MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem14 28477
Description: Lemma for axlowdim 28483. Take two possible 𝑄 from axlowdimlem10 28473. They are the same iff their distinguished values are the same. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem14.1 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}) Γ— {0}))
axlowdimlem14.2 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {(𝐽 + 1)}) Γ— {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑄 = 𝑅 β†’ 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem axlowdimlem14
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem14.1 . . . . . . 7 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}) Γ— {0}))
21axlowdimlem10 28473 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑄 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
3 elee 28416 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑄 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↔ 𝑄:(1...𝑁)βŸΆβ„))
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑄 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↔ 𝑄:(1...𝑁)βŸΆβ„))
52, 4mpbid 231 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑄:(1...𝑁)βŸΆβ„)
65ffnd 6719 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑄 Fn (1...𝑁))
7 axlowdimlem14.2 . . . . . . 7 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {(𝐽 + 1)}) Γ— {0}))
87axlowdimlem10 28473 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
9 elee 28416 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↔ 𝑅:(1...𝑁)βŸΆβ„))
109adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↔ 𝑅:(1...𝑁)βŸΆβ„))
118, 10mpbid 231 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑅:(1...𝑁)βŸΆβ„)
1211ffnd 6719 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑅 Fn (1...𝑁))
13 eqfnfv 7033 . . . 4 ((𝑄 Fn (1...𝑁) ∧ 𝑅 Fn (1...𝑁)) β†’ (𝑄 = 𝑅 ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–)))
146, 12, 13syl2an 595 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)))) β†’ (𝑄 = 𝑅 ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–)))
15143impdi 1349 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑄 = 𝑅 ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–)))
16 fznatpl1 13560 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
17163adant3 1131 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
18 ax-1ne0 11182 . . . . . . . 8 1 β‰  0
1918a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ 1 β‰  0)
201axlowdimlem11 28474 . . . . . . . 8 (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = 1
2120a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = 1)
22 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
2322zcnd 12672 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝐼 ∈ β„‚)
24 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
2524zcnd 12672 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
26 ax-1cn 11171 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„‚
27 addcan2 11404 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ β„‚ ∧ 𝐽 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
2826, 27mp3an3 1449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ β„‚ ∧ 𝐽 ∈ β„‚) β†’ ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
2923, 25, 28syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
30293adant1 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
3130necon3bid 2984 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐼 + 1) β‰  (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 β‰  𝐽))
3231biimpar 477 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ (𝐼 + 1) β‰  (𝐽 + 1))
337axlowdimlem12 28475 . . . . . . . 8 (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐼 + 1) β‰  (𝐽 + 1)) β†’ (π‘…β€˜(𝐼 + 1)) = 0)
3417, 32, 33syl2an2r 682 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ (π‘…β€˜(𝐼 + 1)) = 0)
3519, 21, 343netr4d 3017 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) β‰  (π‘…β€˜(𝐼 + 1)))
36 df-ne 2940 . . . . . . . 8 ((π‘„β€˜π‘–) β‰  (π‘…β€˜π‘–) ↔ Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–))
37 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
38 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (π‘…β€˜π‘–) = (π‘…β€˜(𝐼 + 1)))
3937, 38neeq12d 3001 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) β‰  (π‘…β€˜π‘–) ↔ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) β‰  (π‘…β€˜(𝐼 + 1))))
4036, 39bitr3id 284 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–) ↔ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) β‰  (π‘…β€˜(𝐼 + 1))))
4140rspcev 3613 . . . . . 6 (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) β‰  (π‘…β€˜(𝐼 + 1))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑁) Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–))
4217, 35, 41syl2an2r 682 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑁) Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–))
4342ex 412 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝐼 β‰  𝐽 β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑁) Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–)))
44 df-ne 2940 . . . 4 (𝐼 β‰  𝐽 ↔ Β¬ 𝐼 = 𝐽)
45 rexnal 3099 . . . 4 (βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑁) Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–) ↔ Β¬ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–))
4643, 44, 453imtr3g 294 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (Β¬ 𝐼 = 𝐽 β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–)))
4746con4d 115 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–) β†’ 𝐼 = 𝐽))
4815, 47sylbid 239 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑄 = 𝑅 β†’ 𝐼 = 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5675   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   βˆ’ cmin 11449  β„•cn 12217  ...cfz 13489  π”Όcee 28410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-ee 28413
This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  28478
  Copyright terms: Public domain W3C validator