MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcval4 14343
Description: Value of the binomial coefficient, 𝑁 choose 𝐾, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcval4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝐾) = 0)

Proof of Theorem bcval4
StepHypRef Expression
1 elfzle1 13564 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝐾)
2 0re 11261 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
3 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
43zred 12720 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
5 lenlt 11337 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
62, 4, 5sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
71, 6mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ 𝐾 < 0)
87adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 0)
9 elfzle2 13565 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾𝑁)
109adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾𝑁)
11 nn0re 12533 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
12 lenlt 11337 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
134, 11, 12syl2anr 597 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
1410, 13mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝑁 < 𝐾)
15 ioran 985 . . . . . . 7 (¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾) ↔ (¬ 𝐾 < 0 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾))
168, 14, 15sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾))
1716ex 412 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
1817adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
1918con2d 134 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
20193impia 1116 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
21 bcval3 14342 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
2220, 21syld3an3 1408 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝐾) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153   < clt 11293  cle 11294  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  Ccbc 14338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-xr 11297  df-le 11299  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-bc 14339
This theorem is referenced by:  bc0k  14347  bcn1  14349  bcpasc  14357  hashf1  14493  binomfallfaclem2  16073  ram0  17056  srgbinomlem3  20246  srgbinomlem4  20247  basellem2  27140  bcmono  27336  cusgrsizeindb1  29483  altgsumbcALT  48198
  Copyright terms: Public domain W3C validator