Theorem bcle2d 42632

Description: Inequality for binomial coefficients. (Contributed by metakunt, 12-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
bcle2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
bcle2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
bcle2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
bcle2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
bcle2d.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
bcle2d.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
bcle2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)C(𝐴 + 𝐷)) ≤ ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))

Proof of Theorem bcle2d

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 14258	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐶)C(𝐴 + 𝐷)) = ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / ((!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) · (!‘(𝐴 + 𝐷)))))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶)C(𝐴 + 𝐷)) = ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / ((!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) · (!‘(𝐴 + 𝐷)))))
3		bcle2d.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
4		bcle2d.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
5	3, 4	nn0addcld 12493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℕ0)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℕ0)
7	6	faccld 14237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐴 + 𝐶)) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐴 + 𝐶)) ∈ ℂ)
9	3	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
10		bcle2d.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
11	9, 10	zaddcld 12628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℤ)
12		elfzle1 13472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐷))
13	11, 12	anim12i 614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐴 + 𝐷)))
14		elnn0z 12528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐴 + 𝐷)))
15	13, 14	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℕ0)
16	15	faccld 14237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ)
17	16	nnnn0d 12489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
18	17	nn0cnd 12491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐴 + 𝐷)) ∈ ℂ)
19	3	nn0red 12490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	4	nn0cnd 12491	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℂ)
24	10	zred 12624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐷 ∈ ℝ)
26	25	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐷 ∈ ℂ)
27	21, 23, 21, 26	addsub4d 11543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐴) + (𝐶 − 𝐷)))
28	21	subidd 11484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
29	28	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐴) + (𝐶 − 𝐷)) = (0 + (𝐶 − 𝐷)))
30	23, 26	subcld 11496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
31	30	addlidd 11338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (0 + (𝐶 − 𝐷)) = (𝐶 − 𝐷))
32	29, 31	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐴) + (𝐶 − 𝐷)) = (𝐶 − 𝐷))
33	27, 32	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)) = (𝐶 − 𝐷))
34	4	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℤ)
36	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐷 ∈ ℤ)
37	35, 36	zsubcld 12629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ)
38		bcle2d.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝐶)
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐷 ≤ 𝐶)
40	35	zred 12624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
41	40, 25	subge0d 11731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (0 ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ 𝐷 ≤ 𝐶))
42	39, 41	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 0 ≤ (𝐶 − 𝐷))
43	37, 42	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐶 − 𝐷)))
44		elnn0z 12528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐶 − 𝐷)))
45	43, 44	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℕ0)
46	33, 45	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
47	46	faccld 14237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) ∈ ℕ)
48	47	nnnn0d 12489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) ∈ ℕ0)
49	48	nn0cnd 12491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) ∈ ℂ)
50	16	nnne0d 12218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐴 + 𝐷)) ≠ 0)
51	47	nnne0d 12218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) ≠ 0)
52	8, 18, 49, 50, 51	divdiv1d 11953	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) / (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)))) = ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / ((!‘(𝐴 + 𝐷)) · (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))))))
53	52	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / ((!‘(𝐴 + 𝐷)) · (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))))) = (((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) / (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)))))
54		0zd 12527	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 0 ∈ ℤ)
55	6	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℤ)
56	25	renegcld 11568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → -𝐷 ∈ ℝ)
57	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℕ0)
58	57	nn0red 12490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
59		df-neg 11371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ -𝐷 = (0 − 𝐷)
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → -𝐷 = (0 − 𝐷))
61	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐷))
