binomlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem binomlem 15743

Description: Lemma for binom 15744 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
binomlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
binomlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
binomlem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
binomlem.4	⊢ (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

**Assertion**
Ref	Expression
binomlem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝐵,𝑘 𝑘,𝑁 𝜑,𝑘 Allowed substitution hint: 𝜓(𝑘)

Proof of Theorem binomlem Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomlem.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
3	2	oveq1d 7370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴))
4		fzfid 13887	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
5		binomlem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		fzelp1 13483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
7		binomlem.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
8		elfzelz 13431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
9		bccl 14236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ₀)
10	7, 8, 9	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ₀)
11	10	nn0cnd 12455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
12	6, 11	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
13		fznn0sub 13463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ₀)
14		expcl 13993	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
15	5, 13, 14	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) ∈ ℂ)
16		binomlem.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17		elfznn0 13527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
18		expcl 13993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
19	16, 17, 18	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
20	6, 19	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
21	15, 20	mulcld 11143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
22	12, 21	mulcld 11143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
23	4, 5, 22	fsummulc1 15699	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴))
24	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	12, 21, 24	mulassd 11146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) · 𝐴)))
26	7	nn0cnd 12455	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
28		1cnd 11118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
29		elfzelz 13431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
31	30	zcnd 12588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
32	27, 28, 31	addsubd 11504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 − 𝑘) + 1))
33	32	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴↑((𝑁 − 𝑘) + 1)))
34		expp1 13982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · 𝐴))
35	5, 13, 34	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁 − 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · 𝐴))
36	33, 35	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · 𝐴))
37	36	oveq1d 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · 𝐴) · (𝐵↑𝑘)))
38	15, 24, 20	mul32d 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · 𝐴) · (𝐵↑𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) · 𝐴))
39	37, 38	eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) = (((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) · 𝐴))
40	39	oveq2d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) · 𝐴)))
41	25, 40	eqtr4d 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
42	41	sumeq2dv 15616	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
43		fzssp1 13474	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
45		fznn0sub 13463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ₀)
46		expcl 13993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
47	5, 45, 46	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
48	47, 19	mulcld 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
49	11, 48	mulcld 11143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
50	6, 49	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
51	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
52		eldifi 4080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
53	52, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
55		eldifn 4081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
57		bcval3 14220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) = 0)
58	51, 54, 56, 57	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑁C𝑘) = 0)
59	58	oveq1d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
60	48	mul02d 11322	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
61	52, 60	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
62	59, 61	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
63		fzssuz 13472	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ_≥‘0)
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ⊆ (ℤ_≥‘0))
65	44, 50, 62, 64	sumss 15638	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
66	23, 42, 65	3eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
67	66	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
68	3, 67	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
69	1	oveq1d 7370	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵))
70	4, 16, 22	fsummulc1 15699	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵))
71		1zzd 12513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
72		0z 12490	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
73	72	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
74	7	nn0zd 12504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
75	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
76	22, 75	mulcld 11143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) ∈ ℂ)
77		oveq2 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑗 − 1)))
78		oveq2 7363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − (𝑗 − 1)))
79	78	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) = (𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))))
80		oveq2 7363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑(𝑗 − 1)))
81	79, 80	oveq12d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) = ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1))))
82	77, 81	oveq12d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))))
83	82	oveq1d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵))
84	71, 73, 74, 76, 83	fsumshft 15694	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵))
85		oveq1 7362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − 1) = (𝑘 − 1))
86	85	oveq2d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁C(𝑗 − 1)) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
87	85	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 − (𝑗 − 1)) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
88	87	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) = (𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))))
89	85	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐵↑(𝑗 − 1)) = (𝐵↑(𝑘 − 1)))
90	88, 89	oveq12d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1))) = ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1))))
91	86, 90	oveq12d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))))
92	91	oveq1d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
93	92	cbvsumv 15610	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑗 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑗 − 1))) · (𝐵↑(𝑗 − 1)))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵)
94	84, 93	eqtrdi 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
95	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
96		elfzelz 13431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
97	96	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
98	97	zcnd 12588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
99		1cnd 11118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
100	95, 98, 99	subsub3d 11513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
101	100	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) = (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)))
102	101	oveq1d 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))))
103	102	oveq2d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))))
104	103	oveq1d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵))
105		fzp1ss 13482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
106	72, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
107	106	sseli 3926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
108	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
109		peano2zm 12525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
111		bccl 14236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ₀)
112	7, 110, 111	syl2an2r 685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ₀)
113	112	nn0cnd 12455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
114	107, 113	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
115	107, 47	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
116	16	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
117		elfznn 13460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
118		0p1e1 12253	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
119	118	oveq1i 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
120	117, 119	eleq2s 2851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
121	120	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
122		nnm1nn0 12433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ₀)
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ₀)
124	116, 123	expcld 14060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐵↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
125	115, 124	mulcld 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
126	114, 125, 116	mulassd 11146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵)))
127	115, 124, 116	mulassd 11146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵)))
128		expm1t 14004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) = ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵))
129	16, 120, 128	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐵↑𝑘) = ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵))
130	129	oveq2d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · ((𝐵↑(𝑘 − 1)) · 𝐵)))
131	127, 130	eqtr4d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵) = ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))
132	131	oveq2d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · (((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑(𝑘 − 1))) · 𝐵)) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
133	104, 126, 132	3eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
134	133	sumeq2dv 15616	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))(((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑(𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵↑(𝑘 − 1)))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
135	106	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
136	113, 48	mulcld 11143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
137	107, 136	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) ∈ ℂ)
138	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
139		eldifi 4080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
140	139	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
141	140, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
142	141, 109	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
143		eldifn 4081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
144	143	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
145	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 0 ∈ ℤ)
146	138	nn0zd 12504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
147		1zzd 12513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℤ)
148		fzaddel 13465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
149	145, 146, 142, 147, 148	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
150	141	zcnd 12588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℂ)
151		ax-1cn 11075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
152		npcan 11380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
153	150, 151, 152	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
154	153	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (((𝑘 − 1) + 1) ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
155	149, 154	bitrd 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))))
156	144, 155	mtbird 325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ¬ (𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁))
157		bcval3 14220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑘 − 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑘 − 1)) = 0)
158	138, 142, 156, 157	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) = 0)
159	158	oveq1d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
160	139, 60	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → (0 · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
161	159, 160	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑁 + 1)) ∖ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = 0)
162	135, 137, 161, 64	sumss 15638	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
163	94, 134, 162	3eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
164	70, 163	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑(𝑁 − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
165	69, 164	sylan9eqr 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
166	68, 165	oveq12d 7373	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
167	5, 16	addcld 11142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
168	167, 7	expp1d 14061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · (𝐴 + 𝐵)))
169	167, 7	expcld 14060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) ∈ ℂ)
170	169, 5, 16	adddid 11147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
171	168, 170	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
172	171	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑𝑁) · 𝐵)))
173		bcpasc 14235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
174	7, 8, 173	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
175	174	oveq1d 7370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))
176	11, 113, 48	adddird 11148	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
177	175, 176	eqtr3d 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
178	177	sumeq2dv 15616	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
179		fzfid 13887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
180	179, 49, 136	fsumadd 15654	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
181	178, 180	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
182	181	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘)))))
183	166, 172, 182	3eqtr4d 2778	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐴 + 𝐵)↑(𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴↑((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵↑𝑘))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ∖ cdif 3895 ⊆ wss 3898 ‘cfv 6489 (class class class)co 7355 ℂcc 11015 0cc0 11017 1c1 11018 + caddc 11020 · cmul 11022 − cmin 11355 ℕcn 12136 ℕ₀cn0 12392 ℤcz 12479 ℤ_≥cuz 12742 ...cfz 13414 ↑cexp 13975 Ccbc 14216 Σcsu 15600

