MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem14 26140
Description: Lemma for axlowdim 26146. Take two possible 𝑄 from axlowdimlem10 26136. They are the same iff their distinguished values are the same. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem14.1 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
axlowdimlem14.2 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐽 + 1)}) × {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem axlowdimlem14
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem14.1 . . . . . . 7 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
21axlowdimlem10 26136 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
3 elee 26079 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
43adantr 472 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
52, 4mpbid 223 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ)
65ffnd 6226 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 Fn (1...𝑁))
7 axlowdimlem14.2 . . . . . . 7 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐽 + 1)}) × {0}))
87axlowdimlem10 26136 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
9 elee 26079 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ))
109adantr 472 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ))
118, 10mpbid 223 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ)
1211ffnd 6226 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅 Fn (1...𝑁))
13 eqfnfv 6505 . . . 4 ((𝑄 Fn (1...𝑁) ∧ 𝑅 Fn (1...𝑁)) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (𝑅𝑖)))
146, 12, 13syl2an 589 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)))) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (𝑅𝑖)))
15143impdi 1459 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (𝑅𝑖)))
16 fznatpl1 12607 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
17163adant3 1162 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
1817adantr 472 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
19 ax-1ne0 10262 . . . . . . . 8 1 ≠ 0
2019a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → 1 ≠ 0)
211axlowdimlem11 26137 . . . . . . . 8 (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1
2221a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1)
23 elfzelz 12554 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℤ)
2423zcnd 11735 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℂ)
25 elfzelz 12554 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ ℤ)
2625zcnd 11735 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ ℂ)
27 ax-1cn 10251 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
28 addcan2 10479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
2927, 28mp3an3 1574 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
3024, 26, 29syl2an 589 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
31303adant1 1160 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
3231necon3bid 2981 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1) ↔ 𝐼𝐽))
3332biimpar 469 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → (𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1))
347axlowdimlem12 26138 . . . . . . . 8 (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1)) → (𝑅‘(𝐼 + 1)) = 0)
3518, 33, 34syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑅‘(𝐼 + 1)) = 0)
3620, 22, 353netr4d 3014 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1)))
37 df-ne 2938 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑖) ≠ (𝑅𝑖) ↔ ¬ (𝑄𝑖) = (𝑅𝑖))
38 fveq2 6379 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
39 fveq2 6379 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑅𝑖) = (𝑅‘(𝐼 + 1)))
4038, 39neeq12d 2998 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑄𝑖) ≠ (𝑅𝑖) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))))
4137, 40syl5bbr 276 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (¬ (𝑄𝑖) = (𝑅𝑖) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))))
4241rspcev 3462 . . . . . 6 (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄𝑖) = (𝑅𝑖))
4318, 36, 42syl2anc 579 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄𝑖) = (𝑅𝑖))
4443ex 401 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄𝑖) = (𝑅𝑖)))
45 df-ne 2938 . . . 4 (𝐼𝐽 ↔ ¬ 𝐼 = 𝐽)
46 rexnal 3141 . . . 4 (∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄𝑖) = (𝑅𝑖) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (𝑅𝑖))
4744, 45, 463imtr3g 286 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (¬ 𝐼 = 𝐽 → ¬ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (𝑅𝑖)))
4847con4d 115 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (𝑅𝑖) → 𝐼 = 𝐽))
4915, 48sylbid 231 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅𝐼 = 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  cdif 3731  cun 3732  {csn 4336  cop 4342   × cxp 5277   Fn wfn 6065  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  cc 10191  cr 10192  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196  cmin 10524  cn 11278  ...cfz 12538  𝔼cee 26073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-er 7951  df-map 8066  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-nn 11279  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-fz 12539  df-ee 26076
This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  26141
  Copyright terms: Public domain W3C validator