binomlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem binomlem 15044

Description: Lemma for binom 15045 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
binomlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
binomlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
binomlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
binomlem.4	⊢ (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

**Assertion**
Ref	Expression
binomlem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝐵,𝑘 𝑘,𝑁 𝜑,𝑘 Allowed substitution hint: 𝜓(𝑘)

Proof of Theorem binomlem Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomlem.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
2	1	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
3	2	oveq1d 6991	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴))
4		fzfid 13156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
5		binomlem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		fzelp1 12775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
7		binomlem.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
8		elfzelz 12724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9		bccl 13497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ₀)
10	7, 8, 9	syl2an 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ₀)
11	10	nn0cnd 11769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
12	6, 11	sylan2 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
13		fznn0sub 12755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ₀)
14		expcl 13262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
15	5, 13, 14	syl2an 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
16		binomlem.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17		elfznn0 12816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
18		expcl 13262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
19	16, 17, 18	syl2an 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
20	6, 19	sylan2 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
21	15, 20	mulcld 10460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
22	12, 21	mulcld 10460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
23	4, 5, 22	fsummulc1 15000	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴))
24	5	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	12, 21, 24	mulassd 10463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) · 𝐴)))
26	7	nn0cnd 11769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
27	26	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
28		1cnd 10434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
29		elfzelz 12724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
30	29	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
31	30	zcnd 11901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
32	27, 28, 31	addsubd 10819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 𝑘) + 1))
33	32	oveq2d 6992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴↑((𝑁 − 𝑘) + 1)))
34		expp1 13251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · 𝐴))
35	5, 13, 34	syl2an 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · 𝐴))
36	33, 35	eqtrd 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · 𝐴))
37	36	oveq1d 6991	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · 𝐴) · (𝐵↑𝑘)))
38	15, 24, 20	mul32d 10650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · 𝐴) · (𝐵↑𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) · 𝐴))
39	37, 38	eqtrd 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) · 𝐴))
40	39	oveq2d 6992	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) · 𝐴)))
41	25, 40	eqtr4d 2818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
42	41	sumeq2dv 14920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
43		fzssp1 12766	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
45		fznn0sub 12755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ₀)
46		expcl 13262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
47	5, 45, 46	syl2an 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
48	47, 19	mulcld 10460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
49	11, 48	mulcld 10460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
50	6, 49	sylan2 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
51	7	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
52		eldifi 3994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
53	52, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
54	53	adantl 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
55		eldifn 3995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
56	55	adantl 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
57		bcval3 13481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) = 0)
58	51, 54, 56, 57	syl3anc 1351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑁C𝑘) = 0)
59	58	oveq1d 6991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
60	48	mul02d 10638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
61	52, 60	sylan2 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
62	59, 61	eqtrd 2815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
63		fzssuz 12764	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ_≥‘0)
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ_≥‘0))
65	44, 50, 62, 64	sumss 14941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
66	23, 42, 65	3eqtrd 2819	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
67	66	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
68	3, 67	eqtrd 2815	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
69	1	oveq1d 6991	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵))
70	4, 16, 22	fsummulc1 15000	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵))
71		1zzd 11826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
72		0z 11804	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
73	72	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
74	7	nn0zd 11898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
75	16	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
76	22, 75	mulcld 10460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) ∈ ℂ)
77		oveq2 6984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑗 − 1)))
78		oveq2 6984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − (𝑗 − 1)))
79	78	oveq2d 6992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) = (𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))))
80		oveq2 6984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑(𝑗 − 1)))
81	79, 80	oveq12d 6994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) = ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1))))
82	77, 81	oveq12d 6994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))))
83	82	oveq1d 6991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵))
84	71, 73, 74, 76, 83	fsumshft 14995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵))
85		oveq1 6983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − 1) = (𝑘 − 1))
86	85	oveq2d 6992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁C(𝑗 − 1)) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
87	85	oveq2d 6992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 − (𝑗 − 1)) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
88	87	oveq2d 6992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) = (𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
89	85	oveq2d 6992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐵↑(𝑗 − 1)) = (𝐵↑(𝑘 − 1)))
