Theorem bccbc 44341

Description: The binomial coefficient and generalized binomial coefficient are equal when their arguments are nonnegative integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccbc.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
bccbc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bccbc	⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))

Proof of Theorem bccbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccbc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	nn0cnd 12512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3		bccbc.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
4	2, 3	bccval 44334	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
6		bcfallfac 16017	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
8	5, 7	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))
9		nn0split 13611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
11	3, 10	eleqtrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
12		elun 4119	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
13	11, 12	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
14	13	orcanai 1004	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
15		eluzle 12813	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝐾)
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝐾)
17	1	nn0zd 12562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
18	3	nn0zd 12562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
19		zltp1le 12590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
20	17, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
22	16, 21	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 < 𝐾)
23	14, 22	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 < 𝐾)
24	1	nn0ge0d 12513	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
25		0zd 12548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
26		elfzo 13629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝐾)))
27	17, 25, 18, 26	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝐾)))
28	27	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝐾)) → 𝑁 ∈ (0..^𝐾))
29		fzoval 13628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (0..^𝐾) = (0...(𝐾 − 1)))
30	18, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐾) = (0...(𝐾 − 1)))
31	30	eleq2d 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
32	31	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
33	2, 3	bcc0 44336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
34	33	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
35	32, 34	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (0..^𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
36	28, 35	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
37	24, 36	sylanr1 682	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 ∧ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
38	37	anabss5 668	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝐾) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
39	23, 38	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
40	1, 18	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
41		bcval3 14278	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
42	41	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
43	40, 42	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
44	39, 43	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))
45	8, 44	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3915   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  ..^cfzo 13622  !cfa 14245  Ccbc 14274   FallFac cfallfac 15977  C_𝑐cbcc 44332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-prod 15877  df-fallfac 15980  df-bcc 44333

This theorem is referenced by:  binomcxplemnn0  44345