MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axgroth3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axgroth3 10445
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-cc 10049 is used to derive this version. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth3 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth3
StepHypRef Expression
1 axgroth2 10439 . 2 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
2 ssid 3923 . . . . . . . . . . . 12 𝑧𝑧
3 sseq1 3926 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑧 → (𝑣𝑧𝑧𝑧))
4 elequ1 2117 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑧 → (𝑣𝑤𝑧𝑤))
53, 4imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑧 → ((𝑣𝑧𝑣𝑤) ↔ (𝑧𝑧𝑧𝑤)))
65spvv 2005 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤) → (𝑧𝑧𝑧𝑤))
72, 6mpi 20 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤) → 𝑧𝑤)
87reximi 3166 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤) → ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
9 eluni2 4823 . . . . . . . . . 10 (𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
108, 9sylibr 237 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤) → 𝑧 𝑦)
1110adantl 485 . . . . . . . 8 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) → 𝑧 𝑦)
1211ralimi 3083 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) → ∀𝑧𝑦 𝑧 𝑦)
13 dfss3 3888 . . . . . . 7 (𝑦 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑦 𝑧 𝑦)
1412, 13sylibr 237 . . . . . 6 (∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) → 𝑦 𝑦)
15 vex 3412 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
16 grothac 10444 . . . . . . . . . . 11 dom card = V
1715, 16eleqtrri 2837 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ dom card
18 vex 3412 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
1918, 16eleqtrri 2837 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ dom card
20 ne0i 4249 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑦𝑦 ≠ ∅)
2115dominf 10059 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 𝑦) → ω ≼ 𝑦)
2220, 21sylan 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → ω ≼ 𝑦)
23 infdif2 9824 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ dom card ∧ 𝑧 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑦) → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑦𝑧))
2417, 19, 22, 23mp3an12i 1467 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑦𝑧))
2524orbi1d 917 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → (((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦) ↔ (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
2625imbi2d 344 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → ((𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
2726albidv 1928 . . . . . 6 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → (∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
2814, 27sylan2 596 . . . . 5 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) → (∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
2928pm5.32i 578 . . . 4 (((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
30 df-3an 1091 . . . 4 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))))
31 df-3an 1091 . . . 4 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))) ↔ ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
3229, 30, 313bitr4i 306 . . 3 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
3332exbii 1855 . 2 (∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
341, 33mpbir 234 1 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847  w3a 1089  wal 1541  wex 1787  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3408  cdif 3863  wss 3866  c0 4237   cuni 4819   class class class wbr 5053  dom cdm 5551  ωcom 7644  cdom 8624  cardccrd 9551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-reg 9208  ax-inf2 9256  ax-cc 10049  ax-groth 10437
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555
This theorem is referenced by:  axgroth4  10446
  Copyright terms: Public domain W3C validator