Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bccbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bccbc 41963
Description: The binomial coefficient and generalized binomial coefficient are equal when their arguments are nonnegative integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bccbc.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
bccbc.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
bccbc (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))

Proof of Theorem bccbc
StepHypRef Expression
1 bccbc.c . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
21nn0cnd 12295 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3 bccbc.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
42, 3bccval 41956 . . . 4 (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
54adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
6 bcfallfac 15754 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
76adantl 482 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
85, 7eqtr4d 2781 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))
9 nn0split 13371 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
101, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
113, 10eleqtrd 2841 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
12 elun 4083 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
1311, 12sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
1413orcanai 1000 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
15 eluzle 12595 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝐾)
1615adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝐾)
171nn0zd 12424 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
183nn0zd 12424 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
19 zltp1le 12370 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
2017, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
2120adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
2216, 21mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 < 𝐾)
2314, 22syldan 591 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 < 𝐾)
241nn0ge0d 12296 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
25 0zd 12331 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
26 elfzo 13389 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ (0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝐾)))
2717, 25, 18, 26syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ (0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝐾)))
2827biimpar 478 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝐾)) → 𝑁 ∈ (0..^𝐾))
29 fzoval 13388 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → (0..^𝐾) = (0...(𝐾 − 1)))
3018, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^𝐾) = (0...(𝐾 − 1)))
3130eleq2d 2824 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
3231biimpa 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
332, 3bcc0 41958 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
3433biimpar 478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
3532, 34syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (0..^𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
3628, 35syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
3724, 36sylanr1 679 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜑𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
3837anabss5 665 . . . 4 ((𝜑𝑁 < 𝐾) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
3923, 38syldan 591 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
401, 18jca 512 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ))
41 bcval3 14020 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
42413expa 1117 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
4340, 42sylan 580 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
4439, 43eqtr4d 2781 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))
458, 44pm2.61dan 810 1 (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1539  wcel 2106  cun 3885   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205   / cdiv 11632  0cn0 12233  cz 12319  cuz 12582  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  !cfa 13987  Ccbc 14016   FallFac cfallfac 15714  C𝑐cbcc 41954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-prod 15616  df-fallfac 15717  df-bcc 41955
This theorem is referenced by:  binomcxplemnn0  41967
  Copyright terms: Public domain W3C validator