Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | binomlem.4 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต)โ๐) = ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
2 | 1 | adantl 483 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐) โ ((๐ด + ๐ต)โ๐) = ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
3 | 2 | oveq1d 7377 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐) โ (((๐ด + ๐ต)โ๐) ยท ๐ด) = (ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) ยท ๐ด)) |
4 | | fzfid 13885 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (0...๐) โ Fin) |
5 | | binomlem.1 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
6 | | fzelp1 13500 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ (0...๐) โ ๐ โ (0...(๐ + 1))) |
7 | | binomlem.3 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ โ
โ0) |
8 | | elfzelz 13448 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (0...(๐ + 1)) โ ๐ โ โค) |
9 | | bccl 14229 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ โ โค)
โ (๐C๐) โ
โ0) |
10 | 7, 8, 9 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ + 1))) โ (๐C๐) โ
โ0) |
11 | 10 | nn0cnd 12482 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ + 1))) โ (๐C๐) โ โ) |
12 | 6, 11 | sylan2 594 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ (๐C๐) โ โ) |
13 | | fznn0sub 13480 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (0...๐) โ (๐ โ ๐) โ
โ0) |
14 | | expcl 13992 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ด โ โ โง (๐ โ ๐) โ โ0) โ (๐ดโ(๐ โ ๐)) โ โ) |
15 | 5, 13, 14 | syl2an 597 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ (๐ดโ(๐ โ ๐)) โ โ) |
16 | | binomlem.2 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
17 | | elfznn0 13541 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (0...(๐ + 1)) โ ๐ โ โ0) |
18 | | expcl 13992 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ต โ โ โง ๐ โ โ0)
โ (๐ตโ๐) โ
โ) |
19 | 16, 17, 18 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ + 1))) โ (๐ตโ๐) โ โ) |
20 | 6, 19 | sylan2 594 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ (๐ตโ๐) โ โ) |
21 | 15, 20 | mulcld 11182 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)) โ โ) |
22 | 12, 21 | mulcld 11182 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ ((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) โ โ) |
23 | 4, 5, 22 | fsummulc1 15677 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) ยท ๐ด) = ฮฃ๐ โ (0...๐)(((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) ยท ๐ด)) |
24 | 5 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ ๐ด โ โ) |
25 | 12, 21, 24 | mulassd 11185 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ (((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) ยท ๐ด) = ((๐C๐) ยท (((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)) ยท ๐ด))) |
26 | 7 | nn0cnd 12482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
27 | 26 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ ๐ โ โ) |
28 | | 1cnd 11157 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ 1 โ โ) |
29 | | elfzelz 13448 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (0...๐) โ ๐ โ โค) |
30 | 29 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ ๐ โ โค) |
31 | 30 | zcnd 12615 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ ๐ โ โ) |
32 | 27, 28, 31 | addsubd 11540 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ ((๐ + 1) โ ๐) = ((๐ โ ๐) + 1)) |
33 | 32 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ (๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) = (๐ดโ((๐ โ ๐) + 1))) |
34 | | expp1 13981 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ด โ โ โง (๐ โ ๐) โ โ0) โ (๐ดโ((๐ โ ๐) + 1)) = ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท ๐ด)) |
35 | 5, 13, 34 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ (๐ดโ((๐ โ ๐) + 1)) = ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท ๐ด)) |
36 | 33, 35 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ (๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) = ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท ๐ด)) |
37 | 36 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)) = (((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท ๐ด) ยท (๐ตโ๐))) |
38 | 15, 24, 20 | mul32d 11372 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ (((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท ๐ด) ยท (๐ตโ๐)) = (((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)) ยท ๐ด)) |
39 | 37, 38 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)) = (((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)) ยท ๐ด)) |
40 | 39 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ ((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) = ((๐C๐) ยท (((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)) ยท ๐ด))) |
41 | 25, 40 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ (((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) ยท ๐ด) = ((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
