Theorem axgroth3 10874

Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-cc 10478 is used to derive this version. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth3	⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth2 10868	. 2 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
2		ssid 4002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ⊆ 𝑧
3		sseq1 4005	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑣 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑧))
4		elequ1 2106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑣 ∈ 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤))
5	3, 4	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → ((𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑤)))
6	5	spvv 1993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤) → (𝑧 ⊆ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑤))
7	2, 6	mpi 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑧 ∈ 𝑤)
8	7	reximi 3074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤) → ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
9		eluni2 4917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
10	8, 9	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑦)
11	10	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑦)
12	11	ralimi 3073	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) → ∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ ∪ 𝑦)
13		dfss3 3968	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ⊆ ∪ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ ∪ 𝑦)
14	12, 13	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦)
15		vex 3466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
16		grothac 10873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom card = V
17	15, 16	eleqtrri 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ dom card
18		vex 3466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
19	18, 16	eleqtrri 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ dom card
20		ne0i 4337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ≠ ∅)
21	15	dominf 10488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦) → ω ≼ 𝑦)
22	20, 21	sylan 578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦) → ω ≼ 𝑦)
23		infdif2 10253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ dom card ∧ 𝑧 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑦) → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ↔ 𝑦 ≼ 𝑧))
24	17, 19, 22, 23	mp3an12i 1462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦) → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ↔ 𝑦 ≼ 𝑧))
25	24	orbi1d 914	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦) → (((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
26	25	imbi2d 339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦) → ((𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
27	26	albidv 1916	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦) → (∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
28	14, 27	sylan2 591	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤))) → (∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
29	28	pm5.32i 573	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
30		df-3an 1086	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
31		df-3an 1086	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
32	29, 30, 31	3bitr4i 302	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
33	32	exbii 1843	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
34	1, 33	mpbir 230	1 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084  ∀wal 1532  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3462   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  ∅c0 4325  ∪ cuni 4913   class class class wbr 5153  dom cdm 5682  ωcom 7876   ≼ cdom 8972  cardccrd 9978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-reg 9635  ax-inf2 9684  ax-cc 10478  ax-groth 10866

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982

This theorem is referenced by:  axgroth4  10875