Theorem mulvfv 44444

Description: Scalar multiplication at a value. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)

Assertion

Ref	Expression
mulvfv	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴.𝑣𝐵)‘𝐶) = (𝐴 · (𝐵‘𝐶)))

Proof of Theorem mulvfv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulvval 44441	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥))))
2	1	fveq1d 6828	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐴.𝑣𝐵)‘𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥)))‘𝐶))
3		fveq2 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐵‘𝑥) = (𝐵‘𝐶))
4	3	oveq2d 7369	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 · (𝐵‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐵‘𝐶)))
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥)))
6		ovex 7386	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (𝐵‘𝐶)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6934	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝐵‘𝐶)))
8	2, 7	sylan9eq 2784	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴.𝑣𝐵)‘𝐶) = (𝐴 · (𝐵‘𝐶)))
9	8	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴.𝑣𝐵)‘𝐶) = (𝐴 · (𝐵‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027   · cmul 11033  ._𝑣ctimesr 44432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-mulv 44438

This theorem is referenced by: (None)