42 | 41 | sumeq2dv 15595 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...๐)(((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) ยท ๐ด) = ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
43 | | fzssp1 13491 |
. . . . . . . 8
โข
(0...๐) โ
(0...(๐ +
1)) |
44 | 43 | a1i 11 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (0...๐) โ (0...(๐ + 1))) |
45 | | fznn0sub 13480 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (0...(๐ + 1)) โ ((๐ + 1) โ ๐) โ
โ0) |
46 | | expcl 13992 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ด โ โ โง ((๐ + 1) โ ๐) โ โ0) โ (๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) โ โ) |
47 | 5, 45, 46 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ + 1))) โ (๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) โ โ) |
48 | 47, 19 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ + 1))) โ ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)) โ โ) |
49 | 11, 48 | mulcld 11182 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ + 1))) โ ((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) โ โ) |
50 | 6, 49 | sylan2 594 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ ((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) โ โ) |
51 | 7 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ (0...๐))) โ ๐ โ
โ0) |
52 | | eldifi 4091 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ (0...๐)) โ ๐ โ (0...(๐ + 1))) |
53 | 52, 8 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ (0...๐)) โ ๐ โ โค) |
54 | 53 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ (0...๐))) โ ๐ โ โค) |
55 | | eldifn 4092 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ (0...๐)) โ ยฌ ๐ โ (0...๐)) |
56 | 55 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ (0...๐))) โ ยฌ ๐ โ (0...๐)) |
57 | | bcval3 14213 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ โ โค
โง ยฌ ๐ โ
(0...๐)) โ (๐C๐) = 0) |
58 | 51, 54, 56, 57 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ (0...๐))) โ (๐C๐) = 0) |
59 | 58 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ (0...๐))) โ ((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) = (0 ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
60 | 48 | mul02d 11360 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ + 1))) โ (0 ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) = 0) |
61 | 52, 60 | sylan2 594 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ (0...๐))) โ (0 ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) = 0) |
62 | 59, 61 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ (0...๐))) โ ((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) = 0) |
63 | | fzssuz 13489 |
. . . . . . . 8
โข
(0...(๐ + 1))
โ (โคโฅโ0) |
64 | 63 | a1i 11 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (0...(๐ + 1)) โ
(โคโฅโ0)) |
65 | 44, 50, 62, 64 | sumss 15616 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
66 | 23, 42, 65 | 3eqtrd 2781 |
. . . . 5
โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) ยท ๐ด) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
67 | 66 | adantr 482 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐) โ (ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) ยท ๐ด) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
68 | 3, 67 | eqtrd 2777 |
. . 3
โข ((๐ โง ๐) โ (((๐ด + ๐ต)โ๐) ยท ๐ด) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
69 | 1 | oveq1d 7377 |
. . . 4
โข (๐ โ (((๐ด + ๐ต)โ๐) ยท ๐ต) = (ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) ยท ๐ต)) |
70 | 4, 16, 22 | fsummulc1 15677 |
. . . . 5
โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) ยท ๐ต) = ฮฃ๐ โ (0...๐)(((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) ยท ๐ต)) |
71 | | 1zzd 12541 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ 1 โ
โค) |
72 | | 0z 12517 |
. . . . . . . . 9
โข 0 โ
โค |
73 | 72 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ 0 โ
โค) |
74 | 7 | nn0zd 12532 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ โ โค) |
75 | 16 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ ๐ต โ โ) |
76 | 22, 75 | mulcld 11182 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (0...๐)) โ (((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) ยท ๐ต) โ โ) |
77 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = (๐ โ 1) โ (๐C๐) = (๐C(๐ โ 1))) |
78 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = (๐ โ 1) โ (๐ โ ๐) = (๐ โ (๐ โ 1))) |
79 | 78 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = (๐ โ 1) โ (๐ดโ(๐ โ ๐)) = (๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1)))) |
80 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = (๐ โ 1) โ (๐ตโ๐) = (๐ตโ(๐ โ 1))) |
81 | 79, 80 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = (๐ โ 1) โ ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)) = ((๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) ยท (๐ตโ(๐ โ 1)))) |
82 | 77, 81 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = (๐ โ 1) โ ((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) = ((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) ยท (๐ตโ(๐ โ 1))))) |
