Theorem axgroth3 10752

Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-cc 10355 is used to derive this version. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth3	⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth2 10746	. 2 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
2		ssid 3944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ⊆ 𝑧
3		sseq1 3947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑣 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑧))
4		elequ1 2126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑣 ∈ 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤))
5	3, 4	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → ((𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑤)))
6	5	spvv 1995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤) → (𝑧 ⊆ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑤))
7	2, 6	mpi 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑧 ∈ 𝑤)
8	7	reximi 3078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤) → ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
9		eluni2 4849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
10	8, 9	sylibr 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑦)
11	10	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑦)
12	11	ralimi 3077	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) → ∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ ∪ 𝑦)
13		dfss3 3911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ⊆ ∪ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ ∪ 𝑦)
14	12, 13	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦)
15		vex 3436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
16		grothac 10751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom card = V
17	15, 16	eleqtrri 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ dom card
18		vex 3436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
19	18, 16	eleqtrri 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ dom card
20		ne0i 4276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ≠ ∅)
21	15	dominf 10365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦) → ω ≼ 𝑦)
22	20, 21	sylan 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦) → ω ≼ 𝑦)
23		infdif2 10129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ dom card ∧ 𝑧 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑦) → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ↔ 𝑦 ≼ 𝑧))
24	17, 19, 22, 23	mp3an12i 1473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦) → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ↔ 𝑦 ≼ 𝑧))
25	24	orbi1d 922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦) → (((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
26	25	imbi2d 341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦) → ((𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
27	26	albidv 1927	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦) → (∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
28	14, 27	sylan2 599	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤))) → (∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
29	28	pm5.32i 579	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
30		df-3an 1094	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
31		df-3an 1094	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
32	29, 30, 31	3bitr4i 304	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
33	32	exbii 1855	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
34	1, 33	mpbir 232	1 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092  ∀wal 1545  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  ∪ cuni 4845   class class class wbr 5079  dom cdm 5625  ωcom 7813   ≼ cdom 8888  cardccrd 9857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-reg 9504  ax-inf2 9560  ax-cc 10355  ax-groth 10744

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861

This theorem is referenced by:  axgroth4  10753