Theorem arwdmcd 18035

Description: Decompose an arrow into domain, codomain, and morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
arwrcl.a	⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
arwdmcd	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹 = ⟨(doma‘𝐹), (coda‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩)

Proof of Theorem arwdmcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		arwrcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
2		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Homa‘𝐶) = (Homa‘𝐶)
3	1, 2	arwhoma 18028	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹 ∈ ((doma‘𝐹)(Homa‘𝐶)(coda‘𝐹)))
4	2	homadmcd 18025	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((doma‘𝐹)(Homa‘𝐶)(coda‘𝐹)) → 𝐹 = ⟨(doma‘𝐹), (coda‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹 = ⟨(doma‘𝐹), (coda‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ⟨cotp 4633  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  2^nd c2nd 7987  dom_acdoma 18003  cod_accoda 18004  Arrowcarw 18005  Hom_achoma 18006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7418  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-doma 18007  df-coda 18008  df-homa 18009  df-arw 18010

This theorem is referenced by: (None)