83 | 82 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = (๐ โ 1) โ (((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) ยท ๐ต) = (((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) ยท (๐ตโ(๐ โ 1)))) ยท ๐ต)) |
84 | 71, 73, 74, 76, 83 | fsumshft 15672 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...๐)(((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) ยท ๐ต) = ฮฃ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))(((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) ยท (๐ตโ(๐ โ 1)))) ยท ๐ต)) |
85 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = ๐ โ (๐ โ 1) = (๐ โ 1)) |
86 | 85 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ๐ โ (๐C(๐ โ 1)) = (๐C(๐ โ 1))) |
87 | 85 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = ๐ โ (๐ โ (๐ โ 1)) = (๐ โ (๐ โ 1))) |
88 | 87 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = ๐ โ (๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) = (๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1)))) |
89 | 85 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = ๐ โ (๐ตโ(๐ โ 1)) = (๐ตโ(๐ โ 1))) |
90 | 88, 89 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ๐ โ ((๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) ยท (๐ตโ(๐ โ 1))) = ((๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) ยท (๐ตโ(๐ โ 1)))) |
91 | 86, 90 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ๐ โ ((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) ยท (๐ตโ(๐ โ 1)))) = ((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) ยท (๐ตโ(๐ โ 1))))) |
92 | 91 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = ๐ โ (((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) ยท (๐ตโ(๐ โ 1)))) ยท ๐ต) = (((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) ยท (๐ตโ(๐ โ 1)))) ยท ๐ต)) |
93 | 92 | cbvsumv 15588 |
. . . . . . 7
โข
ฮฃ๐ โ ((0
+ 1)...(๐ + 1))(((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) ยท (๐ตโ(๐ โ 1)))) ยท ๐ต) = ฮฃ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))(((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) ยท (๐ตโ(๐ โ 1)))) ยท ๐ต) |
94 | 84, 93 | eqtrdi 2793 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...๐)(((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) ยท ๐ต) = ฮฃ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))(((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) ยท (๐ตโ(๐ โ 1)))) ยท ๐ต)) |
95 | 26 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ ๐ โ โ) |
96 | | elfzelz 13448 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1)) โ ๐ โ โค) |
97 | 96 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ ๐ โ โค) |
98 | 97 | zcnd 12615 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ ๐ โ โ) |
99 | | 1cnd 11157 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ 1 โ
โ) |
100 | 95, 98, 99 | subsub3d 11549 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ (๐ โ (๐ โ 1)) = ((๐ + 1) โ ๐)) |
101 | 100 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ (๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) = (๐ดโ((๐ + 1) โ ๐))) |
102 | 101 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ ((๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) ยท (๐ตโ(๐ โ 1))) = ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ(๐ โ 1)))) |
103 | 102 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ ((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) ยท (๐ตโ(๐ โ 1)))) = ((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ(๐ โ 1))))) |
104 | 103 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ (((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) ยท (๐ตโ(๐ โ 1)))) ยท ๐ต) = (((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ(๐ โ 1)))) ยท ๐ต)) |
105 | | fzp1ss 13499 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (0 โ
โค โ ((0 + 1)...(๐ + 1)) โ (0...(๐ + 1))) |
106 | 72, 105 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((0 +
1)...(๐ + 1)) โ
(0...(๐ +
1)) |
107 | 106 | sseli 3945 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1)) โ ๐ โ (0...(๐ + 1))) |
108 | 8 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ + 1))) โ ๐ โ โค) |
109 | | peano2zm 12553 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โค โ (๐ โ 1) โ
โค) |
110 | 108, 109 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ + 1))) โ (๐ โ 1) โ โค) |
111 | | bccl 14229 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ โ0
โง (๐ โ 1) โ
โค) โ (๐C(๐ โ 1)) โ
โ0) |
112 | 7, 110, 111 | syl2an2r 684 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ + 1))) โ (๐C(๐ โ 1)) โ
โ0) |
113 | 112 | nn0cnd 12482 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ + 1))) โ (๐C(๐ โ 1)) โ โ) |
114 | 107, 113 | sylan2 594 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ (๐C(๐ โ 1)) โ โ) |
115 | 107, 47 | sylan2 594 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ (๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) โ โ) |
116 | 16 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ ๐ต โ โ) |
117 | | elfznn 13477 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (1...(๐ + 1)) โ ๐ โ โ) |
118 | | 0p1e1 12282 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (0 + 1) =
