Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bccbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bccbc 40539
 Description: The binomial coefficient and generalized binomial coefficient are equal when their arguments are nonnegative integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bccbc.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
bccbc.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
bccbc (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))

Proof of Theorem bccbc
StepHypRef Expression
1 bccbc.c . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
21nn0cnd 11949 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3 bccbc.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
42, 3bccval 40532 . . . 4 (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
54adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
6 bcfallfac 15390 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
76adantl 482 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
85, 7eqtr4d 2863 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))
9 nn0split 13015 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
101, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
113, 10eleqtrd 2919 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
12 elun 4128 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
1311, 12sylib 219 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
1413orcanai 998 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
15 eluzle 12248 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝐾)
1615adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝐾)
171nn0zd 12077 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
183nn0zd 12077 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
19 zltp1le 12024 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
2017, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
2120adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
2216, 21mpbird 258 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 < 𝐾)
2314, 22syldan 591 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 < 𝐾)
241nn0ge0d 11950 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
25 0zd 11985 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
26 elfzo 13033 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ (0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝐾)))
2717, 25, 18, 26syl3anc 1365 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ (0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝐾)))
2827biimpar 478 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝐾)) → 𝑁 ∈ (0..^𝐾))
29 fzoval 13032 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → (0..^𝐾) = (0...(𝐾 − 1)))
3018, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^𝐾) = (0...(𝐾 − 1)))
3130eleq2d 2902 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
3231biimpa 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
332, 3bcc0 40534 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
3433biimpar 478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
3532, 34syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (0..^𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
3628, 35syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
3724, 36sylanr1 678 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜑𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
3837anabss5 664 . . . 4 ((𝜑𝑁 < 𝐾) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
3923, 38syldan 591 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
401, 18jca 512 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ))
41 bcval3 13659 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
42413expa 1112 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
4340, 42sylan 580 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
4439, 43eqtr4d 2863 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))
458, 44pm2.61dan 809 1 (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 843   = wceq 1530   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3937   class class class wbr 5062  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862   / cdiv 11289  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  ...cfz 12885  ..^cfzo 13026  !cfa 13626  Ccbc 13655   FallFac cfallfac 15350  C𝑐cbcc 40530 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627  df-bc 13656  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-prod 15252  df-fallfac 15353  df-bcc 40531 This theorem is referenced by:  binomcxplemnn0  40543
 Copyright terms: Public domain W3C validator