Theorem axlowdimlem14 29024

Description: Lemma for axlowdim 29030. Take two possible 𝑄 from axlowdimlem10 29020. They are the same iff their distinguished values are the same. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axlowdimlem14.1	⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
axlowdimlem14.2	⊢ 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐽 + 1)}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem14	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 → 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem axlowdimlem14

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem14.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
2	1	axlowdimlem10 29020	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		elee 28962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
5	2, 4	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ)
6	5	ffnd 6669	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 Fn (1...𝑁))
7		axlowdimlem14.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐽 + 1)}) × {0}))
8	7	axlowdimlem10 29020	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		elee 28962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ))
11	8, 10	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ)
12	11	ffnd 6669	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅 Fn (1...𝑁))
13		eqfnfv 6983	. . . 4 ⊢ ((𝑄 Fn (1...𝑁) ∧ 𝑅 Fn (1...𝑁)) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
14	6, 12, 13	syl2an 597	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)))) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
15	14	3impdi 1352	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
16		fznatpl1 13532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
17	16	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
18		ax-1ne0 11107	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → 1 ≠ 0)
20	1	axlowdimlem11 29021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1)
22		elfzelz 13478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℂ)
24		elfzelz 13478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ ℂ)
26		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		addcan2 11331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
28	26, 27	mp3an3 1453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
29	23, 25, 28	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
30	29	3adant1 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
31	30	necon3bid 2976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 ≠ 𝐽))
32	31	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1))
33	7	axlowdimlem12 29022	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1)) → (𝑅‘(𝐼 + 1)) = 0)
34	17, 32, 33	syl2an2r 686	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝑅‘(𝐼 + 1)) = 0)
35	19, 21, 34	3netr4d 3009	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1)))
36		df-ne 2933	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄‘𝑖) ≠ (𝑅‘𝑖) ↔ ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
37		fveq2 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
38		fveq2 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑅‘𝑖) = (𝑅‘(𝐼 + 1)))
39	37, 38	neeq12d 2993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑄‘𝑖) ≠ (𝑅‘𝑖) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))))
40	36, 39	bitr3id 285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))))
41	40	rspcev 3564	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
42	17, 35, 41	syl2an2r 686	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
43	42	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 ≠ 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
44		df-ne 2933	. . . 4 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 ↔ ¬ 𝐼 = 𝐽)
45		rexnal 3089	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
46	43, 44, 45	3imtr3g 295	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (¬ 𝐼 = 𝐽 → ¬ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
47	46	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖) → 𝐼 = 𝐽))
48	15, 47	sylbid 240	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 → 𝐼 = 𝐽))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887  {csn 4567  ⟨cop 4573   × cxp 5629   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11377  ℕcn 12174  ...cfz 13461  𝔼cee 28956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-ee 28959

This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  29025