62		0red 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 0 ∈ ℝ)
63	62, 25, 20	lesubaddd 11738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((0 − 𝐷) ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 + 𝐷)))
64	61, 63	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (0 − 𝐷) ≤ 𝐴)
65	60, 64	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → -𝐷 ≤ 𝐴)
66	56, 20, 58, 65	leadd2dd 11756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 + -𝐷) ≤ (𝐶 + 𝐴))
67	23, 26	negsubd 11502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 + -𝐷) = (𝐶 − 𝐷))
68	23, 21	addcomd 11339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐶))
69	66, 67, 68	3brtr3d 5117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 + 𝐶))
70	54, 55, 37, 42, 69	elfzd 13460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶)))
71		fallfacval4 15999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 − 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)))))
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)))))
73	5	nn0cnd 12491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
74	24	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
75	73, 22, 74	subsubd 11524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐴 + 𝐶) − 𝐶) + 𝐷))
76	19	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
77	76, 22	pncand 11497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − 𝐶) = 𝐴)
78	77	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐶) − 𝐶) + 𝐷) = (𝐴 + 𝐷))
79	75, 78	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)) = (𝐴 + 𝐷))
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)) = (𝐴 + 𝐷))
81	80	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷))) = (!‘(𝐴 + 𝐷)))
82	81	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)))) = ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))))
83	72, 82	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))))
84	83	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)))
85		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶)))
86		fzfid 13926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (0...((𝐶 − 𝐷) − 1)) ∈ Fin)
87	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
88	4	nn0red 12490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
89	88	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ)
90	89	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 𝐶 ∈ ℝ)
91	87, 90	readdcld 11165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
92		elfzelz 13469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
93	92	zred 12624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
95	91, 94	resubcld 11569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → ((𝐴 + 𝐶) − 𝑘) ∈ ℝ)
96		0red 11138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 0 ∈ ℝ)
97	96, 94	readdcld 11165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → (0 + 𝑘) ∈ ℝ)
98	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 𝐷 ∈ ℝ)
99	90, 98	resubcld 11569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℝ)
100		1red 11136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 1 ∈ ℝ)
101	99, 100	resubcld 11569	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → ((𝐶 − 𝐷) − 1) ∈ ℝ)
102	94	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
103	102	addlidd 11338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → (0 + 𝑘) = 𝑘)
104		elfzle2 13473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1)) → 𝑘 ≤ ((𝐶 − 𝐷) − 1))
105	104	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 𝑘 ≤ ((𝐶 − 𝐷) − 1))
106	103, 105	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → (0 + 𝑘) ≤ ((𝐶 − 𝐷) − 1))
107	99	lem1d 12080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → ((𝐶 − 𝐷) − 1) ≤ (𝐶 − 𝐷))
108	69	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 + 𝐶))
109	101, 99, 91, 107, 108	letrd 11294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → ((𝐶 − 𝐷) − 1) ≤ (𝐴 + 𝐶))
110	97, 101, 91, 106, 109	letrd 11294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → (0 + 𝑘) ≤ (𝐴 + 𝐶))
111	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 0 ∈ ℝ)
112		leaddsub 11617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ) → ((0 + 𝑘) ≤ (𝐴 + 𝐶) ↔ 0 ≤ ((𝐴 + 𝐶) − 𝑘)))
113	111, 94, 91, 112	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → ((0 + 𝑘) ≤ (𝐴 + 𝐶) ↔ 0 ≤ ((𝐴 + 𝐶) − 𝑘)))
114	110, 113	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 0 ≤ ((𝐴 + 𝐶) − 𝑘))
115		bcle2d.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
116	115	nn0red 12490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
117	116	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ)
118	117	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
119	118, 90	readdcld 11165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
120	119, 94	resubcld 11569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝑘) ∈ ℝ)
121		bcle2d.5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
122	121	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
123	122	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → 𝐴 ≤ 𝐵)
124	87, 118, 90, 123	leadd1dd 11755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))
125	91, 119, 94, 124	lesub1dd 11757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))) → ((𝐴 + 𝐶) − 𝑘) ≤ ((𝐵 + 𝐶) − 𝑘))
126	85, 86, 95, 114, 120, 125	fprodle 15952	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))((𝐴 + 𝐶) − 𝑘) ≤ ∏𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))((𝐵 + 𝐶) − 𝑘))
127	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
128		fallfacval 15965	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))((𝐴 + 𝐶) − 𝑘))
