Theorem axlowdimlem10 28885

Description: Lemma for axlowdim 28895. Set up a family of points in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem10.1	⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem10	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))

Proof of Theorem axlowdimlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 + 1) ∈ V
2		1ex 11177	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
3	1, 2	f1osn 6843	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}–1-1-onto→{1}
4		f1of 6803	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}–1-1-onto→{1} → {⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟶{1})
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟶{1}
6		c0ex 11175	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
7	6	fconst 6749	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0}
8	5, 7	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟶{1} ∧ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0})
9		disjdif 4438	. . . . . 6 ⊢ ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅
10		fun 6725	. . . . . 6 ⊢ ((({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟶{1} ∧ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0}) ∧ ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅) → ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})):({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0}))
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})):({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0})
12		axlowdimlem10.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
13	12	feq1i 6682	. . . . 5 ⊢ (𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0}) ↔ ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})):({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0}))
14	11, 13	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0})
15		1re 11181	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		snssi 4775	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → {1} ⊆ ℝ)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {1} ⊆ ℝ
18		0re 11183	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		snssi 4775	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {0} ⊆ ℝ
21	17, 20	unssi 4157	. . . 4 ⊢ ({1} ∪ {0}) ⊆ ℝ
22		fss 6707	. . . 4 ⊢ ((𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0}) ∧ ({1} ∪ {0}) ⊆ ℝ) → 𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶ℝ)
23	14, 21, 22	mp2an 692	. . 3 ⊢ 𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶ℝ
24		fznatpl1 13546	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
25	24	snssd 4776	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → {(𝐼 + 1)} ⊆ (1...𝑁))
26		undif 4448	. . . . 5 ⊢ ({(𝐼 + 1)} ⊆ (1...𝑁) ↔ ({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = (1...𝑁))
27	25, 26	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = (1...𝑁))
28	27	feq2d 6675	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶ℝ ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
29	23, 28	mpbii 233	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ)
30		elee 28828	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
31	30	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
32	29, 31	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  {csn 4592  ⟨cop 4598   × cxp 5639  ⟶wf 6510  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   − cmin 11412  ℕcn 12193  ...cfz 13475  𝔼cee 28822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-ee 28825

This theorem is referenced by:  axlowdimlem14  28889  axlowdimlem15  28890  axlowdimlem16  28891  axlowdimlem17  28892