bcle2d - Mathbox for metakunt

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Theorem bcle2d 43421

Description: Inequality for binomial coefficients. (Contributed by metakunt, 12-May-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bcle2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ₀)
bcle2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ₀)
bcle2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ₀)
bcle2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
bcle2d.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
bcle2d.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝐶)

**Assertion**
Ref	Expression
bcle2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)C(𝐴 + 𝐷)) ≤ ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))

Proof of Theorem bcle2d Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 14476	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐶)C(𝐴 + 𝐷)) = ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / ((!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) · (!‘(𝐴 + 𝐷)))))
2	1	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶)C(𝐴 + 𝐷)) = ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / ((!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) · (!‘(𝐴 + 𝐷)))))
3		bcle2d.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ₀)
4		bcle2d.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ₀)
5	3, 4	nn0addcld 12698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℕ₀)
6	5	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℕ₀)
7	6	faccld 14455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐴 + 𝐶)) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐴 + 𝐶)) ∈ ℂ)
9	3	nn0zd 12745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
10		bcle2d.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
11	9, 10	zaddcld 12834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℤ)
12		elfzle1 13687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐷))
13	11, 12	anim12i 625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐴 + 𝐷)))
14		elnn0z 12733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐴 + 𝐷)))
15	13, 14	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ₀)
16	15	faccld 14455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ)
17	16	nnnn0d 12694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ₀)
18	17	nn0cnd 12696	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐴 + 𝐷)) ∈ ℂ)
19	3	nn0red 12695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	recnd 11364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	4	nn0cnd 12696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℂ)
24	10	zred 12830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
25	24	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐷 ∈ ℝ)
26	25	recnd 11364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐷 ∈ ℂ)
27	21, 23, 21, 26	addsub4d 11743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐴) + (𝐶 − 𝐷)))
28	21	subidd 11684	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
29	28	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐴) + (𝐶 − 𝐷)) = (0 + (𝐶 − 𝐷)))
30	23, 26	subcld 11696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
31	30	addlidd 11538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (0 + (𝐶 − 𝐷)) = (𝐶 − 𝐷))
32	29, 31	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐴) + (𝐶 − 𝐷)) = (𝐶 − 𝐷))
33	27, 32	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)) = (𝐶 − 𝐷))
34	4	nn0zd 12745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
35	34	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℤ)
36	10	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐷 ∈ ℤ)
37	35, 36	zsubcld 12835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ)
38		bcle2d.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝐶)
39	38	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐷 ≤ 𝐶)
40	35	zred 12830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
41	40, 25	subge0d 11933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (0 ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ 𝐷 ≤ 𝐶))
42	39, 41	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 0 ≤ (𝐶 − 𝐷))
43	37, 42	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐶 − 𝐷)))
44		elnn0z 12733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐶 − 𝐷)))
45	43, 44	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℕ₀)
46	33, 45	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ₀)
47	46	faccld 14455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) ∈ ℕ)
48	47	nnnn0d 12694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) ∈ ℕ₀)
49	48	nn0cnd 12696	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) ∈ ℂ)
50	16	nnne0d 12415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐴 + 𝐷)) ≠ 0)
51	47	nnne0d 12415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) ≠ 0)
52	8, 18, 49, 50, 51	divdiv1d 12151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) / (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)))) = ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / ((!‘(𝐴 + 𝐷)) · (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))))))
53	52	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / ((!‘(𝐴 + 𝐷)) · (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))))) = (((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) / (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)))))
54		0zd 12732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 0 ∈ ℤ)
55	6	nn0zd 12745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℤ)
56	25	renegcld 11770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → -𝐷 ∈ ℝ)
57	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℕ₀)
58	57	nn0red 12695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
59		df-neg 11571	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -𝐷 = (0 − 𝐷)
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → -𝐷 = (0 − 𝐷))
61	12	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐷))
62		0red 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 0 ∈ ℝ)