129	127, 45, 128	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))((𝐴 + 𝐶) − 𝑘))
130	129	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))((𝐴 + 𝐶) − 𝑘) = ((𝐴 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)))
131	117	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℂ)
132	131, 23	addcld 11155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
133		fallfacval 15965	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℕ0) → ((𝐵 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))((𝐵 + 𝐶) − 𝑘))
134	132, 45, 133	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))((𝐵 + 𝐶) − 𝑘))
135	134	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝐶 − 𝐷) − 1))((𝐵 + 𝐶) − 𝑘) = ((𝐵 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)))
136	126, 130, 135	3brtr3d 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) ≤ ((𝐵 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)))
137	115	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
138	137, 34	zaddcld 12628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
139	138	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℤ)
140	20, 25	readdcld 11165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ)
141	137, 10	zaddcld 12628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ)
142	141	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ)
143	142	zred 12624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
144	20, 117, 25, 122	leadd1dd 11755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐷) ≤ (𝐵 + 𝐷))
145	62, 140, 143, 61, 144	letrd 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 0 ≤ (𝐵 + 𝐷))
146	62, 25, 117	lesubaddd 11738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((0 − 𝐷) ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ (𝐵 + 𝐷)))
147	145, 146	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (0 − 𝐷) ≤ 𝐵)
148	60, 147	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → -𝐷 ≤ 𝐵)
149	56, 117, 58, 148	leadd2dd 11756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 + -𝐷) ≤ (𝐶 + 𝐵))
150	23, 131	addcomd 11339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐶))
151	149, 67, 150	3brtr3d 5117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐵 + 𝐶))
152	54, 139, 37, 42, 151	elfzd 13460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶)))
153		fallfacval4 15999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 − 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶)) → ((𝐵 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)))))
154	152, 153	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)))))
155	132, 23, 26	subsubd 11524	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)) = (((𝐵 + 𝐶) − 𝐶) + 𝐷))
156	131, 23	pncand 11497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐶) = 𝐵)
157	156	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐶) + 𝐷) = (𝐵 + 𝐷))
158	155, 157	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)) = (𝐵 + 𝐷))
159	158	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷))) = (!‘(𝐵 + 𝐷)))
160	159	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐶 − 𝐷)))) = ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))))
161	154, 160	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) = ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))))
162	136, 161	breqtrd 5112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶) FallFac (𝐶 − 𝐷)) ≤ ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))))
163	84, 162	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) ≤ ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))))
164	7	nnred 12180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐴 + 𝐶)) ∈ ℝ)
165	16	nnred 12180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐴 + 𝐷)) ∈ ℝ)
166	164, 165, 50	redivcld 11974	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) ∈ ℝ)
167	115	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℕ0)
168	167, 57	nn0addcld 12493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℕ0)
169	168	faccld 14237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐵 + 𝐶)) ∈ ℕ)
170	169	nnred 12180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐵 + 𝐶)) ∈ ℝ)
171	142, 145	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 + 𝐷)))
172		elnn0z 12528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 + 𝐷) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 + 𝐷)))
173	171, 172	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℕ0)
174	173	faccld 14237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐵 + 𝐷)) ∈ ℕ)
175	174	nnred 12180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐵 + 𝐷)) ∈ ℝ)
176	174	nnne0d 12218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐵 + 𝐷)) ≠ 0)
177	170, 175, 176	redivcld 11974	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))) ∈ ℝ)
178	32	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) = ((𝐴 − 𝐴) + (𝐶 − 𝐷)))
179	27	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐴) + (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)))
180	178, 179	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) = ((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)))
181	180	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐶 − 𝐷)) = (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))))
182	181, 47	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℕ)
183	182	nnrpd 12975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℝ+)
184	166, 177, 183	lediv1d 13023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) ≤ ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))) ↔ (((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) / (!‘(𝐶 − 𝐷))) ≤ (((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))) / (!‘(𝐶 − 𝐷)))))
