Theorem mulvfv 44914

Description: Scalar multiplication at a value. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)

Assertion

Ref	Expression
mulvfv	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴.𝑣𝐵)‘𝐶) = (𝐴 · (𝐵‘𝐶)))

Proof of Theorem mulvfv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulvval 44911	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴.𝑣𝐵) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥))))
2	1	fveq1d 6829	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐴.𝑣𝐵)‘𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥)))‘𝐶))
3		fveq2 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐵‘𝑥) = (𝐵‘𝐶))
4	3	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 · (𝐵‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐵‘𝐶)))
5		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥)))
6		ovex 7389	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (𝐵‘𝐶)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6935	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐴 · (𝐵‘𝑥)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝐵‘𝐶)))
8	2, 7	sylan9eq 2794	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴.𝑣𝐵)‘𝐶) = (𝐴 · (𝐵‘𝐶)))
9	8	3impa 1115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴.𝑣𝐵)‘𝐶) = (𝐴 · (𝐵‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028   · cmul 11034  ._𝑣ctimesr 44902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-mulv 44908

This theorem is referenced by: (None)