Theorem arwdmcd 17990

Description: Decompose an arrow into domain, codomain, and morphism. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
arwrcl.a	⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
arwdmcd	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹 = ⟨(doma‘𝐹), (coda‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩)

Proof of Theorem arwdmcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		arwrcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Homa‘𝐶) = (Homa‘𝐶)
3	1, 2	arwhoma 17983	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹 ∈ ((doma‘𝐹)(Homa‘𝐶)(coda‘𝐹)))
4	2	homadmcd 17980	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((doma‘𝐹)(Homa‘𝐶)(coda‘𝐹)) → 𝐹 = ⟨(doma‘𝐹), (coda‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹 = ⟨(doma‘𝐹), (coda‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cotp 4590  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  2^nd c2nd 7944  dom_acdoma 17958  cod_accoda 17959  Arrowcarw 17960  Hom_achoma 17961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-doma 17962  df-coda 17963  df-homa 17964  df-arw 17965

This theorem is referenced by:  termcarweu  49916