Theorem axlowdimlem12 29022

Description: Lemma for axlowdim 29030. Calculate the value of 𝑄 away from its distinguished point. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem10.1	⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem12	⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)) → (𝑄‘𝐾) = 0)

Proof of Theorem axlowdimlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem10.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
2	1	fveq1i 6841	. 2 ⊢ (𝑄‘𝐾) = (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾)
3		eldifsn 4731	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ↔ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)))
4		disjdif 4412	. . . . 5 ⊢ ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅
5		ovex 7400	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 + 1) ∈ V
6		1ex 11140	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
7	5, 6	fnsn 6556	. . . . . 6 ⊢ {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)}
8		c0ex 11138	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
9	8	fconst 6726	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0}
10		ffn 6668	. . . . . . 7 ⊢ ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})
12		fvun2 6932	. . . . . 6 ⊢ (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)} ∧ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ∧ (({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ 𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾))
13	7, 11, 12	mp3an12 1454	. . . . 5 ⊢ ((({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ 𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾))
14	4, 13	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾))
15	8	fvconst2 7159	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) → ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾) = 0)
16	14, 15	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = 0)
17	3, 16	sylbir 235	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = 0)
18	2, 17	eqtrid 2783	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)) → (𝑄‘𝐾) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888  ∅c0 4273  {csn 4567  ⟨cop 4573   × cxp 5629   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-mulcl 11100  ax-i2m1 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370

This theorem is referenced by:  axlowdimlem14  29024  axlowdimlem16  29026  axlowdimlem17  29027