185	163, 184	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) / (!‘(𝐶 − 𝐷))) ≤ (((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))) / (!‘(𝐶 − 𝐷))))
186	181	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) / (!‘(𝐶 − 𝐷))) = (((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) / (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)))))
187	131, 23	pncan2d 11498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐵) = 𝐶)
188	187	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 𝐶 = ((𝐵 + 𝐶) − 𝐵))
189	188	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) = (((𝐵 + 𝐶) − 𝐵) − 𝐷))
190	132, 131, 26	subsub4d 11527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((𝐵 + 𝐶) − 𝐵) − 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)))
191	189, 190	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐶 − 𝐷) = ((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)))
192	191	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐶 − 𝐷)) = (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))))
193	192	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))) / (!‘(𝐶 − 𝐷))) = (((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))) / (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)))))
194	185, 186, 193	3brtr3d 5117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) / (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)))) ≤ (((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))) / (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)))))
195	169	nncnd 12181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐵 + 𝐶)) ∈ ℂ)
196	174	nncnd 12181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐵 + 𝐷)) ∈ ℂ)
197	131, 23, 26	pnpcand 11533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)) = (𝐶 − 𝐷))
198	197, 45	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
199	198	faccld 14237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))) ∈ ℕ)
200	199	nncnd 12181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))) ∈ ℂ)
201	199	nnne0d 12218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))) ≠ 0)
202	195, 196, 200, 176, 201	divdiv1d 11953	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((!‘(𝐵 + 𝐶)) / (!‘(𝐵 + 𝐷))) / (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)))) = ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / ((!‘(𝐵 + 𝐷)) · (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))))))
203	194, 202	breqtrd 5112	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((!‘(𝐴 + 𝐶)) / (!‘(𝐴 + 𝐷))) / (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)))) ≤ ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / ((!‘(𝐵 + 𝐷)) · (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))))))
204	53, 203	eqbrtrd 5108	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / ((!‘(𝐴 + 𝐷)) · (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))))) ≤ ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / ((!‘(𝐵 + 𝐷)) · (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))))))
205	16	nncnd 12181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘(𝐴 + 𝐷)) ∈ ℂ)
206	47	nncnd 12181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) ∈ ℂ)
207	205, 206	mulcomd 11157	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐷)) · (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷)))) = ((!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) · (!‘(𝐴 + 𝐷))))
208	207	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / ((!‘(𝐴 + 𝐷)) · (!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))))) = ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / ((!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) · (!‘(𝐴 + 𝐷)))))
209	196, 200	mulcomd 11157	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐵 + 𝐷)) · (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷)))) = ((!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))) · (!‘(𝐵 + 𝐷))))
210	209	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / ((!‘(𝐵 + 𝐷)) · (!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))))) = ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / ((!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))) · (!‘(𝐵 + 𝐷)))))
211	204, 208, 210	3brtr3d 5117	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / ((!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) · (!‘(𝐴 + 𝐷)))) ≤ ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / ((!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))) · (!‘(𝐵 + 𝐷)))))
212		elfzle2 13473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶)) → (𝐴 + 𝐷) ≤ (𝐴 + 𝐶))
213	212	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐷) ≤ (𝐴 + 𝐶))
214	131, 26	addcomd 11339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐵))
215	214	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐷) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐷 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)))
216	26, 131	addcld 11155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐷 + 𝐵) ∈ ℂ)
217	20, 117	resubcld 11569	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
218	217	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
219	216, 218	addcomd 11339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐷 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) + (𝐷 + 𝐵)))
220	215, 219	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐷) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) + (𝐷 + 𝐵)))
221	218, 26, 131	addassd 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐷) + 𝐵) = ((𝐴 − 𝐵) + (𝐷 + 𝐵)))
