Theorem axlowdimlem11 29280

Description: Lemma for axlowdim 29289. Calculate the value of 𝑄 at its distinguished point. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem10.1	⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem11	⊢ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1

Proof of Theorem axlowdimlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem10.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
2	1	fveq1i 6884	. 2 ⊢ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘(𝐼 + 1))
3		ovex 7445	. . . 4 ⊢ (𝐼 + 1) ∈ V
4		1ex 11204	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
5	3, 4	fnsn 6596	. . 3 ⊢ {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)}
6		c0ex 11201	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
7	6	fconst 6766	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0}
8		ffn 6707	. . . 4 ⊢ ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})
10		disjdif 4434	. . . 4 ⊢ ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅
11	3	snid 4629	. . . 4 ⊢ (𝐼 + 1) ∈ {(𝐼 + 1)}
12	10, 11	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ (({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ (𝐼 + 1) ∈ {(𝐼 + 1)})
13		fvun1 6974	. . 3 ⊢ (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)} ∧ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ∧ (({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ (𝐼 + 1) ∈ {(𝐼 + 1)})) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘(𝐼 + 1)) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}‘(𝐼 + 1)))
14	5, 9, 12, 13	mp3an 1490	. 2 ⊢ (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘(𝐼 + 1)) = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}‘(𝐼 + 1))
15	3, 4	fvsn 7181	. 2 ⊢ ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}‘(𝐼 + 1)) = 1
16	2, 14, 15	3eqtri 2790	1 ⊢ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905  ∅c0 4287  {csn 4590  ⟨cop 4596   × cxp 5661   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104  ...cfz 13536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-mulcl 11163  ax-i2m1 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7415

This theorem is referenced by:  axlowdimlem14  29283  axlowdimlem16  29285