63	62, 25, 20	lesubaddd 11940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((0 − 𝐷) ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 + 𝐷)))
64	61, 63	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (0 − 𝐷) ≤ 𝐴)
65	60, 64	eqbrtrd 5130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → -𝐷 ≤ 𝐴)
66	56, 20, 58, 65	leadd2dd 11958	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 + -𝐷) ≤ (𝐶 + 𝐴))
67	23, 26	negsubd 11702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 + -𝐷) = (𝐶 − 𝐷))
68	23, 21	addcomd 11539	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐶))
69	66, 67, 68	3brtr3d 5139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 + 𝐶))
70	54, 55, 37, 42, 69	elfzd 13674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶)))
71		fallfacval4 16238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 − 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)))))
72	70, 71	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)))))
73	5	nn0cnd 12696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
74	24	recnd 11364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
75	73, 22, 74	subsubd 11724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 + 𝐶) − 𝐶) + 𝐷))
76	19	recnd 11364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
77	76, 22	pncand 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − 𝐶) = 𝐴)
78	77	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − 𝐶) + 𝐷) = (𝐴 + 𝐷))
79	75, 78	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)) = (𝐴 + 𝐷))
80	79	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)) = (𝐴 + 𝐷))
81	80	fveq2d 6912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷))) = (!‘(𝐴 + 𝐷)))
82	81	oveq2d 7459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)))) = ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))))
83	72, 82	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))))
84	83	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)))
85		nfv 1949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶)))
86		fzfid 14143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (0...((𝐶 − 𝐷) − 1)) ∈ Fin)
87	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
88	4	nn0red 12695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
89	88	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
90	89	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
91	87, 90	readdcld 11365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
92		elfzelz 13683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
93	92	zred 12830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
94	93	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
95	91, 94	resubcld 11771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → ((𝐴 + 𝐶) − 𝑘) ∈ ℝ)
96		0red 11338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 0 ∈ ℝ)
97	96, 94	readdcld 11365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → (0 + 𝑘) ∈ ℝ)
98	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 𝐷 ∈ ℝ)
99	90, 98	resubcld 11771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℝ)
100		1red 11336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 1 ∈ ℝ)
101	99, 100	resubcld 11771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → ((𝐶 − 𝐷) − 1) ∈ ℝ)
102	94	recnd 11364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
103	102	addlidd 11538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → (0 + 𝑘) = 𝑘)
104		elfzle2 13688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1)) → 𝑘 ≤ ((𝐶 − 𝐷) − 1))
105	104	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 𝑘 ≤ ((𝐶 − 𝐷) − 1))
106	103, 105	eqbrtrd 5130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → (0 + 𝑘) ≤ ((𝐶 − 𝐷) − 1))
107	99	lem1d 12277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → ((𝐶 − 𝐷) − 1) ≤ (𝐶 − 𝐷))
108	69	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 + 𝐶))
109	101, 99, 91, 107, 108	letrd 11494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → ((𝐶 − 𝐷) − 1) ≤ (𝐴 + 𝐶))
110	97, 101, 91, 106, 109	letrd 11494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → (0 + 𝑘) ≤ (𝐴 + 𝐶))
111	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 0 ∈ ℝ)
112		leaddsub 11819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ) → ((0 + 𝑘) ≤ (𝐴 + 𝐶) ↔ 0 ≤ ((𝐴 + 𝐶) − 𝑘)))
113	111, 94, 91, 112	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → ((0 + 𝑘) ≤ (𝐴 + 𝐶) ↔ 0 ≤ ((𝐴 + 𝐶) − 𝑘)))
114	110, 113	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 0 ≤ ((𝐴 + 𝐶) − 𝑘))
115		bcle2d.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ₀)
116	115	nn0red 12695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
117	116	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ)
118	117	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
119	118, 90	readdcld 11365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
120	119, 94	resubcld 11771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝑘) ∈ ℝ)
121		bcle2d.5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
122	121	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
123	122	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
124	87, 118, 90, 123	leadd1dd 11957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))
125	91, 119, 94, 124	lesub1dd 11959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → ((𝐴 + 𝐶) − 𝑘) ≤ ((𝐵 + 𝐶) − 𝑘))
126	85, 86, 95, 114, 120, 125	fprodle 16192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))((𝐴 + 𝐶) − 𝑘) ≤ ∏𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))((𝐵 + 𝐶) − 𝑘))
127	73	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
128		fallfacval 16205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℕ₀) → ((𝐴 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))((𝐴 + 𝐶) − 𝑘))
129	127, 45, 128	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))((𝐴 + 𝐶) − 𝑘))
130	129	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))((𝐴 + 𝐶) − 𝑘) = ((𝐴 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)))
131	117	recnd 11364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℂ)
