Theorem axlowdimlem10 29511

Description: Lemma for axlowdim 29521. Set up a family of points in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem10.1	⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem10	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))

Proof of Theorem axlowdimlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 + 1) ∈ V
2		1ex 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
3	1, 2	f1osn 6858	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}–1-1-onto→{1}
4		f1of 6816	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}–1-1-onto→{1} → {⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟶{1})
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟶{1}
6		c0ex 11281	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
7	6	fconst 6760	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0}
8	5, 7	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟶{1} ∧ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0})
9		disjdif 4426	. . . . . 6 ⊢ ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅
10		fun 6736	. . . . . 6 ⊢ ((({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟶{1} ∧ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0}) ∧ ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅) → ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})):({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0}))
11	8, 9, 10	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})):({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0})
12		axlowdimlem10.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
13	12	feq1i 6692	. . . . 5 ⊢ (𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0}) ↔ ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})):({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0}))
14	11, 13	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0})
15		1re 11289	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		snssi 4746	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → {1} ⊆ ℝ)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {1} ⊆ ℝ
18		0re 11291	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		snssi 4746	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {0} ⊆ ℝ
21	17, 20	unssi 4137	. . . 4 ⊢ ({1} ∪ {0}) ⊆ ℝ
22		fss 6718	. . . 4 ⊢ ((𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0}) ∧ ({1} ∪ {0}) ⊆ ℝ) → 𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶ℝ)
23	14, 21, 22	mp2an 705	. . 3 ⊢ 𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶ℝ
24		fznatpl1 13692	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
25	24	snssd 4747	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → {(𝐼 + 1)} ⊆ (1...𝑁))
26		undif 4438	. . . . 5 ⊢ ({(𝐼 + 1)} ⊆ (1...𝑁) ↔ ({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = (1...𝑁))
27	25, 26	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = (1...𝑁))
28	27	feq2d 6685	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶ℝ ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
29	23, 28	mpbii 236	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ)
30		elee 29453	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
31	30	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
32	29, 31	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584  ⟨cop 4590   × cxp 5649  ⟶wf 6527  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   − cmin 11522  ℕcn 12316  ...cfz 13620  𝔼cee 29447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-ee 29450

This theorem is used by:  axlowdimlem14  29515  axlowdimlem15  29516  axlowdimlem16  29517  axlowdimlem17  29518