   ↦ cmpt 4888  ⟶wf 6064  ‘cfv 6068  AC wacn 9015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-map 8062  df-acn 9019

This theorem is referenced by:  acni3  9121  acndom  9125  acnnum  9126  acndom2  9128  dfacacn  9216