1 |
119 | 118 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((0 +
1)...(๐ + 1)) = (1...(๐ + 1)) |
120 | 117, 119 | eleq2s 2856 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1)) โ ๐ โ โ) |
121 | 120 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ ๐ โ โ) |
122 | | nnm1nn0 12461 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ โ โ (๐ โ 1) โ
โ0) |
123 | 121, 122 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ (๐ โ 1) โ
โ0) |
124 | 116, 123 | expcld 14058 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ (๐ตโ(๐ โ 1)) โ โ) |
125 | 115, 124 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ(๐ โ 1))) โ
โ) |
126 | 114, 125,
116 | mulassd 11185 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ (((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ(๐ โ 1)))) ยท ๐ต) = ((๐C(๐ โ 1)) ยท (((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ(๐ โ 1))) ยท ๐ต))) |
127 | 115, 124,
116 | mulassd 11185 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ (((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ(๐ โ 1))) ยท ๐ต) = ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท ((๐ตโ(๐ โ 1)) ยท ๐ต))) |
128 | | expm1t 14003 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ต โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ตโ๐) = ((๐ตโ(๐ โ 1)) ยท ๐ต)) |
129 | 16, 120, 128 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ (๐ตโ๐) = ((๐ตโ(๐ โ 1)) ยท ๐ต)) |
130 | 129 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)) = ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท ((๐ตโ(๐ โ 1)) ยท ๐ต))) |
131 | 127, 130 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ (((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ(๐ โ 1))) ยท ๐ต) = ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) |
132 | 131 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ ((๐C(๐ โ 1)) ยท (((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ(๐ โ 1))) ยท ๐ต)) = ((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
133 | 104, 126,
132 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ (((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) ยท (๐ตโ(๐ โ 1)))) ยท ๐ต) = ((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
134 | 133 | sumeq2dv 15595 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))(((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ(๐ โ (๐ โ 1))) ยท (๐ตโ(๐ โ 1)))) ยท ๐ต) = ฮฃ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
135 | 106 | a1i 11 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1)) โ (0...(๐ + 1))) |
136 | 113, 48 | mulcld 11182 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ + 1))) โ ((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) โ โ) |
137 | 107, 136 | sylan2 594 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ ((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) โ โ) |
138 | 7 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) โ ๐ โ
โ0) |
139 | | eldifi 4091 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ ๐ โ (0...(๐ + 1))) |
140 | 139 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) โ ๐ โ (0...(๐ + 1))) |
141 | 140, 8 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) โ ๐ โ โค) |
142 | 141, 109 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) โ (๐ โ 1) โ โค) |
143 | | eldifn 4092 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) โ ยฌ ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) |
144 | 143 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) โ ยฌ ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))) |
145 | 72 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) โ 0 โ
โค) |
146 | 138 | nn0zd 12532 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) โ ๐ โ โค) |
147 | | 1zzd 12541 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) โ 1 โ
โค) |
148 | | fzaddel 13482 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((0
โ โค โง ๐
โ โค) โง ((๐
โ 1) โ โค โง 1 โ โค)) โ ((๐ โ 1) โ (0...๐) โ ((๐ โ 1) + 1) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) |
149 | 145, 146,
142, 147, 148 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) โ ((๐ โ 1) โ (0...๐) โ ((๐ โ 1) + 1) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) |
150 | 141 | zcnd 12615 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) โ ๐ โ โ) |
151 | | ax-1cn 11116 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข 1 โ
โ |
152 | | npcan 11417 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โ โ โง 1 โ
โ) โ ((๐ โ
1) + 1) = ๐) |
153 | 150, 151,
152 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) โ ((๐ โ 1) + 1) = ๐) |
154 | 153 | eleq1d 2823 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) โ (((๐ โ 1) + 1) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)) โ ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) |
155 | 149, 154 | bitrd 279 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) โ ((๐ โ 1) โ (0...๐) โ ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) |
156 | 144, 155 | mtbird 325 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) โ ยฌ (๐ โ 1) โ (0...๐)) |
