Theorem fvsn 7184

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.) (Proof shortened by BJ, 25-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvsn.1	⊢ 𝐴 ∈ V
fvsn.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvsn	⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵

Proof of Theorem fvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsn.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		fvsn.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		fvsng 7183	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	mp2an 705	1 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩}‘𝐴) = 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {csn 4584  ⟨cop 4590  ‘cfv 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545

This theorem is used by:  frrlem12  8308  elixpsn  8958  ac6sfi  9268  dcomex  10518  axdc3lem4  10524  0ram  17191  mdet0fv0  22902  chpmat0d  23145  imasdsf1olem  24685  axlowdimlem8  29520  axlowdimlem11  29523  selvply1rhm0  34151  subfacp1lem2a  35924  subfacp1lem5  35928  cvmliftlem4  36032  finixpnum  38508  poimirlem3  38521  fdc  38659  grposnOLD  38796  1arymaptfo  49724  mndtcco  50662