Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcval4 13717
 Description: Value of the binomial coefficient, 𝑁 choose 𝐾, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcval4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝐾) = 0)

Proof of Theorem bcval4
StepHypRef Expression
1 elfzle1 12959 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝐾)
2 0re 10681 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
3 elfzelz 12956 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
43zred 12126 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
5 lenlt 10757 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
62, 4, 5sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
71, 6mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ 𝐾 < 0)
87adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 0)
9 elfzle2 12960 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾𝑁)
109adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾𝑁)
11 nn0re 11943 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
12 lenlt 10757 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
134, 11, 12syl2anr 599 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
1410, 13mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝑁 < 𝐾)
15 ioran 981 . . . . . . 7 (¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾) ↔ (¬ 𝐾 < 0 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾))
168, 14, 15sylanbrc 586 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾))
1716ex 416 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
1817adantr 484 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
1918con2d 136 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
20193impia 1114 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
21 bcval3 13716 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
2220, 21syld3an3 1406 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝐾) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5032  (class class class)co 7150  ℝcr 10574  0cc0 10575   < clt 10713   ≤ cle 10714  ℕ0cn0 11934  ℤcz 12020  ...cfz 12939  Ccbc 13712 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-xr 10717  df-le 10719  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-bc 13713 This theorem is referenced by:  bc0k  13721  bcn1  13723  bcpasc  13731  hashf1  13867  binomfallfaclem2  15442  ram0  16413  srgbinomlem3  19360  srgbinomlem4  19361  basellem2  25766  bcmono  25960  cusgrsizeindb1  27339  altgsumbcALT  45122
 Copyright terms: Public domain W3C validator