MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem10 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem axlowdimlem10 28199
Description: Lemma for axlowdim 28209. Set up a family of points in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem10.1 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}) Γ— {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑄 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
Proof of Theorem axlowdimlem10
StepHypRef Expression
1 ovex 7439 . . . . . . . . 9 (𝐼 + 1) ∈ V
2 1ex 11207 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
31, 2f1osn 6871 . . . . . . . 8 {⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}–1-1-ontoβ†’{1}
4 f1of 6831 . . . . . . . 8 ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}–1-1-ontoβ†’{1} β†’ {⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟢{1})
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7 {⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟢{1}
6 c0ex 11205 . . . . . . . 8 0 ∈ V
76fconst 6775 . . . . . . 7 (((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}) Γ— {0}):((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)})⟢{0}
85, 7pm3.2i 472 . . . . . 6 ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟢{1} ∧ (((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}) Γ— {0}):((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)})⟢{0})
9 disjdif 4471 . . . . . 6 ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)})) = βˆ…
10 fun 6751 . . . . . 6 ((({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟢{1} ∧ (((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}) Γ— {0}):((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)})⟢{0}) ∧ ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)})) = βˆ…) β†’ ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}) Γ— {0})):({(𝐼 + 1)} βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}))⟢({1} βˆͺ {0}))
118, 9, 10mp2an 691 . . . . 5 ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}) Γ— {0})):({(𝐼 + 1)} βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}))⟢({1} βˆͺ {0})
12 axlowdimlem10.1 . . . . . 6 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}) Γ— {0}))
1312feq1i 6706 . . . . 5 (𝑄:({(𝐼 + 1)} βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}))⟢({1} βˆͺ {0}) ↔ ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}) Γ— {0})):({(𝐼 + 1)} βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}))⟢({1} βˆͺ {0}))
1411, 13mpbir 230 . . . 4 𝑄:({(𝐼 + 1)} βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}))⟢({1} βˆͺ {0})
15 1re 11211 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
16 snssi 4811 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ β†’ {1} βŠ† ℝ)
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 {1} βŠ† ℝ
18 0re 11213 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
19 snssi 4811 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ β†’ {0} βŠ† ℝ)
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 {0} βŠ† ℝ
2117, 20unssi 4185 . . . 4 ({1} βˆͺ {0}) βŠ† ℝ
22 fss 6732 . . . 4 ((𝑄:({(𝐼 + 1)} βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}))⟢({1} βˆͺ {0}) ∧ ({1} βˆͺ {0}) βŠ† ℝ) β†’ 𝑄:({(𝐼 + 1)} βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}))βŸΆβ„)
2314, 21, 22mp2an 691 . . 3 𝑄:({(𝐼 + 1)} βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}))βŸΆβ„
24 fznatpl1 13552 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
2524snssd 4812 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ {(𝐼 + 1)} βŠ† (1...𝑁))
26 undif 4481 . . . . 5 ({(𝐼 + 1)} βŠ† (1...𝑁) ↔ ({(𝐼 + 1)} βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)})) = (1...𝑁))
2725, 26sylib 217 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ({(𝐼 + 1)} βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)})) = (1...𝑁))
2827feq2d 6701 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑄:({(𝐼 + 1)} βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}))βŸΆβ„ ↔ 𝑄:(1...𝑁)βŸΆβ„))
2923, 28mpbii 232 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑄:(1...𝑁)βŸΆβ„)
30 elee 28142 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑄 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↔ 𝑄:(1...𝑁)βŸΆβ„))
3130adantr 482 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑄 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↔ 𝑄:(1...𝑁)βŸΆβ„))
3229, 31mpbird 257 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑄 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  βŸ¨cop 4634   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6537  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6540  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   βˆ’ cmin 11441  β„•cn 12209  ...cfz 13481  π”Όcee 28136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-ee 28139
This theorem is referenced by:  axlowdimlem14  28203  axlowdimlem15  28204  axlowdimlem16  28205  axlowdimlem17  28206
  Copyright terms: Public domain W3C validator