Theorem axlowdimlem14 28918

Description: Lemma for axlowdim 28924. Take two possible 𝑄 from axlowdimlem10 28914. They are the same iff their distinguished values are the same. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axlowdimlem14.1	⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
axlowdimlem14.2	⊢ 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐽 + 1)}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem14	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 → 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem axlowdimlem14

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem14.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
2	1	axlowdimlem10 28914	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		elee 28857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
5	2, 4	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ)
6	5	ffnd 6657	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 Fn (1...𝑁))
7		axlowdimlem14.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐽 + 1)}) × {0}))
8	7	axlowdimlem10 28914	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		elee 28857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ))
11	8, 10	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ)
12	11	ffnd 6657	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅 Fn (1...𝑁))
13		eqfnfv 6969	. . . 4 ⊢ ((𝑄 Fn (1...𝑁) ∧ 𝑅 Fn (1...𝑁)) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
14	6, 12, 13	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)))) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
15	14	3impdi 1351	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
16		fznatpl1 13499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
17	16	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
18		ax-1ne0 11097	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → 1 ≠ 0)
20	1	axlowdimlem11 28915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1)
22		elfzelz 13445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℂ)
24		elfzelz 13445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ ℂ)
26		ax-1cn 11086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		addcan2 11319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
28	26, 27	mp3an3 1452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
29	23, 25, 28	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
30	29	3adant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
31	30	necon3bid 2969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 ≠ 𝐽))
32	31	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1))
33	7	axlowdimlem12 28916	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1)) → (𝑅‘(𝐼 + 1)) = 0)
34	17, 32, 33	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝑅‘(𝐼 + 1)) = 0)
35	19, 21, 34	3netr4d 3002	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1)))
36		df-ne 2926	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄‘𝑖) ≠ (𝑅‘𝑖) ↔ ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
37		fveq2 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
38		fveq2 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑅‘𝑖) = (𝑅‘(𝐼 + 1)))
39	37, 38	neeq12d 2986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑄‘𝑖) ≠ (𝑅‘𝑖) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))))
40	36, 39	bitr3id 285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))))
41	40	rspcev 3579	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
42	17, 35, 41	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
43	42	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 ≠ 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
44		df-ne 2926	. . . 4 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 ↔ ¬ 𝐼 = 𝐽)
45		rexnal 3081	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
46	43, 44, 45	3imtr3g 295	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (¬ 𝐼 = 𝐽 → ¬ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
47	46	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖) → 𝐼 = 𝐽))
48	15, 47	sylbid 240	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 → 𝐼 = 𝐽))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903  {csn 4579  ⟨cop 4585   × cxp 5621   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   − cmin 11365  ℕcn 12146  ...cfz 13428  𝔼cee 28851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-ee 28854

This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  28919