Theorem bccbc 41541

Description: The binomial coefficient and generalized binomial coefficient are equal when their arguments are nonnegative integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccbc.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
bccbc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bccbc	⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))

Proof of Theorem bccbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccbc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	nn0cnd 12050	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3		bccbc.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
4	2, 3	bccval 41534	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
5	4	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
6		bcfallfac 15502	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
7	6	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
8	5, 7	eqtr4d 2777	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))
9		nn0split 13125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
11	3, 10	eleqtrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
12		elun 4049	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
13	11, 12	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
14	13	orcanai 1002	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
15		eluzle 12349	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝐾)
16	15	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝐾)
17	1	nn0zd 12178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
18	3	nn0zd 12178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
19		zltp1le 12125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
20	17, 18, 19	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
21	20	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
22	16, 21	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 < 𝐾)
23	14, 22	syldan 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 < 𝐾)
24	1	nn0ge0d 12051	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
25		0zd 12086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
26		elfzo 13143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝐾)))
27	17, 25, 18, 26	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝐾)))
28	27	biimpar 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝐾)) → 𝑁 ∈ (0..^𝐾))
29		fzoval 13142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (0..^𝐾) = (0...(𝐾 − 1)))
30	18, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐾) = (0...(𝐾 − 1)))
31	30	eleq2d 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
32	31	biimpa 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
33	2, 3	bcc0 41536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
34	33	biimpar 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
35	32, 34	syldan 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (0..^𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
36	28, 35	syldan 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
37	24, 36	sylanr1 682	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 ∧ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
38	37	anabss5 668	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝐾) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
39	23, 38	syldan 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
40	1, 18	jca 515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
41		bcval3 13770	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
42	41	3expa 1119	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
43	40, 42	sylan 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
44	39, 43	eqtr4d 2777	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))
45	8, 44	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3851   class class class wbr 5040  ‘cfv 6349  (class class class)co 7182  0cc0 10627  1c1 10628   + caddc 10630   < clt 10765   ≤ cle 10766   − cmin 10960   / cdiv 11387  ℕ₀cn0 11988  ℤcz 12074  ℤ_≥cuz 12336  ...cfz 12993  ..^cfzo 13136  !cfa 13737  Ccbc 13766   FallFac cfallfac 15462  C_𝑐cbcc 41532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-inf2 9189  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-sup 8991  df-oi 9059  df-card 9453  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-rp 12485  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-seq 13473  df-exp 13534  df-fac 13738  df-bc 13767  df-hash 13795  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-sqrt 14696  df-abs 14697  df-clim 14947  df-prod 15364  df-fallfac 15465  df-bcc 41533

This theorem is referenced by:  binomcxplemnn0  41545