Theorem axlowdimlem14 28882

Description: Lemma for axlowdim 28888. Take two possible 𝑄 from axlowdimlem10 28878. They are the same iff their distinguished values are the same. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axlowdimlem14.1	⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
axlowdimlem14.2	⊢ 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐽 + 1)}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem14	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 → 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem axlowdimlem14

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem14.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
2	1	axlowdimlem10 28878	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		elee 28821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
5	2, 4	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ)
6	5	ffnd 6689	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 Fn (1...𝑁))
7		axlowdimlem14.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐽 + 1)}) × {0}))
8	7	axlowdimlem10 28878	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		elee 28821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ))
11	8, 10	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ)
12	11	ffnd 6689	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅 Fn (1...𝑁))
13		eqfnfv 7003	. . . 4 ⊢ ((𝑄 Fn (1...𝑁) ∧ 𝑅 Fn (1...𝑁)) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
14	6, 12, 13	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)))) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
15	14	3impdi 1351	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
16		fznatpl1 13539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
17	16	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
18		ax-1ne0 11137	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → 1 ≠ 0)
20	1	axlowdimlem11 28879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1)
22		elfzelz 13485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℂ)
24		elfzelz 13485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ ℂ)
26		ax-1cn 11126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		addcan2 11359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
28	26, 27	mp3an3 1452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
29	23, 25, 28	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
30	29	3adant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
31	30	necon3bid 2969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 ≠ 𝐽))
32	31	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1))
33	7	axlowdimlem12 28880	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1)) → (𝑅‘(𝐼 + 1)) = 0)
34	17, 32, 33	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝑅‘(𝐼 + 1)) = 0)
35	19, 21, 34	3netr4d 3002	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1)))
36		df-ne 2926	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄‘𝑖) ≠ (𝑅‘𝑖) ↔ ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
37		fveq2 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
38		fveq2 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑅‘𝑖) = (𝑅‘(𝐼 + 1)))
39	37, 38	neeq12d 2986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑄‘𝑖) ≠ (𝑅‘𝑖) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))))
40	36, 39	bitr3id 285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))))
41	40	rspcev 3588	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
42	17, 35, 41	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
43	42	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 ≠ 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
44		df-ne 2926	. . . 4 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 ↔ ¬ 𝐼 = 𝐽)
45		rexnal 3082	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
46	43, 44, 45	3imtr3g 295	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (¬ 𝐼 = 𝐽 → ¬ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
47	46	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖) → 𝐼 = 𝐽))
48	15, 47	sylbid 240	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 → 𝐼 = 𝐽))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912  {csn 4589  ⟨cop 4595   × cxp 5636   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   − cmin 11405  ℕcn 12186  ...cfz 13468  𝔼cee 28815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-ee 28818

This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  28883