Users' Mathboxes Mathbox for Andrew Salmon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulvfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulvfv 44440
Description: Scalar multiplication at a value. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)
Assertion
Ref Expression
mulvfv ((𝐴𝐸𝐵𝐷𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴.𝑣𝐵)‘𝐶) = (𝐴 · (𝐵𝐶)))

Proof of Theorem mulvfv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulvval 44437 . . . 4 ((𝐴𝐸𝐵𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑥))))
21fveq1d 6922 . . 3 ((𝐴𝐸𝐵𝐷) → ((𝐴.𝑣𝐵)‘𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑥)))‘𝐶))
3 fveq2 6920 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → (𝐵𝑥) = (𝐵𝐶))
43oveq2d 7464 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 · (𝐵𝑥)) = (𝐴 · (𝐵𝐶)))
5 eqid 2740 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑥)))
6 ovex 7481 . . . 4 (𝐴 · (𝐵𝐶)) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 7029 . . 3 (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵𝑥)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝐵𝐶)))
82, 7sylan9eq 2800 . 2 (((𝐴𝐸𝐵𝐷) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴.𝑣𝐵)‘𝐶) = (𝐴 · (𝐵𝐶)))
983impa 1110 1 ((𝐴𝐸𝐵𝐷𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴.𝑣𝐵)‘𝐶) = (𝐴 · (𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  cmpt 5249  cfv 6573  (class class class)co 7448  cr 11183   · cmul 11189  .𝑣ctimesr 44428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-mulv 44434
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator