Theorem arwhom 18067

Description: The second component of an arrow is the corresponding morphism (without the domain/codomain tag). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
arwrcl.a	⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
arwhom.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
arwhom	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (2nd ‘𝐹) ∈ ((doma‘𝐹)𝐽(coda‘𝐹)))

Proof of Theorem arwhom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		arwrcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Homa‘𝐶) = (Homa‘𝐶)
3	1, 2	arwhoma 18061	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹 ∈ ((doma‘𝐹)(Homa‘𝐶)(coda‘𝐹)))
4		arwhom.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐶)
5	2, 4	homahom 18055	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((doma‘𝐹)(Homa‘𝐶)(coda‘𝐹)) → (2nd ‘𝐹) ∈ ((doma‘𝐹)𝐽(coda‘𝐹)))
6	3, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (2nd ‘𝐹) ∈ ((doma‘𝐹)𝐽(coda‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  2^nd c2nd 7995  Hom chom 17284  dom_acdoma 18036  cod_accoda 18037  Arrowcarw 18038  Hom_achoma 18039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-doma 18040  df-coda 18041  df-homa 18042  df-arw 18043

This theorem is referenced by:  termcarweu  49139