Theorem mulvfv 44216

Description: Scalar multiplication at a value. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)

Assertion

Ref	Expression
mulvfv	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴.𝑣𝐵)‘𝐶) = (𝐴 · (𝐵‘𝐶)))

Proof of Theorem mulvfv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulvval 44213	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥))))
2	1	fveq1d 6907	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐴.𝑣𝐵)‘𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥)))‘𝐶))
3		fveq2 6905	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐵‘𝑥) = (𝐵‘𝐶))
4	3	oveq2d 7446	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 · (𝐵‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐵‘𝐶)))
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥)))
6		ovex 7463	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (𝐵‘𝐶)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 7014	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝐵‘𝐶)))
8	2, 7	sylan9eq 2789	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴.𝑣𝐵)‘𝐶) = (𝐴 · (𝐵‘𝐶)))
9	8	3impa 1107	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴.𝑣𝐵)‘𝐶) = (𝐴 · (𝐵‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   ↦ cmpt 5239  ‘cfv 6558  (class class class)co 7430  ℝcr 11164   · cmul 11170  ._𝑣ctimesr 44204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5293  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pr 5437  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-ral 3055  df-rex 3064  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-nul 4336  df-if 4537  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-iun 5008  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-id 5584  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-mulv 44210

This theorem is referenced by: (None)