90	88, 89	oveq12d 6994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1))) = ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1))))
91	86, 90	oveq12d 6994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))))
92	91	oveq1d 6991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
93	92	cbvsumv 14913	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵)
94	84, 93	syl6eq 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
95	26	adantr 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
96		elfzelz 12724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
97	96	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
98	97	zcnd 11901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
99		1cnd 10434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
100	95, 98, 99	subsub3d 10828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
101	100	oveq2d 6992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) = (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)))
102	101	oveq1d 6991	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))))
103	102	oveq2d 6992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))))
104	103	oveq1d 6991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
105		fzp1ss 12774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
106	72, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
107	106	sseli 3855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
108	8	adantl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
109		peano2zm 11838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
111		bccl 13497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ₀)
112	7, 110, 111	syl2an2r 672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ₀)
113	112	nn0cnd 11769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
114	107, 113	sylan2 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
115	107, 47	sylan2 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
116	16	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
117		elfznn 12752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
118		0p1e1 11569	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
119	118	oveq1i 6986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
120	117, 119	eleq2s 2885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
121	120	adantl 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
122		nnm1nn0 11750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ₀)
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ₀)
124	116, 123	expcld 13325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐵↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
125	115, 124	mulcld 10460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
126	114, 125, 116	mulassd 10463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵)))
127	115, 124, 116	mulassd 10463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵)))
128		expm1t 13272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) = ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵))
129	16, 120, 128	syl2an 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐵↑𝑘) = ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵))
130	129	oveq2d 6992	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵)))
131	127, 130	eqtr4d 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))
132	131	oveq2d 6992	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
133	104, 126, 132	3eqtrd 2819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
134	133	sumeq2dv 14920	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
135	106	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
136	113, 48	mulcld 10460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
137	107, 136	sylan2 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
138	7	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
139		eldifi 3994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
140	139	adantl 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
141	140, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
142	141, 109	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
143		eldifn 3995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
144	143	adantl 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
145	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 0 ∈ ℤ)
146	138	nn0zd 11898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
147		1zzd 11826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℤ)
148		fzaddel 12757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
149	145, 146, 142, 147, 148	syl22anc 826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
150	141	zcnd 11901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
151		ax-1cn 10393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
152		npcan 10696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
153	150, 151, 152	sylancl 577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
154	153	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
155	149, 154	bitrd 271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
156	144, 155	mtbird 317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ¬ (𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁))
157		bcval3 13481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑘 − 1)) = 0)
158	138, 142, 156, 157	syl3anc 1351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) = 0)
159	158	oveq1d 6991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
160	139, 60	sylan2 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
161	159, 160	eqtrd 2815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
162	135, 137, 161, 64	sumss 14941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
163	94, 134, 162	3eqtrd 2819	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
164	70, 163	eqtrd 2815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
165	69, 164	sylan9eqr 2837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
166	68, 165	oveq12d 6994	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
167	5, 16	addcld 10459	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
168	167, 7	expp1d 13326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · (𝐴 + 𝐵)))
169	167, 7	expcld 13325	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ)
170	169, 5, 16	adddid 10464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
171	168, 170	eqtrd 2815	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
172	171	adantr 473	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
173		bcpasc 13496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
174	7, 8, 173	syl2an 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
175	174	oveq1d 6991	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
176	11, 113, 48	adddird 10465	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
177	175, 176	eqtr3d 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
178	177	sumeq2dv 14920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
179		fzfid 13156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
180	179, 49, 136	fsumadd 14956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
181	178, 180	eqtrd 2815	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
182	181	adantr 473	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
183	166, 172, 182	3eqtr4d 2825	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 387 = wceq 1507 ∈ wcel 2050 ∖ cdif 3827 ⊆ wss 3830 ‘cfv 6188 (class class class)co 6976 ℂcc 10333 0cc0 10335 1c1 10336 + caddc 10338 · cmul 10340 − cmin 10670 ℕcn 11439 ℕ₀cn0 11707 ℤcz 11793 ℤ_≥cuz 12058 ...cfz 12708 ↑cexp 13244 Ccbc 13477 Σcsu 14903

