Theorem fconst 6756

Description: A Cartesian product with a singleton is a constant function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
fconst.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fconst	⊢ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵}

Proof of Theorem fconst

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst.1	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		fconstmpt 5709	. . 3 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fnmpti 6670	. 2 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴
4		rnxpss 6159	. 2 ⊢ ran (𝐴 × {𝐵}) ⊆ {𝐵}
5		df-f 6531	. 2 ⊢ ((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ↔ ((𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴 ∧ ran (𝐴 × {𝐵}) ⊆ {𝐵}))
6	3, 4, 5	mpbir2an 724	1 ⊢ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵}

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3898  {csn 4583   × cxp 5645  ran crn 5648   Fn wfn 6522  ⟶wf 6523

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531

This theorem is used by:  fconstg  6757  fodomr  9125  fodomfir  9297  ofsubeq0  12286  ser0f  14166  hashgval  14444  hashinf  14446  hashfxnn0  14448  prodf1f  16028  pwssplit1  21295  psrbag0  22332  xkofvcn  23964  rrx0el  25680  ibl0  26068  dvcmul  26225  dvcmulf  26226  dvexp  26234  plymul02  26564  elqaalem3  26607  basellem7  27377  basellem9  27379  noetasuplem4  28026  axlowdimlem8  29460  axlowdimlem9  29461  axlowdimlem10  29462  axlowdimlem11  29463  axlowdimlem12  29464  0oo  31324  occllem  31838  ho01i  32363  nlelchi  32596  hmopidmchi  32686  elrgspnlem1  33736  gsumind  33839  esplyfval0  34129  eulerpartlemt  34937  breprexpnat  35197  fullfunfnv  36632  fullfunfv  36633  poimirlem16  38474  poimirlem19  38477  poimirlem23  38481  poimirlem24  38482  poimirlem25  38483  poimirlem28  38486  poimirlem29  38487  poimirlem30  38488  poimirlem31  38489  poimirlem32  38490  ftc1anclem5  38535  lfl0f  40046  diophrw  43708  pwssplit4  44034  ofsubid  45252  dvsconst  45258  dvsid  45259  binomcxplemnn0  45277  binomcxplemnotnn0  45284  functermc  50538  aacllem  50861