MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binomlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomlem 15721
Description: Lemma for binom 15722 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
binomlem.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
binomlem.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
binomlem.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
binomlem.4 (๐œ“ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
Assertion
Ref Expression
binomlem ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(๐‘ + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))(((๐‘ + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐œ“(๐‘˜)

Proof of Theorem binomlem
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomlem.4 . . . . . 6 (๐œ“ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
21adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
32oveq1d 7377 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) ยท ๐ด) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) ยท ๐ด))
4 fzfid 13885 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0...๐‘) โˆˆ Fin)
5 binomlem.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6 fzelp1 13500 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)))
7 binomlem.3 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
8 elfzelz 13448 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
9 bccl 14229 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
107, 8, 9syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
1110nn0cnd 12482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
126, 11sylan2 594 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
13 fznn0sub 13480 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
14 expcl 13992 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
155, 13, 14syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
16 binomlem.2 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
17 elfznn0 13541 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
18 expcl 13992 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1916, 17, 18syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
206, 19sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2115, 20mulcld 11182 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
2212, 21mulcld 11182 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
234, 5, 22fsummulc1 15677 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) ยท ๐ด) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) ยท ๐ด))
245adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2512, 21, 24mulassd 11185 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) ยท ๐ด) = ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) ยท ๐ด)))
267nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2726adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
28 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
29 elfzelz 13448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
3029adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
3130zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
3227, 28, 31addsubd 11540 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1))
3332oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
34 expp1 13981 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท ๐ด))
355, 13, 34syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท ๐ด))
3633, 35eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท ๐ด))
3736oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) = (((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท ๐ด) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))
3815, 24, 20mul32d 11372 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท ๐ด) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) = (((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) ยท ๐ด))
3937, 38eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) = (((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) ยท ๐ด))
4039oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) ยท ๐ด)))
4125, 40eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) ยท ๐ด) = ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
4241sumeq2dv 15595 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) ยท ๐ด) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
43 fzssp1 13491 . . . . . . . 8 (0...๐‘) โŠ† (0...(๐‘ + 1))
4443a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0...๐‘) โŠ† (0...(๐‘ + 1)))
45 fznn0sub 13480 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)) โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
46 expcl 13992 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
475, 45, 46syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
4847, 19mulcld 11182 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
4911, 48mulcld 11182 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
506, 49sylan2 594 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
517adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– (0...๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
52 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– (0...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)))
5352, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– (0...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
5453adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– (0...๐‘))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
55 eldifn 4092 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– (0...๐‘)) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘))
5655adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– (0...๐‘))) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘))
57 bcval3 14213 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C๐‘˜) = 0)
5851, 54, 56, 57syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– (0...๐‘))) โ†’ (๐‘C๐‘˜) = 0)
5958oveq1d 7377 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– (0...๐‘))) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = (0 ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
6048mul02d 11360 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ (0 ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = 0)
6152, 60sylan2 594 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– (0...๐‘))) โ†’ (0 ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = 0)
6259, 61eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– (0...๐‘))) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = 0)
63 fzssuz 13489 . . . . . . . 8 (0...(๐‘ + 1)) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
6463a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0...(๐‘ + 1)) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
6544, 50, 62, 64sumss 15616 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
6623, 42, 653eqtrd 2781 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) ยท ๐ด) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
6766adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) ยท ๐ด) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
683, 67eqtrd 2777 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) ยท ๐ด) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
691oveq1d 7377 . . . 4 (๐œ“ โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) ยท ๐ต) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) ยท ๐ต))
704, 16, 22fsummulc1 15677 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) ยท ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) ยท ๐ต))
71 1zzd 12541 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
72 0z 12517 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„ค
7372a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
747nn0zd 12532 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
7516adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7622, 75mulcld 11182 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
77 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = (๐‘— โˆ’ 1) โ†’ (๐‘C๐‘˜) = (๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)))
78 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (๐‘— โˆ’ 1) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1)))
7978oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = (๐‘— โˆ’ 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1))))
80 oveq2 7370 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = (๐‘— โˆ’ 1) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) = (๐ตโ†‘(๐‘— โˆ’ 1)))
8179, 80oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = (๐‘— โˆ’ 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘— โˆ’ 1))))
8277, 81oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = (๐‘— โˆ’ 1) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = ((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘— โˆ’ 1)))))
8382oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘— โˆ’ 1) โ†’ (((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) ยท ๐ต) = (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘— โˆ’ 1)))) ยท ๐ต))
8471, 73, 74, 76, 83fsumshft 15672 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) ยท ๐ต) = ฮฃ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))(((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘— โˆ’ 1)))) ยท ๐ต))
85 oveq1 7369 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) = (๐‘˜ โˆ’ 1))
8685oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) = (๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)))
8785oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1)) = (๐‘ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
8887oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1))) = (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
8985oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘— โˆ’ 1)) = (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))
9088, 89oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘— โˆ’ 1))) = ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))))
9186, 90oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘— โˆ’ 1)))) = ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
9291oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘— โˆ’ 1)))) ยท ๐ต) = (((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) ยท ๐ต))
9392cbvsumv 15588 . . . . . . 7 ฮฃ๐‘— โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))(((๐‘C(๐‘— โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘— โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘— โˆ’ 1)))) ยท ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))(((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) ยท ๐ต)
9484, 93eqtrdi 2793 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) ยท ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))(((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) ยท ๐ต))
9526adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
96 elfzelz 13448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
