Theorem axlowdimlem11 29035

Description: Lemma for axlowdim 29044. Calculate the value of 𝑄 at its distinguished point. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem10.1	⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem11	⊢ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1

Proof of Theorem axlowdimlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem10.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
2	1	fveq1i 6835	. 2 ⊢ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘(𝐼 + 1))
3		ovex 7393	. . . 4 ⊢ (𝐼 + 1) ∈ V
4		1ex 11131	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
5	3, 4	fnsn 6550	. . 3 ⊢ {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)}
6		c0ex 11129	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
7	6	fconst 6720	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0}
8		ffn 6662	. . . 4 ⊢ ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})
10		disjdif 4413	. . . 4 ⊢ ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅
11	3	snid 4607	. . . 4 ⊢ (𝐼 + 1) ∈ {(𝐼 + 1)}
12	10, 11	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ (𝐼 + 1) ∈ {(𝐼 + 1)})
13		fvun1 6925	. . 3 ⊢ (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)} ∧ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ∧ (({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ (𝐼 + 1) ∈ {(𝐼 + 1)})) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘(𝐼 + 1)) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}‘(𝐼 + 1)))
14	5, 9, 12, 13	mp3an 1464	. 2 ⊢ (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘(𝐼 + 1)) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}‘(𝐼 + 1))
15	3, 4	fvsn 7129	. 2 ⊢ ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}‘(𝐼 + 1)) = 1
16	2, 14, 15	3eqtri 2764	1 ⊢ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889  ∅c0 4274  {csn 4568  ⟨cop 4574   × cxp 5622   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032  ...cfz 13452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-mulcl 11091  ax-i2m1 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363

This theorem is referenced by:  axlowdimlem14  29038  axlowdimlem16  29040