Theorem fconst 6765

Description: A Cartesian product with a singleton is a constant function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
fconst.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fconst	⊢ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵}

Proof of Theorem fconst

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst.1	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		fconstmpt 5721	. . 3 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fnmpti 6679	. 2 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴
4		rnxpss 6169	. 2 ⊢ ran (𝐴 × {𝐵}) ⊆ {𝐵}
5		df-f 6541	. 2 ⊢ ((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ↔ ((𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴 ∧ ran (𝐴 × {𝐵}) ⊆ {𝐵}))
6	3, 4, 5	mpbir2an 724	1 ⊢ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵}

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  {csn 4587   × cxp 5657  ran crn 5660   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541

This theorem is used by:  fconstg  6766  fodomr  9129  fodomfir  9300  ofsubeq0  12242  ser0f  14121  hashgval  14399  hashinf  14401  hashfxnn0  14403  prodf1f  15983  pwssplit1  21244  psrbag0  22279  xkofvcn  23911  rrx0el  25627  ibl0  26016  dvcmul  26173  dvcmulf  26174  dvexp  26182  plymul02  26511  elqaalem3  26552  basellem7  27321  basellem9  27323  noetasuplem4  27970  axlowdimlem8  29392  axlowdimlem9  29393  axlowdimlem10  29394  axlowdimlem11  29395  axlowdimlem12  29396  0oo  31256  occllem  31770  ho01i  32295  nlelchi  32528  hmopidmchi  32618  elrgspnlem1  33669  gsumind  33772  esplyfval0  34061  eulerpartlemt  34869  breprexpnat  35129  fullfunfnv  36512  fullfunfv  36513  poimirlem16  38372  poimirlem19  38375  poimirlem23  38379  poimirlem24  38380  poimirlem25  38381  poimirlem28  38384  poimirlem29  38385  poimirlem30  38386  poimirlem31  38387  poimirlem32  38388  ftc1anclem5  38433  lfl0f  39929  diophrw  43591  pwssplit4  43917  ofsubid  45135  dvsconst  45141  dvsid  45142  binomcxplemnn0  45160  binomcxplemnotnn0  45167  functermc  50421  aacllem  50759