Theorem axlowdimlem12 29026

Description: Lemma for axlowdim 29034. Calculate the value of 𝑄 away from its distinguished point. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem10.1	⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem12	⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)) → (𝑄‘𝐾) = 0)

Proof of Theorem axlowdimlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem10.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
2	1	fveq1i 6835	. 2 ⊢ (𝑄‘𝐾) = (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾)
3		eldifsn 4742	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ↔ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)))
4		disjdif 4424	. . . . 5 ⊢ ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅
5		ovex 7391	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 + 1) ∈ V
6		1ex 11128	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
7	5, 6	fnsn 6550	. . . . . 6 ⊢ {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)}
8		c0ex 11126	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
9	8	fconst 6720	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0}
10		ffn 6662	. . . . . . 7 ⊢ ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})
12		fvun2 6926	. . . . . 6 ⊢ (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)} ∧ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ∧ (({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ 𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾))
13	7, 11, 12	mp3an12 1453	. . . . 5 ⊢ ((({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ 𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾))
14	4, 13	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾))
15	8	fvconst2 7150	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) → ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾) = 0)
16	14, 15	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = 0)
17	3, 16	sylbir 235	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = 0)
18	2, 17	eqtrid 2783	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)) → (𝑄‘𝐾) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3898   ∪ cun 3899   ∩ cin 3900  ∅c0 4285  {csn 4580  ⟨cop 4586   × cxp 5622   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029  ...cfz 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-mulcl 11088  ax-i2m1 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361

This theorem is referenced by:  axlowdimlem14  29028  axlowdimlem16  29030  axlowdimlem17  29031