Theorem fconst 6790

Description: A Cartesian product with a singleton is a constant function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
fconst.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fconst	⊢ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵}

Proof of Theorem fconst

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst.1	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		fconstmpt 5717	. . 3 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	1, 2	fnmpti 6704	. 2 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴
4		rnxpss 6176	. 2 ⊢ ran (𝐴 × {𝐵}) ⊆ {𝐵}
5		df-f 6562	. 2 ⊢ ((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ↔ ((𝐴 × {𝐵}) Fn 𝐴 ∧ ran (𝐴 × {𝐵}) ⊆ {𝐵}))
6	3, 4, 5	mpbir2an 724	1 ⊢ (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵}

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588   × cxp 5653  ran crn 5656   Fn wfn 6553  ⟶wf 6554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562

This theorem is used by:  fconstg  6791  fodomr  9175  fodomfir  9347  ofsubeq0  12344  ser0f  14225  hashgval  14504  hashinf  14506  hashfxnn0  14508  prodf1f  16090  pwssplit1  21364  psrbag0  22401  xkofvcn  24033  rrx0el  25749  ibl0  26137  dvcmul  26294  dvcmulf  26295  dvexp  26303  plymul02  26631  elqaalem3  26674  basellem7  27444  basellem9  27446  noetasuplem4  28123  axlowdimlem8  29557  axlowdimlem9  29558  axlowdimlem10  29559  axlowdimlem11  29560  axlowdimlem12  29561  0oo  31421  occllem  31935  ho01i  32460  nlelchi  32693  hmopidmchi  32783  elrgspnlem1  33873  gsumind  33976  esplyfval0  34266  eulerpartlemt  35073  breprexpnat  35333  fullfunfnv  36888  fullfunfv  36889  poimirlem16  38746  poimirlem19  38749  poimirlem23  38753  poimirlem24  38754  poimirlem25  38755  poimirlem28  38758  poimirlem29  38759  poimirlem30  38760  poimirlem31  38761  poimirlem32  38762  ftc1anclem5  38807  lfl0f  40318  diophrw  43963  pwssplit4  44284  ofsubid  45500  dvsconst  45506  dvsid  45507  binomcxplemnn0  45525  binomcxplemnotnn0  45532  functermc  50848  aacllem  51219