Theorem axgroth3 10256

Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-cc 9860 is used to derive this version. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
axgroth3	⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth2 10250	. 2 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
2		ssid 3992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑧 ⊆ 𝑧
3		sseq1 3995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑣 ⊆ 𝑧 ↔ 𝑧 ⊆ 𝑧))
4		elequ1 2120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → (𝑣 ∈ 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤))
5	3, 4	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑧 → ((𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑤)))
6	5	spvv 2002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤) → (𝑧 ⊆ 𝑧 → 𝑧 ∈ 𝑤))
7	2, 6	mpi 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑧 ∈ 𝑤)
8	7	reximi 3246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤) → ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
9		eluni2 4845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ 𝑦 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ 𝑤)
10	8, 9	sylibr 236	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑦)
11	10	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) → 𝑧 ∈ ∪ 𝑦)
12	11	ralimi 3163	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) → ∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ ∪ 𝑦)
13		dfss3 3959	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ⊆ ∪ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 𝑧 ∈ ∪ 𝑦)
14	12, 13	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦)
15		vex 3500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
16		grothac 10255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom card = V
17	15, 16	eleqtrri 2915	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ dom card
18		vex 3500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
19	18, 16	eleqtrri 2915	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ dom card
20		ne0i 4303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 → 𝑦 ≠ ∅)
21	15	dominf 9870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦) → ω ≼ 𝑦)
22	20, 21	sylan 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦) → ω ≼ 𝑦)
23		infdif2 9635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ dom card ∧ 𝑧 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑦) → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ↔ 𝑦 ≼ 𝑧))
24	17, 19, 22, 23	mp3an12i 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦) → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ↔ 𝑦 ≼ 𝑧))
25	24	orbi1d 913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦) → (((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))
26	25	imbi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦) → ((𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
27	26	albidv 1920	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑦) → (∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
28	14, 27	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤))) → (∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
29	28	pm5.32i 577	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
30		df-3an 1085	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
31		df-3an 1085	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
32	29, 30, 31	3bitr4i 305	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
33	32	exbii 1847	. 2 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦))))
34	1, 33	mpbir 233	1 ⊢ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑦 (∀𝑤(𝑤 ⊆ 𝑧 → 𝑤 ∈ 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑦 ∀𝑣(𝑣 ⊆ 𝑧 → 𝑣 ∈ 𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧 ⊆ 𝑦 → ((𝑦 ∖ 𝑧) ≼ 𝑧 ∨ 𝑧 ∈ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083  ∀wal 1534  ∃wex 1779   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∀wral 3141  ∃wrex 3142  Vcvv 3497   ∖ cdif 3936   ⊆ wss 3939  ∅c0 4294  ∪ cuni 4841   class class class wbr 5069  dom cdm 5558  ωcom 7583   ≼ cdom 8510  cardccrd 9367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-reg 9059  ax-inf2 9107  ax-cc 9860  ax-groth 10248

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-oi 8977  df-dju 9333  df-card 9371

This theorem is referenced by:  axgroth4  10257