MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem11 28750
Description: Lemma for axlowdim 28759. Calculate the value of 𝑄 at its distinguished point. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem10.1 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem11 (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1

Proof of Theorem axlowdimlem11
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem10.1 . . 3 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
21fveq1i 6892 . 2 (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘(𝐼 + 1))
3 ovex 7447 . . . 4 (𝐼 + 1) ∈ V
4 1ex 11232 . . . 4 1 ∈ V
53, 4fnsn 6605 . . 3 {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)}
6 c0ex 11230 . . . . 5 0 ∈ V
76fconst 6777 . . . 4 (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0}
8 ffn 6716 . . . 4 ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))
97, 8ax-mp 5 . . 3 (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})
10 disjdif 4467 . . . 4 ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅
113snid 4660 . . . 4 (𝐼 + 1) ∈ {(𝐼 + 1)}
1210, 11pm3.2i 470 . . 3 (({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ (𝐼 + 1) ∈ {(𝐼 + 1)})
13 fvun1 6983 . . 3 (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)} ∧ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ∧ (({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ (𝐼 + 1) ∈ {(𝐼 + 1)})) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘(𝐼 + 1)) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}‘(𝐼 + 1)))
145, 9, 12, 13mp3an 1458 . 2 (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘(𝐼 + 1)) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}‘(𝐼 + 1))
153, 4fvsn 7184 . 2 ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}‘(𝐼 + 1)) = 1
162, 14, 153eqtri 2759 1 (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  cdif 3941  cun 3942  cin 3943  c0 4318  {csn 4624  cop 4630   × cxp 5670   Fn wfn 6537  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133  ...cfz 13508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-mulcl 11192  ax-i2m1 11198
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7417
This theorem is referenced by:  axlowdimlem14  28753  axlowdimlem16  28755
  Copyright terms: Public domain W3C validator