Theorem axlowdimlem12 28929

Description: Lemma for axlowdim 28937. Calculate the value of 𝑄 away from its distinguished point. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem10.1	⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem12	⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)) → (𝑄‘𝐾) = 0)

Proof of Theorem axlowdimlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem10.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
2	1	fveq1i 6823	. 2 ⊢ (𝑄‘𝐾) = (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾)
3		eldifsn 4738	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ↔ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)))
4		disjdif 4422	. . . . 5 ⊢ ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅
5		ovex 7379	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 + 1) ∈ V
6		1ex 11105	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
7	5, 6	fnsn 6539	. . . . . 6 ⊢ {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)}
8		c0ex 11103	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
9	8	fconst 6709	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0}
10		ffn 6651	. . . . . . 7 ⊢ ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})
12		fvun2 6914	. . . . . 6 ⊢ (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)} ∧ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ∧ (({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ 𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾))
13	7, 11, 12	mp3an12 1453	. . . . 5 ⊢ ((({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ 𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾))
14	4, 13	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾))
15	8	fvconst2 7138	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) → ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾) = 0)
16	14, 15	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = 0)
17	3, 16	sylbir 235	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = 0)
18	2, 17	eqtrid 2778	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)) → (𝑄‘𝐾) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4283  {csn 4576  ⟨cop 4582   × cxp 5614   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11003  1c1 11004   + caddc 11006  ...cfz 13404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-mulcl 11065  ax-i2m1 11071

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349

This theorem is referenced by:  axlowdimlem14  28931  axlowdimlem16  28933  axlowdimlem17  28934