MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arwhoma Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arwhoma 17999
Description: An arrow is contained in the hom-set corresponding to its domain and codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
arwrcl.a 𝐴 = (Arrowβ€˜πΆ)
arwhoma.h 𝐻 = (Homaβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
arwhoma (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝐹 ∈ ((domaβ€˜πΉ)𝐻(codaβ€˜πΉ)))

Proof of Theorem arwhoma
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 arwrcl.a . . . . . . 7 𝐴 = (Arrowβ€˜πΆ)
2 arwhoma.h . . . . . . 7 𝐻 = (Homaβ€˜πΆ)
31, 2arwval 17997 . . . . . 6 𝐴 = βˆͺ ran 𝐻
43eleq2i 2823 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐴 ↔ 𝐹 ∈ βˆͺ ran 𝐻)
54biimpi 215 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝐹 ∈ βˆͺ ran 𝐻)
6 eqid 2730 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
71arwrcl 17998 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
82, 6, 7homaf 17984 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝐻:((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))βŸΆπ’« (((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) Γ— V))
9 ffn 6716 . . . . 5 (𝐻:((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))βŸΆπ’« (((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) Γ— V) β†’ 𝐻 Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)))
10 fnunirn 7255 . . . . 5 (𝐻 Fn ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (𝐹 ∈ βˆͺ ran 𝐻 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))𝐹 ∈ (π»β€˜π‘§)))
118, 9, 103syl 18 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ (𝐹 ∈ βˆͺ ran 𝐻 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))𝐹 ∈ (π»β€˜π‘§)))
125, 11mpbid 231 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))𝐹 ∈ (π»β€˜π‘§))
13 fveq2 6890 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (π»β€˜π‘§) = (π»β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
14 df-ov 7414 . . . . . 6 (π‘₯𝐻𝑦) = (π»β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
1513, 14eqtr4di 2788 . . . . 5 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (π»β€˜π‘§) = (π‘₯𝐻𝑦))
1615eleq2d 2817 . . . 4 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (𝐹 ∈ (π»β€˜π‘§) ↔ 𝐹 ∈ (π‘₯𝐻𝑦)))
1716rexxp 5841 . . 3 (βˆƒπ‘§ ∈ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))𝐹 ∈ (π»β€˜π‘§) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΆ)𝐹 ∈ (π‘₯𝐻𝑦))
1812, 17sylib 217 . 2 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΆ)𝐹 ∈ (π‘₯𝐻𝑦))
19 id 22 . . . . 5 (𝐹 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝐹 ∈ (π‘₯𝐻𝑦))
202homadm 17994 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ (domaβ€˜πΉ) = π‘₯)
212homacd 17995 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ (codaβ€˜πΉ) = 𝑦)
2220, 21oveq12d 7429 . . . . 5 (𝐹 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ ((domaβ€˜πΉ)𝐻(codaβ€˜πΉ)) = (π‘₯𝐻𝑦))
2319, 22eleqtrrd 2834 . . . 4 (𝐹 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝐹 ∈ ((domaβ€˜πΉ)𝐻(codaβ€˜πΉ)))
2423rexlimivw 3149 . . 3 (βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΆ)𝐹 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝐹 ∈ ((domaβ€˜πΉ)𝐻(codaβ€˜πΉ)))
2524rexlimivw 3149 . 2 (βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒπ‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΆ)𝐹 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝐹 ∈ ((domaβ€˜πΉ)𝐻(codaβ€˜πΉ)))
2618, 25syl 17 1 (𝐹 ∈ 𝐴 β†’ 𝐹 ∈ ((domaβ€˜πΉ)𝐻(codaβ€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472  π’« cpw 4601  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  domacdoma 17974  codaccoda 17975  Arrowcarw 17976  Homachoma 17977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-doma 17978  df-coda 17979  df-homa 17980  df-arw 17981
This theorem is referenced by:  arwdm  18001  arwcd  18002  arwhom  18005  arwdmcd  18006  coapm  18025
  Copyright terms: Public domain W3C validator