MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem14 28480
Description: Lemma for axlowdim 28486. Take two possible 𝑄 from axlowdimlem10 28476. They are the same iff their distinguished values are the same. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem14.1 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}) Γ— {0}))
axlowdimlem14.2 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {(𝐽 + 1)}) Γ— {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem14 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑄 = 𝑅 β†’ 𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem axlowdimlem14
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem14.1 . . . . . . 7 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {(𝐼 + 1)}) Γ— {0}))
21axlowdimlem10 28476 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑄 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
3 elee 28419 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑄 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↔ 𝑄:(1...𝑁)βŸΆβ„))
43adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑄 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↔ 𝑄:(1...𝑁)βŸΆβ„))
52, 4mpbid 231 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑄:(1...𝑁)βŸΆβ„)
65ffnd 6717 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑄 Fn (1...𝑁))
7 axlowdimlem14.2 . . . . . . 7 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {(𝐽 + 1)}) Γ— {0}))
87axlowdimlem10 28476 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
9 elee 28419 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↔ 𝑅:(1...𝑁)βŸΆβ„))
109adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑅 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↔ 𝑅:(1...𝑁)βŸΆβ„))
118, 10mpbid 231 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑅:(1...𝑁)βŸΆβ„)
1211ffnd 6717 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑅 Fn (1...𝑁))
13 eqfnfv 7031 . . . 4 ((𝑄 Fn (1...𝑁) ∧ 𝑅 Fn (1...𝑁)) β†’ (𝑄 = 𝑅 ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–)))
146, 12, 13syl2an 594 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)))) β†’ (𝑄 = 𝑅 ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–)))
15143impdi 1348 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑄 = 𝑅 ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–)))
16 fznatpl1 13559 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
17163adant3 1130 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
18 ax-1ne0 11181 . . . . . . . 8 1 β‰  0
1918a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ 1 β‰  0)
201axlowdimlem11 28477 . . . . . . . 8 (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = 1
2120a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = 1)
22 elfzelz 13505 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
2322zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝐼 ∈ β„‚)
24 elfzelz 13505 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
2524zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝐽 ∈ β„‚)
26 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„‚
27 addcan2 11403 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ β„‚ ∧ 𝐽 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
2826, 27mp3an3 1448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ β„‚ ∧ 𝐽 ∈ β„‚) β†’ ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
2923, 25, 28syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
30293adant1 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
3130necon3bid 2983 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐼 + 1) β‰  (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 β‰  𝐽))
3231biimpar 476 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ (𝐼 + 1) β‰  (𝐽 + 1))
337axlowdimlem12 28478 . . . . . . . 8 (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐼 + 1) β‰  (𝐽 + 1)) β†’ (π‘…β€˜(𝐼 + 1)) = 0)
3417, 32, 33syl2an2r 681 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ (π‘…β€˜(𝐼 + 1)) = 0)
3519, 21, 343netr4d 3016 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) β‰  (π‘…β€˜(𝐼 + 1)))
36 df-ne 2939 . . . . . . . 8 ((π‘„β€˜π‘–) β‰  (π‘…β€˜π‘–) ↔ Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–))
37 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
38 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (π‘…β€˜π‘–) = (π‘…β€˜(𝐼 + 1)))
3937, 38neeq12d 3000 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) β‰  (π‘…β€˜π‘–) ↔ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) β‰  (π‘…β€˜(𝐼 + 1))))
4036, 39bitr3id 284 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–) ↔ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) β‰  (π‘…β€˜(𝐼 + 1))))
4140rspcev 3611 . . . . . 6 (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) β‰  (π‘…β€˜(𝐼 + 1))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑁) Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–))
4217, 35, 41syl2an2r 681 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) ∧ 𝐼 β‰  𝐽) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑁) Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–))
4342ex 411 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝐼 β‰  𝐽 β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑁) Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–)))
44 df-ne 2939 . . . 4 (𝐼 β‰  𝐽 ↔ Β¬ 𝐼 = 𝐽)
45 rexnal 3098 . . . 4 (βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑁) Β¬ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–) ↔ Β¬ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–))
4643, 44, 453imtr3g 294 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (Β¬ 𝐼 = 𝐽 β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–)))
4746con4d 115 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘„β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘–) β†’ 𝐼 = 𝐽))
4815, 47sylbid 239 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑄 = 𝑅 β†’ 𝐼 = 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945  {csn 4627  βŸ¨cop 4633   Γ— cxp 5673   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  ...cfz 13488  π”Όcee 28413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-ee 28416
This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  28481
  Copyright terms: Public domain W3C validator