MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem11 27730
Description: Lemma for axlowdim 27739. Calculate the value of 𝑄 at its distinguished point. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem10.1 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem11 (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1

Proof of Theorem axlowdimlem11
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem10.1 . . 3 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
21fveq1i 6840 . 2 (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘(𝐼 + 1))
3 ovex 7384 . . . 4 (𝐼 + 1) ∈ V
4 1ex 11109 . . . 4 1 ∈ V
53, 4fnsn 6556 . . 3 {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)}
6 c0ex 11107 . . . . 5 0 ∈ V
76fconst 6725 . . . 4 (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0}
8 ffn 6665 . . . 4 ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))
97, 8ax-mp 5 . . 3 (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})
10 disjdif 4429 . . . 4 ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅
113snid 4620 . . . 4 (𝐼 + 1) ∈ {(𝐼 + 1)}
1210, 11pm3.2i 471 . . 3 (({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ (𝐼 + 1) ∈ {(𝐼 + 1)})
13 fvun1 6929 . . 3 (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)} ∧ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ∧ (({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ (𝐼 + 1) ∈ {(𝐼 + 1)})) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘(𝐼 + 1)) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}‘(𝐼 + 1)))
145, 9, 12, 13mp3an 1461 . 2 (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘(𝐼 + 1)) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}‘(𝐼 + 1))
153, 4fvsn 7123 . 2 ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}‘(𝐼 + 1)) = 1
162, 14, 153eqtri 2769 1 (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3905  cun 3906  cin 3907  c0 4280  {csn 4584  cop 4590   × cxp 5629   Fn wfn 6488  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012  ...cfz 13378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-mulcl 11071  ax-i2m1 11077
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7354
This theorem is referenced by:  axlowdimlem14  27733  axlowdimlem16  27735
  Copyright terms: Public domain W3C validator