132	131, 23	addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
133		fallfacval 16205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℕ₀) → ((𝐵 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))((𝐵 + 𝐶) − 𝑘))
134	132, 45, 133	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))((𝐵 + 𝐶) − 𝑘))
135	134	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))((𝐵 + 𝐶) − 𝑘) = ((𝐵 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)))
136	126, 130, 135	3brtr3d 5139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) ≤ ((𝐵 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)))
137	115	nn0zd 12745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
138	137, 34	zaddcld 12834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
139	138	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
140	20, 25	readdcld 11365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ)
141	137, 10	zaddcld 12834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ)
142	141	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ)
143	142	zred 12830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
144	20, 117, 25, 122	leadd1dd 11957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐷) ≤ (𝐵 + 𝐷))
145	62, 140, 143, 61, 144	letrd 11494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 0 ≤ (𝐵 + 𝐷))
146	62, 25, 117	lesubaddd 11940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((0 − 𝐷) ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ (𝐵 + 𝐷)))
147	145, 146	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (0 − 𝐷) ≤ 𝐵)
148	60, 147	eqbrtrd 5130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → -𝐷 ≤ 𝐵)
149	56, 117, 58, 148	leadd2dd 11958	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 + -𝐷) ≤ (𝐶 + 𝐵))
150	23, 131	addcomd 11539	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
151	149, 67, 150	3brtr3d 5139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐵 + 𝐶))
152	54, 139, 37, 42, 151	elfzd 13674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶)))
153		fallfacval4 16238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 − 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶)) → ((𝐵 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)))))
154	152, 153	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)))))
155	132, 23, 26	subsubd 11724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐵 + 𝐶) − 𝐶) + 𝐷))
156	131, 23	pncand 11697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐶) = 𝐵)
157	156	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐶) + 𝐷) = (𝐵 + 𝐷))
158	155, 157	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)) = (𝐵 + 𝐷))
159	158	fveq2d 6912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷))) = (!‘(𝐵 + 𝐷)))
160	159	oveq2d 7459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)))) = ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))))
161	154, 160	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))))
162	136, 161	breqtrd 5134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) ≤ ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))))
163	84, 162	eqbrtrd 5130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) ≤ ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))))
164	7	nnred 12377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐴 + 𝐶)) ∈ ℝ)
165	16	nnred 12377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐴 + 𝐷)) ∈ ℝ)
166	164, 165, 50	redivcld 12172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) ∈ ℝ)
167	115	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℕ₀)
168	167, 57	nn0addcld 12698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℕ₀)
169	168	faccld 14455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐵 + 𝐶)) ∈ ℕ)
170	169	nnred 12377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐵 + 𝐶)) ∈ ℝ)
171	142, 145	jca 521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 + 𝐷)))
172		elnn0z 12733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 + 𝐷) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 + 𝐷)))
173	171, 172	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℕ₀)
174	173	faccld 14455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐵 + 𝐷)) ∈ ℕ)
175	174	nnred 12377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐵 + 𝐷)) ∈ ℝ)
176	174	nnne0d 12415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐵 + 𝐷)) ≠ 0)
177	170, 175, 176	redivcld 12172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))) ∈ ℝ)
178	32	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) = ((𝐴 − 𝐴) + (𝐶 − 𝐷)))
179	27	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐴) + (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)))
180	178, 179	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)))
181	180	fveq2d 6912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐶 − 𝐷)) = (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))))
182	181, 47	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℕ)
183	182	nnrpd 13189	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℝ⁺)
184	166, 177, 183	lediv1d 13237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) ≤ ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))) ↔ (((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) / (!‘(𝐶 − 𝐷))) ≤ (((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))) / (!‘(𝐶 − 𝐷)))))
185	163, 184	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) / (!‘(𝐶 − 𝐷))) ≤ (((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))) / (!‘(𝐶 − 𝐷))))
186	181	oveq2d 7459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) / (!‘(𝐶 − 𝐷))) = (((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) / (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)))))
187	131, 23	pncan2d 11698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐵) = 𝐶)
188	187	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐶 = ((𝐵 + 𝐶) − 𝐵))
189	188	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − 𝐵) − 𝐷))
