Theorem bccbc 41963

Description: The binomial coefficient and generalized binomial coefficient are equal when their arguments are nonnegative integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccbc.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
bccbc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bccbc	⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))

Proof of Theorem bccbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccbc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	nn0cnd 12295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3		bccbc.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
4	2, 3	bccval 41956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
6		bcfallfac 15754	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
7	6	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
8	5, 7	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))
9		nn0split 13371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
11	3, 10	eleqtrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
12		elun 4083	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
13	11, 12	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
14	13	orcanai 1000	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
15		eluzle 12595	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝐾)
16	15	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝐾)
17	1	nn0zd 12424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
18	3	nn0zd 12424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
19		zltp1le 12370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
20	17, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
21	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
22	16, 21	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 < 𝐾)
23	14, 22	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 < 𝐾)
24	1	nn0ge0d 12296	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
25		0zd 12331	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
26		elfzo 13389	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝐾)))
27	17, 25, 18, 26	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝐾)))
28	27	biimpar 478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝐾)) → 𝑁 ∈ (0..^𝐾))
29		fzoval 13388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (0..^𝐾) = (0...(𝐾 − 1)))
30	18, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐾) = (0...(𝐾 − 1)))
31	30	eleq2d 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
32	31	biimpa 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
33	2, 3	bcc0 41958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
34	33	biimpar 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
35	32, 34	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (0..^𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
36	28, 35	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
37	24, 36	sylanr1 679	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 ∧ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
38	37	anabss5 665	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝐾) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
39	23, 38	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
40	1, 18	jca 512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
41		bcval3 14020	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
42	41	3expa 1117	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
43	40, 42	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
44	39, 43	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))
45	8, 44	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3885   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  !cfa 13987  Ccbc 14016   FallFac cfallfac 15714  C_𝑐cbcc 41954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-prod 15616  df-fallfac 15717  df-bcc 41955

This theorem is referenced by:  binomcxplemnn0  41967