MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axgroth3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axgroth3 10828
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. ax-cc 10432 is used to derive this version. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth3 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth3
StepHypRef Expression
1 axgroth2 10822 . 2 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
2 ssid 4004 . . . . . . . . . . . 12 𝑧𝑧
3 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑧 → (𝑣𝑧𝑧𝑧))
4 elequ1 2113 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑧 → (𝑣𝑤𝑧𝑤))
53, 4imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑧 → ((𝑣𝑧𝑣𝑤) ↔ (𝑧𝑧𝑧𝑤)))
65spvv 2000 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤) → (𝑧𝑧𝑧𝑤))
72, 6mpi 20 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤) → 𝑧𝑤)
87reximi 3084 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤) → ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
9 eluni2 4912 . . . . . . . . . 10 (𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑤𝑦 𝑧𝑤)
108, 9sylibr 233 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤) → 𝑧 𝑦)
1110adantl 482 . . . . . . . 8 ((∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) → 𝑧 𝑦)
1211ralimi 3083 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) → ∀𝑧𝑦 𝑧 𝑦)
13 dfss3 3970 . . . . . . 7 (𝑦 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑦 𝑧 𝑦)
1412, 13sylibr 233 . . . . . 6 (∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) → 𝑦 𝑦)
15 vex 3478 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
16 grothac 10827 . . . . . . . . . . 11 dom card = V
1715, 16eleqtrri 2832 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ dom card
18 vex 3478 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
1918, 16eleqtrri 2832 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ dom card
20 ne0i 4334 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑦𝑦 ≠ ∅)
2115dominf 10442 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 𝑦) → ω ≼ 𝑦)
2220, 21sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → ω ≼ 𝑦)
23 infdif2 10207 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ dom card ∧ 𝑧 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑦) → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑦𝑧))
2417, 19, 22, 23mp3an12i 1465 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑦𝑧))
2524orbi1d 915 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → (((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦) ↔ (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
2625imbi2d 340 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → ((𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
2726albidv 1923 . . . . . 6 ((𝑥𝑦𝑦 𝑦) → (∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
2814, 27sylan2 593 . . . . 5 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) → (∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
2928pm5.32i 575 . . . 4 (((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
30 df-3an 1089 . . . 4 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))))
31 df-3an 1089 . . . 4 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))) ↔ ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤))) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
3229, 30, 313bitr4i 302 . . 3 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
3332exbii 1850 . 2 (∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))))
341, 33mpbir 230 1 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧) ≼ 𝑧𝑧𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087  wal 1539  wex 1781  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474  cdif 3945  wss 3948  c0 4322   cuni 4908   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ωcom 7857  cdom 8939  cardccrd 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-reg 9589  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-groth 10820
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936
This theorem is referenced by:  axgroth4  10829
  Copyright terms: Public domain W3C validator