190	132, 131, 26	subsub4d 11727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐵) − 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)))
191	189, 190	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)))
192	191	fveq2d 6912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐶 − 𝐷)) = (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))))
193	192	oveq2d 7459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))) / (!‘(𝐶 − 𝐷))) = (((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))) / (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)))))
194	185, 186, 193	3brtr3d 5139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) / (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)))) ≤ (((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))) / (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)))))
195	169	nncnd 12378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐵 + 𝐶)) ∈ ℂ)
196	174	nncnd 12378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐵 + 𝐷)) ∈ ℂ)
197	131, 23, 26	pnpcand 11733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)) = (𝐶 − 𝐷))
198	197, 45	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)) ∈ ℕ₀)
199	198	faccld 14455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))) ∈ ℕ)
200	199	nncnd 12378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))) ∈ ℂ)
201	199	nnne0d 12415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))) ≠ 0)
202	195, 196, 200, 176, 201	divdiv1d 12151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))) / (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)))) = ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / ((!‘(𝐵 + 𝐷)) · (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))))))
203	194, 202	breqtrd 5134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) / (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)))) ≤ ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / ((!‘(𝐵 + 𝐷)) · (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))))))
204	53, 203	eqbrtrd 5130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / ((!‘(𝐴 + 𝐷)) · (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))))) ≤ ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / ((!‘(𝐵 + 𝐷)) · (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))))))
205	16	nncnd 12378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐴 + 𝐷)) ∈ ℂ)
206	47	nncnd 12378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) ∈ ℂ)
207	205, 206	mulcomd 11357	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐷)) · (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)))) = ((!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) · (!‘(𝐴 + 𝐷))))
208	207	oveq2d 7459	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / ((!‘(𝐴 + 𝐷)) · (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))))) = ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / ((!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) · (!‘(𝐴 + 𝐷)))))
209	196, 200	mulcomd 11357	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐵 + 𝐷)) · (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)))) = ((!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))) · (!‘(𝐵 + 𝐷))))
210	209	oveq2d 7459	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / ((!‘(𝐵 + 𝐷)) · (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))))) = ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / ((!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))) · (!‘(𝐵 + 𝐷)))))
211	204, 208, 210	3brtr3d 5139	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / ((!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) · (!‘(𝐴 + 𝐷)))) ≤ ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / ((!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))) · (!‘(𝐵 + 𝐷)))))
212		elfzle2 13688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶)) → (𝐴 + 𝐷) ≤ (𝐴 + 𝐶))
213	212	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐷) ≤ (𝐴 + 𝐶))
214	131, 26	addcomd 11539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐵))
215	214	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐷) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐷 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)))
216	26, 131	addcld 11355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐷 + 𝐵) ∈ ℂ)
217	20, 117	resubcld 11771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
218	217	recnd 11364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
219	216, 218	addcomd 11539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐷 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) + (𝐷 + 𝐵)))
220	215, 219	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐷) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) + (𝐷 + 𝐵)))
221	218, 26, 131	addassd 11358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐷) + 𝐵) = ((𝐴 − 𝐵) + (𝐷 + 𝐵)))
222	221	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐵) + (𝐷 + 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) + 𝐷) + 𝐵))
223	220, 222	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐷) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) + 𝐷) + 𝐵))
224	21, 131, 26	nppcand 11721	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐷) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐷))
225	223, 224	eqtr2d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐷) = ((𝐵 + 𝐷) + (𝐴 − 𝐵)))
226	132, 218	addcomd 11539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) + (𝐵 + 𝐶)))
227	131, 23	addcomd 11539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐵))
228	227	oveq2d 7459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐵) + (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + (𝐶 + 𝐵)))
229	226, 228	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) + (𝐶 + 𝐵)))
230	218, 23, 131	addassd 11358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐶) + 𝐵) = ((𝐴 − 𝐵) + (𝐶 + 𝐵)))
231	230	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐵) + (𝐶 + 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) + 𝐶) + 𝐵))
