Theorem axlowdimlem10 29210

Description: Lemma for axlowdim 29220. Set up a family of points in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem10.1	⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem10	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))

Proof of Theorem axlowdimlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 + 1) ∈ V
2		1ex 11191	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ V
3	1, 2	f1osn 6852	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}–1-1-onto→{1}
4		f1of 6810	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}–1-1-onto→{1} → {⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟶{1})
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟶{1}
6		c0ex 11188	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
7	6	fconst 6754	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0}
8	5, 7	pm3.2i 475	. . . . . 6 ⊢ ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟶{1} ∧ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0})
9		disjdif 4429	. . . . . 6 ⊢ ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅
10		fun 6730	. . . . . 6 ⊢ ((({⟨(𝐼 + 1), 1⟩}:{(𝐼 + 1)}⟶{1} ∧ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0}) ∧ ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅) → ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})):({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0}))
11	8, 9, 10	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})):({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0})
12		axlowdimlem10.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
13	12	feq1i 6686	. . . . 5 ⊢ (𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0}) ↔ ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})):({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0}))
14	11, 13	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0})
15		1re 11196	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		snssi 4747	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → {1} ⊆ ℝ)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {1} ⊆ ℝ
18		0re 11198	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		snssi 4747	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {0} ⊆ ℝ
21	17, 20	unssi 4146	. . . 4 ⊢ ({1} ∪ {0}) ⊆ ℝ
22		fss 6712	. . . 4 ⊢ ((𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶({1} ∪ {0}) ∧ ({1} ∪ {0}) ⊆ ℝ) → 𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶ℝ)
23	14, 21, 22	mp2an 704	. . 3 ⊢ 𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶ℝ
24		fznatpl1 13597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
25	24	snssd 4748	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → {(𝐼 + 1)} ⊆ (1...𝑁))
26		undif 4439	. . . . 5 ⊢ ({(𝐼 + 1)} ⊆ (1...𝑁) ↔ ({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = (1...𝑁))
27	25, 26	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = (1...𝑁))
28	27	feq2d 6679	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄:({(𝐼 + 1)} ∪ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))⟶ℝ ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
29	23, 28	mpbii 236	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ)
30		elee 29152	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
31	30	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
32	29, 31	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3904   ∪ cun 3905   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  {csn 4585  ⟨cop 4591   × cxp 5650  ⟶wf 6521  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   − cmin 11429  ℕcn 12224  ...cfz 13526  𝔼cee 29146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-ee 29149

This theorem is referenced by:  axlowdimlem14  29214  axlowdimlem15  29215  axlowdimlem16  29216  axlowdimlem17  29217