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Theorem binomlem 15184
Description: Lemma for binom 15185 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
binomlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
binomlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
binomlem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
binomlem.4 (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Assertion
Ref Expression
binomlem ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜓(𝑘)

Proof of Theorem binomlem
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomlem.4 . . . . . 6 (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))))
21adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))))
32oveq1d 7164 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴))
4 fzfid 13345 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
5 binomlem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6 fzelp1 12963 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
7 binomlem.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
8 elfzelz 12911 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9 bccl 13687 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
107, 8, 9syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 11954 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
126, 11sylan2 595 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
13 fznn0sub 12943 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
14 expcl 13452 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
155, 13, 14syl2an 598 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑(𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
16 binomlem.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
17 elfznn0 13004 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18 expcl 13452 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
1916, 17, 18syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
206, 19sylan2 595 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
2115, 20mulcld 10659 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
2212, 21mulcld 10659 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
234, 5, 22fsummulc1 15140 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴))
245adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2512, 21, 24mulassd 10662 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) · 𝐴)))
267nn0cnd 11954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2726adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
28 1cnd 10634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
29 elfzelz 12911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
3029adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3130zcnd 12085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
3227, 28, 31addsubd 11016 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁𝑘) + 1))
3332oveq2d 7165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴↑((𝑁𝑘) + 1)))
34 expp1 13441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴))
355, 13, 34syl2an 598 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴))
3633, 35eqtrd 2859 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴))
3736oveq1d 7164 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴) · (𝐵𝑘)))
3815, 24, 20mul32d 10848 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · 𝐴) · (𝐵𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) · 𝐴))
3937, 38eqtrd 2859 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) · 𝐴))
4039oveq2d 7165 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) · 𝐴)))
4125, 40eqtr4d 2862 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
4241sumeq2dv 15060 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
43 fzssp1 12954 . . . . . . . 8 (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
4443a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
45 fznn0sub 12943 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
46 expcl 13452 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
475, 45, 46syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
4847, 19mulcld 10659 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
4911, 48mulcld 10659 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
506, 49sylan2 595 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
517adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
52 eldifi 4089 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
5352, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5453adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
55 eldifn 4090 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
5655adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
57 bcval3 13671 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) = 0)
5851, 54, 56, 57syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑁C𝑘) = 0)
5958oveq1d 7164 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
6048mul02d 10836 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
6152, 60sylan2 595 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
6259, 61eqtrd 2859 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
63 fzssuz 12952 . . . . . . . 8 (0...(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ‘0)
6463a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ‘0))
6544, 50, 62, 64sumss 15081 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
6623, 42, 653eqtrd 2863 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
6766adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
683, 67eqtrd 2859 . . 3 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
691oveq1d 7164 . . . 4 (𝜓 → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵))
704, 16, 22fsummulc1 15140 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵))
71 1zzd 12010 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
72 0z 11989 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
7372a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
747nn0zd 12082 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7516adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7622, 75mulcld 10659 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) ∈ ℂ)
77 oveq2 7157 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑗 − 1)))
78 oveq2 7157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁𝑘) = (𝑁 − (𝑗 − 1)))
7978oveq2d 7165 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝐴↑(𝑁𝑘)) = (𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))))
80 oveq2 7157 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝐵𝑘) = (𝐵↑(𝑗 − 1)))
8179, 80oveq12d 7167 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘)) = ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1))))
8277, 81oveq12d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))))
8382oveq1d 7164 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 − 1) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵))
8471, 73, 74, 76, 83fsumshft 15135 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵))
85 oveq1 7156 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − 1) = (𝑘 − 1))
8685oveq2d 7165 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁C(𝑗 − 1)) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
8785oveq2d 7165 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 − (𝑗 − 1)) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
8887oveq2d 7165 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) = (𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
8985oveq2d 7165 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵↑(𝑗 − 1)) = (𝐵↑(𝑘 − 1)))
9088, 89oveq12d 7167 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1))) = ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1))))
9186, 90oveq12d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))))
9291oveq1d 7164 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
9392cbvsumv 15053 . . . . . . 7 Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵)
9484, 93syl6eq 2875 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
9526adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
96 elfzelz 12911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9796adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
9897zcnd 12085 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
99 1cnd 10634 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
10095, 98, 99subsub3d 11025 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
101100oveq2d 7165 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) = (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)))
102101oveq1d 7164 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))))
103102oveq2d 7165 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))))
104103oveq1d 7164 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
105 fzp1ss 12962 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
10672, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
107106sseli 3949 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
1088adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
109 peano2zm 12022 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
111 bccl 13687 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
1127, 110, 111syl2an2r 684 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
113112nn0cnd 11954 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
114107, 113sylan2 595 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
115107, 47sylan2 595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
11616adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
117 elfznn 12940 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
118 0p1e1 11756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
119118oveq1i 7159 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
120117, 119eleq2s 2934 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
121120adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
122 nnm1nn0 11935 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
124116, 123expcld 13515 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐵↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
125115, 124mulcld 10659 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
126114, 125, 116mulassd 10662 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵)))
127115, 124, 116mulassd 10662 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵)))
128 expm1t 13462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵𝑘) = ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵))
12916, 120, 128syl2an 598 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐵𝑘) = ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵))
130129oveq2d 7165 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵)))
131127, 130eqtr4d 2862 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))
132131oveq2d 7165 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
133104, 126, 1323eqtrd 2863 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
134133sumeq2dv 15060 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
135106a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
136113, 48mulcld 10659 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
137107, 136sylan2 595 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
1387adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
139 eldifi 4089 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
140139adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
141140, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
142141, 109syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
143 eldifn 4090 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
144143adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
14572a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 0 ∈ ℤ)
146138nn0zd 12082 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
147 1zzd 12010 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℤ)
148 fzaddel 12945 . . . . . . . . . . . . 13 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
149145, 146, 142, 147, 148syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
150141zcnd 12085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
151 ax-1cn 10593 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
152 npcan 10893 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
153150, 151, 152sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
154153eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
155149, 154bitrd 282 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
156144, 155mtbird 328 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ¬ (𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁))
157 bcval3 13671 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑘 − 1)) = 0)
158138, 142, 156, 157syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) = 0)
159158oveq1d 7164 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
160139, 60sylan2 595 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
161159, 160eqtrd 2859 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = 0)
162135, 137, 161, 64sumss 15081 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
16394, 134, 1623eqtrd 2863 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
16470, 163eqtrd 2859 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁𝑘)) · (𝐵𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
16569, 164sylan9eqr 2881 . . 3 ((𝜑𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
16668, 165oveq12d 7167 . 2 ((𝜑𝜓) → ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
1675, 16addcld 10658 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
168167, 7expp1d 13516 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · (𝐴 + 𝐵)))
169167, 7expcld 13515 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ)
170169, 5, 16adddid 10663 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
171168, 170eqtrd 2859 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
172171adantr 484 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
173 bcpasc 13686 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
1747, 8, 173syl2an 598 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
175174oveq1d 7164 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
17611, 113, 48adddird 10664 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
177175, 176eqtr3d 2861 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
178177sumeq2dv 15060 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
179 fzfid 13345 . . . . 5 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
180179, 49, 136fsumadd 15096 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
181178, 180eqtrd 2859 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
182181adantr 484 . 2 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘)))))
183166, 172, 1823eqtr4d 2869 1 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cdif 3916  wss 3919  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540  cmin 10868  cn 11634  0cn0 11894  cz 11978  cuz 12240  ...cfz 12894  cexp 13434  Ccbc 13667  Σcsu 15042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-fac 13639  df-bc 13668  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043
This theorem is referenced by:  binom  15185
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