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2705 ax-rep 5221 ax-sep 5238 ax-nul 5248 ax-pow 5307 ax-pr 5374 ax-un 7677 ax-inf2 9542 ax-cnex 11073 ax-resscn 11074 ax-1cn 11075 ax-icn 11076 ax-addcl 11077 ax-addrcl 11078 ax-mulcl 11079 ax-mulrcl 11080 ax-mulcom 11081 ax-addass 11082 ax-mulass 11083 ax-distr 11084 ax-i2m1 11085 ax-1ne0 11086 ax-1rid 11087 ax-rnegex 11088 ax-rrecex 11089 ax-cnre 11090 ax-pre-lttri 11091 ax-pre-lttrn 11092 ax-pre-ltadd 11093 ax-pre-mulgt0 11094 ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2725 df-clel 2808 df-nfc 2882 df-ne 2930 df-nel 3034 df-ral 3049 df-rex 3058 df-rmo 3347 df-reu 3348 df-rab 3397 df-v 3439 df-sbc 3738 df-csb 3847 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-pss 3918 df-nul 4283 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-op 4584 df-uni 4861 df-int 4900 df-iun 4945 df-br 5096 df-opab 5158 df-mpt 5177 df-tr 5203 df-id 5516 df-eprel 5521 df-po 5529 df-so 5530 df-fr 5574 df-se 5575 df-we 5576 df-xp 5627 df-rel 5628 df-cnv 5629 df-co 5630 df-dm 5631 df-rn 5632 df-res 5633 df-ima 5634 df-pred 6256 df-ord 6317 df-on 6318 df-lim 6319 df-suc 6320 df-iota 6445 df-fun 6491 df-fn 6492 df-f 6493 df-f1 6494 df-fo 6495 df-f1o 6496 df-fv 6497 df-isom 6498 df-riota 7312 df-ov 7358 df-oprab 7359 df-mpo 7360 df-om 7806 df-1st 7930 df-2nd 7931 df-frecs 8220 df-wrecs 8251 df-recs 8300 df-rdg 8338 df-1o 8394 df-er 8631 df-en 8880 df-dom 8881 df-sdom 8882 df-fin 8883 df-sup 9337 df-oi 9407 df-card 9843 df-pnf 11159 df-mnf 11160 df-xr 11161 df-ltxr 11162 df-le 11163 df-sub 11357 df-neg 11358 df-div 11786 df-nn 12137 df-2 12199 df-3 12200 df-n0 12393 df-z 12480 df-uz 12743 df-rp 12897 df-fz 13415 df-fzo 13562 df-seq 13916 df-exp 13976 df-fac 14188 df-bc 14217 df-hash 14245 df-cj 15013 df-re 15014 df-im 15015 df-sqrt 15149 df-abs 15150 df-clim 15402 df-sum 15601

This theorem is referenced by: binom 15744

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