157 | | bcval3 14213 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ โ0
โง (๐ โ 1) โ
โค โง ยฌ (๐
โ 1) โ (0...๐))
โ (๐C(๐ โ 1)) =
0) |
158 | 138, 142,
156, 157 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) โ (๐C(๐ โ 1)) = 0) |
159 | 158 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) โ ((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) = (0 ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
160 | 139, 60 | sylan2 594 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) โ (0 ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) = 0) |
161 | 159, 160 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ ((0...(๐ + 1)) โ ((0 + 1)...(๐ + 1)))) โ ((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) = 0) |
162 | 135, 137,
161, 64 | sumss 15616 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ((0 + 1)...(๐ + 1))((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
163 | 94, 134, 162 | 3eqtrd 2781 |
. . . . 5
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...๐)(((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) ยท ๐ต) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
164 | 70, 163 | eqtrd 2777 |
. . . 4
โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (0...๐)((๐C๐) ยท ((๐ดโ(๐ โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) ยท ๐ต) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
165 | 69, 164 | sylan9eqr 2799 |
. . 3
โข ((๐ โง ๐) โ (((๐ด + ๐ต)โ๐) ยท ๐ต) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
166 | 68, 165 | oveq12d 7380 |
. 2
โข ((๐ โง ๐) โ ((((๐ด + ๐ต)โ๐) ยท ๐ด) + (((๐ด + ๐ต)โ๐) ยท ๐ต)) = (ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) + ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))))) |
167 | 5, 16 | addcld 11181 |
. . . . 5
โข (๐ โ (๐ด + ๐ต) โ โ) |
168 | 167, 7 | expp1d 14059 |
. . . 4
โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต)โ(๐ + 1)) = (((๐ด + ๐ต)โ๐) ยท (๐ด + ๐ต))) |
169 | 167, 7 | expcld 14058 |
. . . . 5
โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต)โ๐) โ โ) |
170 | 169, 5, 16 | adddid 11186 |
. . . 4
โข (๐ โ (((๐ด + ๐ต)โ๐) ยท (๐ด + ๐ต)) = ((((๐ด + ๐ต)โ๐) ยท ๐ด) + (((๐ด + ๐ต)โ๐) ยท ๐ต))) |
171 | 168, 170 | eqtrd 2777 |
. . 3
โข (๐ โ ((๐ด + ๐ต)โ(๐ + 1)) = ((((๐ด + ๐ต)โ๐) ยท ๐ด) + (((๐ด + ๐ต)โ๐) ยท ๐ต))) |
172 | 171 | adantr 482 |
. 2
โข ((๐ โง ๐) โ ((๐ด + ๐ต)โ(๐ + 1)) = ((((๐ด + ๐ต)โ๐) ยท ๐ด) + (((๐ด + ๐ต)โ๐) ยท ๐ต))) |
173 | | bcpasc 14228 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โ โ0
โง ๐ โ โค)
โ ((๐C๐) + (๐C(๐ โ 1))) = ((๐ + 1)C๐)) |
174 | 7, 8, 173 | syl2an 597 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ + 1))) โ ((๐C๐) + (๐C(๐ โ 1))) = ((๐ + 1)C๐)) |
175 | 174 | oveq1d 7377 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ + 1))) โ (((๐C๐) + (๐C(๐ โ 1))) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) = (((๐ + 1)C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |
176 | 11, 113, 48 | adddird 11187 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ + 1))) โ (((๐C๐) + (๐C(๐ โ 1))) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) = (((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) + ((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))))) |
177 | 175, 176 | eqtr3d 2779 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ + 1))) โ (((๐ + 1)C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) = (((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) + ((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))))) |
178 | 177 | sumeq2dv 15595 |
. . . 4
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))(((๐ + 1)C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))(((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) + ((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))))) |
179 | | fzfid 13885 |
. . . . 5
โข (๐ โ (0...(๐ + 1)) โ Fin) |
180 | 179, 49, 136 | fsumadd 15632 |
. . . 4
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))(((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) + ((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) = (ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) + ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))))) |
181 | 178, 180 | eqtrd 2777 |
. . 3
โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))(((๐ + 1)C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) = (ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) + ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))))) |
182 | 181 | adantr 482 |
. 2
โข ((๐ โง ๐) โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))(((๐ + 1)C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) = (ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((๐C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))) + ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))((๐C(๐ โ 1)) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐))))) |
183 | 166, 172,
182 | 3eqtr4d 2787 |
1
โข ((๐ โง ๐) โ ((๐ด + ๐ต)โ(๐ + 1)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ + 1))(((๐ + 1)C๐) ยท ((๐ดโ((๐ + 1) โ ๐)) ยท (๐ตโ๐)))) |