MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcval4 14347
Description: Value of the binomial coefficient, 𝑁 choose 𝐾, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcval4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝐾) = 0)

Proof of Theorem bcval4
StepHypRef Expression
1 elfzle1 13568 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝐾)
2 0re 11264 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
3 elfzelz 13565 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
43zred 12724 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
5 lenlt 11340 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
62, 4, 5sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
71, 6mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ 𝐾 < 0)
87adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 0)
9 elfzle2 13569 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾𝑁)
109adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾𝑁)
11 nn0re 12537 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
12 lenlt 11340 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
134, 11, 12syl2anr 597 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
1410, 13mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝑁 < 𝐾)
15 ioran 985 . . . . . . 7 (¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾) ↔ (¬ 𝐾 < 0 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾))
168, 14, 15sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾))
1716ex 412 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
1817adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
1918con2d 134 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
20193impia 1117 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
21 bcval3 14346 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
2220, 21syld3an3 1410 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝐾) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  cr 11155  0cc0 11156   < clt 11296  cle 11297  0cn0 12528  cz 12615  ...cfz 13548  Ccbc 14342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-xr 11300  df-le 11302  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-bc 14343
This theorem is referenced by:  bc0k  14351  bcn1  14353  bcpasc  14361  hashf1  14497  binomfallfaclem2  16077  ram0  17061  srgbinomlem3  20226  srgbinomlem4  20227  basellem2  27126  bcmono  27322  cusgrsizeindb1  29469  altgsumbcALT  48274
  Copyright terms: Public domain W3C validator