Theorem axlowdimlem14 29102

Description: Lemma for axlowdim 29108. Take two possible 𝑄 from axlowdimlem10 29098. They are the same iff their distinguished values are the same. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axlowdimlem14.1	⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
axlowdimlem14.2	⊢ 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐽 + 1)}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem14	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 → 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem axlowdimlem14

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem14.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
2	1	axlowdimlem10 29098	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		elee 29040	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
4	3	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
5	2, 4	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ)
6	5	ffnd 6688	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 Fn (1...𝑁))
7		axlowdimlem14.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐽 + 1)}) × {0}))
8	7	axlowdimlem10 29098	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		elee 29040	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ))
10	9	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ))
11	8, 10	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ)
12	11	ffnd 6688	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅 Fn (1...𝑁))
13		eqfnfv 7007	. . . 4 ⊢ ((𝑄 Fn (1...𝑁) ∧ 𝑅 Fn (1...𝑁)) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
14	6, 12, 13	syl2an 605	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)))) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
15	14	3impdi 1363	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
16		fznatpl1 13580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
17	16	3adant3 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
18		ax-1ne0 11139	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → 1 ≠ 0)
20	1	axlowdimlem11 29099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1)
22		elfzelz 13526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℂ)
24		elfzelz 13526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ ℂ)
26		ax-1cn 11128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
27		addcan2 11365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
28	26, 27	mp3an3 1470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
29	23, 25, 28	syl2an 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
30	29	3adant1 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
31	30	necon3bid 3000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 ≠ 𝐽))
32	31	biimpar 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1))
33	7	axlowdimlem12 29100	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1)) → (𝑅‘(𝐼 + 1)) = 0)
34	17, 32, 33	syl2an2r 695	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝑅‘(𝐼 + 1)) = 0)
35	19, 21, 34	3netr4d 3033	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1)))
36		df-ne 2957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄‘𝑖) ≠ (𝑅‘𝑖) ↔ ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
37		fveq2 6863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
38		fveq2 6863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑅‘𝑖) = (𝑅‘(𝐼 + 1)))
39	37, 38	neeq12d 3017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑄‘𝑖) ≠ (𝑅‘𝑖) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))))
40	36, 39	bitr3id 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))))
41	40	rspcev 3581	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
42	17, 35, 41	syl2an2r 695	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
43	42	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 ≠ 𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
44		df-ne 2957	. . . 4 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 ↔ ¬ 𝐼 = 𝐽)
45		rexnal 3113	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖))
46	43, 44, 45	3imtr3g 297	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (¬ 𝐼 = 𝐽 → ¬ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖)))
47	46	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄‘𝑖) = (𝑅‘𝑖) → 𝐼 = 𝐽))
48	15, 47	sylbid 242	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 → 𝐼 = 𝐽))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902  {csn 4581  ⟨cop 4587   × cxp 5643   Fn wfn 6512  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   − cmin 11411  ℕcn 12207  ...cfz 13509  𝔼cee 29034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-ee 29037

This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  29103