Theorem axlowdimlem11 29046

Description: Lemma for axlowdim 29055. Calculate the value of 𝑄 at its distinguished point. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem10.1	⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem11	⊢ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1

Proof of Theorem axlowdimlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem10.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
2	1	fveq1i 6835	. 2 ⊢ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘(𝐼 + 1))
3		ovex 7396	. . . 4 ⊢ (𝐼 + 1) ∈ V
4		1ex 11138	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
5	3, 4	fnsn 6550	. . 3 ⊢ {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)}
6		c0ex 11136	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
7	6	fconst 6720	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0}
8		ffn 6662	. . . 4 ⊢ ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})
10		disjdif 4407	. . . 4 ⊢ ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅
11	3	snid 4601	. . . 4 ⊢ (𝐼 + 1) ∈ {(𝐼 + 1)}
12	10, 11	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ (({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ (𝐼 + 1) ∈ {(𝐼 + 1)})
13		fvun1 6925	. . 3 ⊢ (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)} ∧ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ∧ (({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ (𝐼 + 1) ∈ {(𝐼 + 1)})) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘(𝐼 + 1)) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}‘(𝐼 + 1)))
14	5, 9, 12, 13	mp3an 1469	. 2 ⊢ (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘(𝐼 + 1)) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}‘(𝐼 + 1))
15	3, 4	fvsn 7132	. 2 ⊢ ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}‘(𝐼 + 1)) = 1
16	2, 14, 15	3eqtri 2767	1 ⊢ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889  ∅c0 4268  {csn 4562  ⟨cop 4568   × cxp 5623   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039  ...cfz 13459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-mulcl 11098  ax-i2m1 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7366

This theorem is referenced by:  axlowdimlem14  29049  axlowdimlem16  29051