9796adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
9897zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
99 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
10095, 98, 99subsub3d 11549 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) = ((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜))
101100oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))) = (๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)))
102101oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))) = ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))))
103102oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) = ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))))
104103oveq1d 7377 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) ยท ๐ต) = (((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) ยท ๐ต))
105 fzp1ss 13499 . . . . . . . . . . . 12 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โŠ† (0...(๐‘ + 1)))
10672, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โŠ† (0...(๐‘ + 1))
107106sseli 3945 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)))
1088adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
109 peano2zm 12553 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
111 bccl 14229 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
1127, 110, 111syl2an2r 684 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
113112nn0cnd 12482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
114107, 113sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
115107, 47sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
11616adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
117 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
118 0p1e1 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
119118oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) = (1...(๐‘ + 1))
120117, 119eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
121120adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
122 nnm1nn0 12461 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
124116, 123expcld 14058 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
125115, 124mulcld 11182 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
126114, 125, 116mulassd 11185 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) ยท ๐ต) = ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))) ยท ๐ต)))
127115, 124, 116mulassd 11185 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))) ยท ๐ต) = ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ๐ต)))
128 expm1t 14003 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) = ((๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ๐ต))
12916, 120, 128syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) = ((๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ๐ต))
130129oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท ((๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ๐ต)))
131127, 130eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))) ยท ๐ต) = ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))
132131oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท (((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1))) ยท ๐ต)) = ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
133104, 126, 1323eqtrd 2781 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) ยท ๐ต) = ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
134133sumeq2dv 15595 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))(((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))) ยท (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ 1)))) ยท ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
135106a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โŠ† (0...(๐‘ + 1)))
136113, 48mulcld 11182 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
137107, 136sylan2 594 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) โˆˆ โ„‚)
1387adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
139 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)))
140139adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1)))
141140, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
142141, 109syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
143 eldifn 4092 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1))) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))
144143adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))
14572a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
146138nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
147 1zzd 12541 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
148 fzaddel 13482 . . . . . . . . . . . . 13 (((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘) โ†” ((๐‘˜ โˆ’ 1) + 1) โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))))
149145, 146, 142, 147, 148syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))) โ†’ ((๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘) โ†” ((๐‘˜ โˆ’ 1) + 1) โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))))
150141zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
151 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„‚
152 npcan 11417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘˜)
153150, 151, 152sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))) โ†’ ((๐‘˜ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘˜)
154153eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))) โ†’ (((๐‘˜ โˆ’ 1) + 1) โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1)) โ†” ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))))
155149, 154bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))) โ†’ ((๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘) โ†” ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))))
156144, 155mtbird 325 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))) โ†’ ยฌ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘))
157 bcval3 14213 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) = 0)
158138, 142, 156, 157syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))) โ†’ (๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) = 0)
159158oveq1d 7377 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))) โ†’ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = (0 ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
160139, 60sylan2 594 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))) โ†’ (0 ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = 0)
161159, 160eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...(๐‘ + 1)) โˆ– ((0 + 1)...(๐‘ + 1)))) โ†’ ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = 0)
162135, 137, 161, 64sumss 15616 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((0 + 1)...(๐‘ + 1))((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
16394, 134, 1623eqtrd 2781 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) ยท ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
16470, 163eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) ยท ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
16569, 164sylan9eqr 2799 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) ยท ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
16668, 165oveq12d 7380 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) ยท ๐ด) + (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) ยท ๐ต)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
1675, 16addcld 11181 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
168167, 7expp1d 14059 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(๐‘ + 1)) = (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) ยท (๐ด + ๐ต)))
169167, 7expcld 14058 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
170169, 5, 16adddid 11186 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) ยท (๐ด + ๐ต)) = ((((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) ยท ๐ด) + (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) ยท ๐ต)))
171168, 170eqtrd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(๐‘ + 1)) = ((((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) ยท ๐ด) + (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) ยท ๐ต)))
172171adantr 482 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(๐‘ + 1)) = ((((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) ยท ๐ด) + (((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) ยท ๐ต)))
173 bcpasc 14228 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) + (๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1))) = ((๐‘ + 1)C๐‘˜))
1747, 8, 173syl2an 597 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘C๐‘˜) + (๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1))) = ((๐‘ + 1)C๐‘˜))
175174oveq1d 7377 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘C๐‘˜) + (๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1))) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = (((๐‘ + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
17611, 113, 48adddird 11187 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘C๐‘˜) + (๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1))) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = (((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) + ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
177175, 176eqtr3d 2779 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))) โ†’ (((๐‘ + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = (((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) + ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
178177sumeq2dv 15595 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))(((๐‘ + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))(((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) + ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
179 fzfid 13885 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0...(๐‘ + 1)) โˆˆ Fin)
180179, 49, 136fsumadd 15632 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))(((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) + ((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
181178, 180eqtrd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))(((๐‘ + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
182181adantr 482 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))(((๐‘ + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))((๐‘C(๐‘˜ โˆ’ 1)) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜)))))
183166, 172, 1823eqtr4d 2787 1 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(๐‘ + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))(((๐‘ + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆ– cdif 3912   โŠ† wss 3915  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  โ„•cn 12160  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  ...cfz 13431  โ†‘cexp 13974  Ccbc 14209  ฮฃcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  binom  15722
  Copyright terms: Public domain W3C validator