MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axgroth3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axgroth3 10869
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-cc 10473 is used to derive this version. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth3 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth3
StepHypRef Expression
1 axgroth2 10863 . 2 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
2 ssid 4018 . . . . . . . . . . . 12 𝑧𝑧
3 sseq1 4021 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑧 → (𝑣𝑧𝑧𝑧))
4 elequ1 2113 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑧 → (𝑣𝑤𝑧𝑤))
53, 4imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑧 → ((𝑣𝑧𝑣𝑤) ↔ (𝑧𝑧𝑧𝑤)))
65spvv 1994 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤) → (𝑧𝑧𝑧𝑤))
72, 6mpi 20 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤) → 𝑧𝑤)
87reximi 3082 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤) → ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
9 eluni2 4916 . . . . . . . . . 10 (𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
108, 9sylibr 234 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤) → 𝑧 𝑦)
1110adantl 481 . . . . . . . 8 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) → 𝑧 𝑦)
1211ralimi 3081 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) → ∀𝑧𝑦 𝑧 𝑦)
13 dfss3 3984 . . . . . . 7 (𝑦 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑦 𝑧 𝑦)
1412, 13sylibr 234 . . . . . 6 (∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) → 𝑦 𝑦)
15 vex 3482 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
16 grothac 10868 . . . . . . . . . . 11 dom card = V
1715, 16eleqtrri 2838 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ dom card
18 vex 3482 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
1918, 16eleqtrri 2838 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ dom card
20 ne0i 4347 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑦𝑦 ≠ ∅)
2115dominf 10483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 𝑦) → ω ≼ 𝑦)
2220, 21sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → ω ≼ 𝑦)
23 infdif2 10247 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ dom card ∧ 𝑧 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑦) → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑦𝑧))
2417, 19, 22, 23mp3an12i 1464 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑦𝑧))
2524orbi1d 916 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → (((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦) ↔ (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
2625imbi2d 340 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → ((𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
2726albidv 1918 . . . . . 6 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → (∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
2814, 27sylan2 593 . . . . 5 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) → (∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
2928pm5.32i 574 . . . 4 (((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
30 df-3an 1088 . . . 4 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))))
31 df-3an 1088 . . . 4 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))) ↔ ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
3229, 30, 313bitr4i 303 . . 3 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
3332exbii 1845 . 2 (∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
341, 33mpbir 231 1 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086  wal 1535  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  c0 4339   cuni 4912   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ωcom 7887  cdom 8982  cardccrd 9973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-reg 9630  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-groth 10861
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977
This theorem is referenced by:  axgroth4  10870
  Copyright terms: Public domain W3C validator