232	229, 231	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) + 𝐶) + 𝐵))
233	21, 131, 23	nppcand 11721	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐶) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶))
234	232, 233	eqtr2d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐶) = ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 − 𝐵)))
235	213, 225, 234	3brtr3d 5139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐷) + (𝐴 − 𝐵)) ≤ ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 − 𝐵)))
236	139	zred 12830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
237	143, 236, 217	leadd1d 11937	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐷) ≤ (𝐵 + 𝐶) ↔ ((𝐵 + 𝐷) + (𝐴 − 𝐵)) ≤ ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 − 𝐵))))
238	235, 237	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐷) ≤ (𝐵 + 𝐶))
239	54, 139, 142, 145, 238	elfzd 13674	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶)))
240		bcval2 14476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶)) → ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)) = ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / ((!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))) · (!‘(𝐵 + 𝐷)))))
241	239, 240	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)) = ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / ((!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))) · (!‘(𝐵 + 𝐷)))))
242	241	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / ((!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))) · (!‘(𝐵 + 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))
243	211, 242	breqtrd 5134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / ((!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) · (!‘(𝐴 + 𝐷)))) ≤ ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))
244	2, 243	eqbrtrd 5130	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶)C(𝐴 + 𝐷)) ≤ ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))
245	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℕ₀)
246	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℤ)
247		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶)))
248		bcval3 14477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶)C(𝐴 + 𝐷)) = 0)
249	245, 246, 247, 248	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶)C(𝐴 + 𝐷)) = 0)
250		bccl2 14494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶)) → ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)) ∈ ℕ)
251	250	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)) ∈ ℕ)
252	251	nnnn0d 12694	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)) ∈ ℕ₀)
253	252	nn0ge0d 12697	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))
254		0le0 12471	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
255	254	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → 0 ≤ 0)
256	115	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℕ₀)
257	4	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℕ₀)
258	256, 257	nn0addcld 12698	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℕ₀)
259	141	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ)
260	259	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ)
261		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶)))
262		bcval3 14477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 + 𝐶) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)) = 0)
263	258, 260, 261, 262	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)) = 0)
264	263	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → 0 = ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))
265	255, 264	breqtrd 5134	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))
266	253, 265	pm2.61dan 825	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))
267	249, 266	eqbrtrd 5130	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶)C(𝐴 + 𝐷)) ≤ ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))
268	244, 267	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)C(𝐴 + 𝐷)) ≤ ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 class class class wbr 5106 ‘cfv 6558 (class class class)co 7443 ℂcc 11225 ℝcr 11226 0cc0 11227 1c1 11228 + caddc 11230 · cmul 11232 ≤ cle 11371 − cmin 11568 -cneg 11569 / cdiv 12000 ℕcn 12362 ℕ₀cn0 12633 ℤcz 12720 ...cfz 13666 !cfa 14444 Ccbc 14473 ∏cprod 16101 FallFac cfallfac 16200

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-rep 5235 ax-sep 5252 ax-nul 5263 ax-pow 5331 ax-pr 5395 ax-un 7775 ax-inf2 9669 ax-cnex 11283 ax-resscn 11284 ax-1cn 11285 ax-icn 11286 ax-addcl 11287 ax-addrcl 11288 ax-mulcl 11289 ax-mulrcl 11290 ax-mulcom 11291 ax-addass 11292 ax-mulass 11293 ax-distr 11294 ax-i2m1 11295 ax-1ne0 11296 ax-1rid 11297 ax-rnegex 11298 ax-rrecex 11299 ax-cnre 11300 ax-pre-lttri 11301 ax-pre-lttrn 11302 ax-pre-ltadd 11303 ax-pre-mulgt0 11304 ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-op 4839 df-uni 4871 df-int 4911 df-iun 4956 df-br 5107 df-opab 5171 df-mpt 5190 df-tr 5216 df-id 5550 df-eprel 5555 df-po 5563 df-so 5564 df-fr 5608 df-se 5609 df-we 5610 df-xp 5661 df-rel 5662 df-cnv 5663 df-co 5664 df-dm 5665 df-rn 5666 df-res 5667 df-ima 5668 df-pred 6322 df-ord 6383 df-on 6384 df-lim 6385 df-suc 6386 df-iota 6512 df-fun 6560 df-fn 6561 df-f 6562 df-f1 6563 df-fo 6564 df-f1o 6565 df-fv 6566 df-isom 6567 df-riota 7400 df-ov 7446 df-oprab 7447 df-mpo 7448 df-om 7902 df-1st 8025 df-2nd 8026 df-frecs 8327 df-wrecs 8358 df-recs 8407 df-rdg 8446 df-1o 8504 df-er 8745 df-en 9002 df-dom 9003 df-sdom 9004 df-fin 9005 df-sup 9461 df-oi 9531 df-card 10047 df-pnf 11372 df-mnf 11373 df-xr 11374 df-ltxr 11375 df-le 11376 df-sub 11570 df-neg 11571 df-div 12001 df-nn 12363 df-2 12432 df-3 12433 df-n0 12634 df-z 12721 df-uz 12993 df-rp 13148 df-ico 13509 df-fz 13667 df-fzo 13816 df-seq 14172 df-exp 14232 df-fac 14445 df-bc 14474 df-hash 14502 df-cj 15295 df-re 15296 df-im 15297 df-sqrt 15431 df-abs 15432 df-clim 15684 df-prod 16102 df-fallfac 16203

This theorem is used by: aks6d1c7lem1 43422

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