Theorem axlowdimlem12 28983

Description: Lemma for axlowdim 28991. Calculate the value of 𝑄 away from its distinguished point. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem10.1	⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem12	⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)) → (𝑄‘𝐾) = 0)

Proof of Theorem axlowdimlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem10.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
2	1	fveq1i 6908	. 2 ⊢ (𝑄‘𝐾) = (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾)
3		eldifsn 4791	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ↔ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)))
4		disjdif 4478	. . . . 5 ⊢ ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅
5		ovex 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 + 1) ∈ V
6		1ex 11255	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
7	5, 6	fnsn 6626	. . . . . 6 ⊢ {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)}
8		c0ex 11253	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
9	8	fconst 6795	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0}
10		ffn 6737	. . . . . . 7 ⊢ ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})
12		fvun2 7001	. . . . . 6 ⊢ (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)} ∧ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ∧ (({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ 𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾))
13	7, 11, 12	mp3an12 1450	. . . . 5 ⊢ ((({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ 𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾))
14	4, 13	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾))
15	8	fvconst2 7224	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) → ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾) = 0)
16	14, 15	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = 0)
17	3, 16	sylbir 235	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = 0)
18	2, 17	eqtrid 2787	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)) → (𝑄‘𝐾) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962  ∅c0 4339  {csn 4631  ⟨cop 4637   × cxp 5687   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-mulcl 11215  ax-i2m1 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434

This theorem is referenced by:  axlowdimlem14  28985  axlowdimlem16  28987  axlowdimlem17  28988