Theorem addrfn 43788

Description: Vector addition produces a function. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)

Assertion

Ref	Expression
addrfn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴+𝑟𝐵) Fn ℝ)

Proof of Theorem addrfn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7437	. . 3 ⊢ ((𝐴‘𝑥) + (𝐵‘𝑥)) ∈ V
2		eqid 2726	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) + (𝐵‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) + (𝐵‘𝑥)))
3	1, 2	fnmpti 6686	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) + (𝐵‘𝑥))) Fn ℝ
4		addrval 43782	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴+𝑟𝐵) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) + (𝐵‘𝑥))))
5	4	fneq1d 6635	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐴+𝑟𝐵) Fn ℝ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) + (𝐵‘𝑥))) Fn ℝ))
6	3, 5	mpbiri 258	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴+𝑟𝐵) Fn ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5224   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℝcr 11108   + caddc 11112  +_𝑟cplusr 43773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-addr 43779

This theorem is referenced by:  addrcom  43791