Theorem bccbc 43567

Description: The binomial coefficient and generalized binomial coefficient are equal when their arguments are nonnegative integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccbc.c	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
bccbc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bccbc	⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))

Proof of Theorem bccbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccbc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	nn0cnd 12541	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3		bccbc.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
4	2, 3	bccval 43560	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
6		bcfallfac 15995	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
8	5, 7	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))
9		nn0split 13623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
11	3, 10	eleqtrd 2834	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
12		elun 4148	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
13	11, 12	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
14	13	orcanai 1000	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
15		eluzle 12842	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝐾)
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝐾)
17	1	nn0zd 12591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
18	3	nn0zd 12591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
19		zltp1le 12619	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
20	17, 18, 19	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
22	16, 21	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 < 𝐾)
23	14, 22	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 < 𝐾)
24	1	nn0ge0d 12542	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
25		0zd 12577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
26		elfzo 13641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝐾)))
27	17, 25, 18, 26	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝐾)))
28	27	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝐾)) → 𝑁 ∈ (0..^𝐾))
29		fzoval 13640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (0..^𝐾) = (0...(𝐾 − 1)))
30	18, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐾) = (0...(𝐾 − 1)))
31	30	eleq2d 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
32	31	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
33	2, 3	bcc0 43562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
34	33	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
35	32, 34	syldan 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (0..^𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
36	28, 35	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
37	24, 36	sylanr1 679	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 ∧ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
38	37	anabss5 665	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝐾) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
39	23, 38	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
40	1, 18	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
41		bcval3 14273	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
42	41	3expa 1117	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
43	40, 42	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
44	39, 43	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))
45	8, 44	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∪ cun 3946   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   < clt 11255   ≤ cle 11256   − cmin 11451   / cdiv 11878  ℕ₀cn0 12479  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12829  ...cfz 13491  ..^cfzo 13634  !cfa 14240  Ccbc 14269   FallFac cfallfac 15955  C_𝑐cbcc 43558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-prod 15857  df-fallfac 15958  df-bcc 43559

This theorem is referenced by:  binomcxplemnn0  43571