Theorem arwhom 18086

Description: The second component of an arrow is the corresponding morphism (without the domain/codomain tag). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
arwrcl.a	⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
arwhom.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
arwhom	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (2nd ‘𝐹) ∈ ((doma‘𝐹)𝐽(coda‘𝐹)))

Proof of Theorem arwhom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		arwrcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
2		eqid 2764	. . 3 ⊢ (Homa‘𝐶) = (Homa‘𝐶)
3	1, 2	arwhoma 18080	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹 ∈ ((doma‘𝐹)(Homa‘𝐶)(coda‘𝐹)))
4		arwhom.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐶)
5	2, 4	homahom 18074	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((doma‘𝐹)(Homa‘𝐶)(coda‘𝐹)) → (2nd ‘𝐹) ∈ ((doma‘𝐹)𝐽(coda‘𝐹)))
6	3, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (2nd ‘𝐹) ∈ ((doma‘𝐹)𝐽(coda‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  2^nd c2nd 7971  Hom chom 17299  dom_acdoma 18055  cod_accoda 18056  Arrowcarw 18057  Hom_achoma 18058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-doma 18059  df-coda 18060  df-homa 18061  df-arw 18062

This theorem is referenced by:  termcarweu  50154