MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem14 28203
Description: Lemma for axlowdim 28209. Take two possible 𝑄 from axlowdimlem10 28199. They are the same iff their distinguished values are the same. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem14.1 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
axlowdimlem14.2 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐽 + 1)}) × {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem axlowdimlem14
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem14.1 . . . . . . 7 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
21axlowdimlem10 28199 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
3 elee 28142 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
43adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
52, 4mpbid 231 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ)
65ffnd 6716 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 Fn (1...𝑁))
7 axlowdimlem14.2 . . . . . . 7 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐽 + 1)}) × {0}))
87axlowdimlem10 28199 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
9 elee 28142 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ))
109adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ))
118, 10mpbid 231 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ)
1211ffnd 6716 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅 Fn (1...𝑁))
13 eqfnfv 7030 . . . 4 ((𝑄 Fn (1...𝑁) ∧ 𝑅 Fn (1...𝑁)) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (𝑅𝑖)))
146, 12, 13syl2an 597 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)))) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (𝑅𝑖)))
15143impdi 1351 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (𝑅𝑖)))
16 fznatpl1 13552 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
17163adant3 1133 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
18 ax-1ne0 11176 . . . . . . . 8 1 ≠ 0
1918a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → 1 ≠ 0)
201axlowdimlem11 28200 . . . . . . . 8 (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1
2120a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1)
22 elfzelz 13498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℤ)
2322zcnd 12664 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℂ)
24 elfzelz 13498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ ℤ)
2524zcnd 12664 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ ℂ)
26 ax-1cn 11165 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
27 addcan2 11396 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
2826, 27mp3an3 1451 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
2923, 25, 28syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
30293adant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
3130necon3bid 2986 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1) ↔ 𝐼𝐽))
3231biimpar 479 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → (𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1))
337axlowdimlem12 28201 . . . . . . . 8 (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1)) → (𝑅‘(𝐼 + 1)) = 0)
3417, 32, 33syl2an2r 684 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑅‘(𝐼 + 1)) = 0)
3519, 21, 343netr4d 3019 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1)))
36 df-ne 2942 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑖) ≠ (𝑅𝑖) ↔ ¬ (𝑄𝑖) = (𝑅𝑖))
37 fveq2 6889 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
38 fveq2 6889 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑅𝑖) = (𝑅‘(𝐼 + 1)))
3937, 38neeq12d 3003 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑄𝑖) ≠ (𝑅𝑖) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))))
4036, 39bitr3id 285 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (¬ (𝑄𝑖) = (𝑅𝑖) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))))
4140rspcev 3613 . . . . . 6 (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄𝑖) = (𝑅𝑖))
4217, 35, 41syl2an2r 684 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄𝑖) = (𝑅𝑖))
4342ex 414 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄𝑖) = (𝑅𝑖)))
44 df-ne 2942 . . . 4 (𝐼𝐽 ↔ ¬ 𝐼 = 𝐽)
45 rexnal 3101 . . . 4 (∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄𝑖) = (𝑅𝑖) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (𝑅𝑖))
4643, 44, 453imtr3g 295 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (¬ 𝐼 = 𝐽 → ¬ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (𝑅𝑖)))
4746con4d 115 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (𝑅𝑖) → 𝐼 = 𝐽))
4815, 47sylbid 239 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅𝐼 = 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  cdif 3945  cun 3946  {csn 4628  cop 4634   × cxp 5674   Fn wfn 6536  wf 6537  cfv 6541  (class class class)co 7406  cc 11105  cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110  cmin 11441  cn 12209  ...cfz 13481  𝔼cee 28136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-ee 28139
This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  28204
  Copyright terms: Public domain W3C validator