222	221	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐵) + (𝐷 + 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) + 𝐷) + 𝐵))
223	220, 222	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐷) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) + 𝐷) + 𝐵))
224	21, 131, 26	nppcand 11521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐷) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐷))
225	223, 224	eqtr2d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐷) = ((𝐵 + 𝐷) + (𝐴 − 𝐵)))
226	132, 218	addcomd 11339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) + (𝐵 + 𝐶)))
227	131, 23	addcomd 11339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐶) = (𝐶 + 𝐵))
228	227	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐵) + (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 − 𝐵) + (𝐶 + 𝐵)))
229	226, 228	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) + (𝐶 + 𝐵)))
230	218, 23, 131	addassd 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐶) + 𝐵) = ((𝐴 − 𝐵) + (𝐶 + 𝐵)))
231	230	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 − 𝐵) + (𝐶 + 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) + 𝐶) + 𝐵))
232	229, 231	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) + 𝐶) + 𝐵))
233	21, 131, 23	nppcand 11521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐶) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶))
234	232, 233	eqtr2d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐶) = ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 − 𝐵)))
235	213, 225, 234	3brtr3d 5117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐷) + (𝐴 − 𝐵)) ≤ ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 − 𝐵)))
236	139	zred 12624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
237	143, 236, 217	leadd1d 11735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐷) ≤ (𝐵 + 𝐶) ↔ ((𝐵 + 𝐷) + (𝐴 − 𝐵)) ≤ ((𝐵 + 𝐶) + (𝐴 − 𝐵))))
238	235, 237	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐷) ≤ (𝐵 + 𝐶))
239	54, 139, 142, 145, 238	elfzd 13460	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶)))
240		bcval2 14258	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶)) → ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)) = ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / ((!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))) · (!‘(𝐵 + 𝐷)))))
241	239, 240	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)) = ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / ((!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))) · (!‘(𝐵 + 𝐷)))))
242	241	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐵 + 𝐶)) / ((!‘((𝐵 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐷))) · (!‘(𝐵 + 𝐷)))) = ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))
243	211, 242	breqtrd 5112	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((!‘(𝐴 + 𝐶)) / ((!‘((𝐴 + 𝐶) − (𝐴 + 𝐷))) · (!‘(𝐴 + 𝐷)))) ≤ ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))
244	2, 243	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶)C(𝐴 + 𝐷)) ≤ ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))
245	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℕ0)
246	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℤ)
247		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶)))
248		bcval3 14259	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶)C(𝐴 + 𝐷)) = 0)
249	245, 246, 247, 248	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶)C(𝐴 + 𝐷)) = 0)
250		bccl2 14276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶)) → ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)) ∈ ℕ)
251	250	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)) ∈ ℕ)
252	251	nnnn0d 12489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)) ∈ ℕ0)
253	252	nn0ge0d 12492	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))
254		0le0 12273	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
255	254	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → 0 ≤ 0)
256	115	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → 𝐵 ∈ ℕ0)
257	4	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → 𝐶 ∈ ℕ0)
258	256, 257	nn0addcld 12493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℕ0)
259	141	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ)
260	259	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ)
261		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶)))
262		bcval3 14259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 + 𝐶) ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)) = 0)
263	258, 260, 261, 262	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)) = 0)
264	263	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → 0 = ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))
265	255, 264	breqtrd 5112	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) ∧ ¬ (𝐵 + 𝐷) ∈ (0...(𝐵 + 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))
266	253, 265	pm2.61dan 813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → 0 ≤ ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))
267	249, 266	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐴 + 𝐷) ∈ (0...(𝐴 + 𝐶))) → ((𝐴 + 𝐶)C(𝐴 + 𝐷)) ≤ ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))
268	244, 267	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶)C(𝐴 + 𝐷)) ≤ ((𝐵 + 𝐶)C(𝐵 + 𝐷)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ...cfz 13452  !cfa 14226  Ccbc 14255  ∏cprod 15859   FallFac cfallfac 15960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-prod 15860  df-fallfac 15963

This theorem is referenced by:  aks6d1c7lem1  42633