Theorem arwhom 17979

Description: The second component of an arrow is the corresponding morphism (without the domain/codomain tag). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
arwrcl.a	⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
arwhom.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
arwhom	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (2nd ‘𝐹) ∈ ((doma‘𝐹)𝐽(coda‘𝐹)))

Proof of Theorem arwhom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		arwrcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Homa‘𝐶) = (Homa‘𝐶)
3	1, 2	arwhoma 17973	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹 ∈ ((doma‘𝐹)(Homa‘𝐶)(coda‘𝐹)))
4		arwhom.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐶)
5	2, 4	homahom 17967	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((doma‘𝐹)(Homa‘𝐶)(coda‘𝐹)) → (2nd ‘𝐹) ∈ ((doma‘𝐹)𝐽(coda‘𝐹)))
6	3, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (2nd ‘𝐹) ∈ ((doma‘𝐹)𝐽(coda‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  2^nd c2nd 7934  Hom chom 17192  dom_acdoma 17948  cod_accoda 17949  Arrowcarw 17950  Hom_achoma 17951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-doma 17952  df-coda 17953  df-homa 17954  df-arw 17955

This theorem is referenced by:  termcarweu  49840