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1758 ax-4 1772 ax-5 1869 ax-6 1928 ax-7 1965 ax-8 2052 ax-9 2059 ax-10 2079 ax-11 2093 ax-12 2106 ax-13 2301 ax-ext 2751 ax-rep 5049 ax-sep 5060 ax-nul 5067 ax-pow 5119 ax-pr 5186 ax-un 7279 ax-inf2 8898 ax-cnex 10391 ax-resscn 10392 ax-1cn 10393 ax-icn 10394 ax-addcl 10395 ax-addrcl 10396 ax-mulcl 10397 ax-mulrcl 10398 ax-mulcom 10399 ax-addass 10400 ax-mulass 10401 ax-distr 10402 ax-i2m1 10403 ax-1ne0 10404 ax-1rid 10405 ax-rnegex 10406 ax-rrecex 10407 ax-cnre 10408 ax-pre-lttri 10409 ax-pre-lttrn 10410 ax-pre-ltadd 10411 ax-pre-mulgt0 10412 ax-pre-sup 10413

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 388 df-or 834 df-3or 1069 df-3an 1070 df-tru 1510 df-fal 1520 df-ex 1743 df-nf 1747 df-sb 2016 df-mo 2547 df-eu 2584 df-clab 2760 df-cleq 2772 df-clel 2847 df-nfc 2919 df-ne 2969 df-nel 3075 df-ral 3094 df-rex 3095 df-reu 3096 df-rmo 3097 df-rab 3098 df-v 3418 df-sbc 3683 df-csb 3788 df-dif 3833 df-un 3835 df-in 3837 df-ss 3844 df-pss 3846 df-nul 4180 df-if 4351 df-pw 4424 df-sn 4442 df-pr 4444 df-tp 4446 df-op 4448 df-uni 4713 df-int 4750 df-iun 4794 df-br 4930 df-opab 4992 df-mpt 5009 df-tr 5031 df-id 5312 df-eprel 5317 df-po 5326 df-so 5327 df-fr 5366 df-se 5367 df-we 5368 df-xp 5413 df-rel 5414 df-cnv 5415 df-co 5416 df-dm 5417 df-rn 5418 df-res 5419 df-ima 5420 df-pred 5986 df-ord 6032 df-on 6033 df-lim 6034 df-suc 6035 df-iota 6152 df-fun 6190 df-fn 6191 df-f 6192 df-f1 6193 df-fo 6194 df-f1o 6195 df-fv 6196 df-isom 6197 df-riota 6937 df-ov 6979 df-oprab 6980 df-mpo 6981 df-om 7397 df-1st 7501 df-2nd 7502 df-wrecs 7750 df-recs 7812 df-rdg 7850 df-1o 7905 df-oadd 7909 df-er 8089 df-en 8307 df-dom 8308 df-sdom 8309 df-fin 8310 df-sup 8701 df-oi 8769 df-card 9162 df-pnf 10476 df-mnf 10477 df-xr 10478 df-ltxr 10479 df-le 10480 df-sub 10672 df-neg 10673 df-div 11099 df-nn 11440 df-2 11503 df-3 11504 df-n0 11708 df-z 11794 df-uz 12059 df-rp 12205 df-fz 12709 df-fzo 12850 df-seq 13185 df-exp 13245 df-fac 13449 df-bc 13478 df-hash 13506 df-cj 14319 df-re 14320 df-im 14321 df-sqrt 14455 df-abs 14456 df-clim 14706 df-sum 14904

This theorem is referenced by: binom 15045

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