Theorem axlowdimlem14 28931

Description: Lemma for axlowdim 28937. Take two possible 𝑄 from axlowdimlem10 28927. They are the same iff their distinguished values are the same. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axlowdimlem14.1	⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
axlowdimlem14.2	⊢ 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐽 + 1)}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem14	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 → 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem axlowdimlem14

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem14.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
2	1	axlowdimlem10 28927	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		elee 28870	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
5	2, 4	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ)
6	5	ffnd 6652	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 Fn (1...𝑁))
7		axlowdimlem14.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐽 + 1)}) × {0}))
8	7	axlowdimlem10 28927	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		elee 28870	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ))
11	8, 10	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ)
12	11	ffnd 6652	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅 Fn (1...𝑁))
13		eqfnfv 6964	. . . 4 ⊢ ((𝑄 Fn (1...𝑁) ∧ 𝑅 Fn (1...𝑁)) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
14	6, 12, 13	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)))) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
15	14	3impdi 1351	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
16		fznatpl1 13475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
17	16	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
18		ax-1ne0 11072	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → 1 ≠ 0)
20	1	axlowdimlem11 28928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1)
22		elfzelz 13421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℂ)
24		elfzelz 13421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ ℂ)
26		ax-1cn 11061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		addcan2 11295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
28	26, 27	mp3an3 1452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
29	23, 25, 28	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
30	29	3adant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
31	30	necon3bid 2972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 ≠ 𝐽))
32	31	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1))
33	7	axlowdimlem12 28929	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1)) → (𝑅‘(𝐼 + 1)) = 0)
34	17, 32, 33	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝑅‘(𝐼 + 1)) = 0)
35	19, 21, 34	3netr4d 3005	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1)))
36		df-ne 2929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄‘𝑖) ≠ (𝑅‘𝑖) ↔ ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
37		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
38		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑅‘𝑖) = (𝑅‘(𝐼 + 1)))
39	37, 38	neeq12d 2989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑄‘𝑖) ≠ (𝑅‘𝑖) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))))
40	36, 39	bitr3id 285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))))
41	40	rspcev 3577	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
42	17, 35, 41	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
43	42	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 ≠ 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
44		df-ne 2929	. . . 4 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 ↔ ¬ 𝐼 = 𝐽)
45		rexnal 3084	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
46	43, 44, 45	3imtr3g 295	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (¬ 𝐼 = 𝐽 → ¬ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
47	46	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖) → 𝐼 = 𝐽))
48	15, 47	sylbid 240	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 → 𝐼 = 𝐽))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900  {csn 4576  ⟨cop 4582   × cxp 5614   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  ℝcr 11002  0cc0 11003  1c1 11004   + caddc 11006   − cmin 11341  ℕcn 12122  ...cfz 13404  𝔼cee 28864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-ee 28867

This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  28932