Theorem bcval4 14258

Description: Value of the binomial coefficient, 𝑁 choose 𝐾, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcval4	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝐾) = 0)

Proof of Theorem bcval4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle1 13470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝐾)
2		0re 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		elfzelz 13467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	zred 12622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
5		lenlt 11213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
6	2, 4, 5	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
7	1, 6	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ 𝐾 < 0)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 0)
9		elfzle2 13471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
10	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
11		nn0re 12435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
12		lenlt 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
13	4, 11, 12	syl2anr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
14	10, 13	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝑁 < 𝐾)
15		ioran 986	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾) ↔ (¬ 𝐾 < 0 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾))
16	8, 14, 15	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾))
17	16	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
19	18	con2d 134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
20	19	3impia 1118	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
21		bcval3 14257	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
22	20, 21	syld3an3 1412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝐾) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  0cc0 11027   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513  ...cfz 13450  Ccbc 14253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-xr 11172  df-le 11174  df-neg 11369  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-bc 14254

This theorem is referenced by:  bc0k  14262  bcn1  14264  bcpasc  14272  hashf1  14408  binomfallfaclem2  15994  ram0  16982  srgbinomlem3  20198  srgbinomlem4  20199  basellem2  27063  bcmono  27259  cusgrsizeindb1  29539  altgsumbcALT  48826