Theorem bccl 14278

Description: A binomial coefficient, in its extended domain, is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bccl	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem bccl

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚C𝑘) = (0C𝑘))
2	1	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (0C𝑘) ∈ ℕ0))
3	2	ralbidv 3177	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ (0C𝑘) ∈ ℕ0))
4		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚C𝑘) = (𝑛C𝑘))
5	4	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0))
6	5	ralbidv 3177	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0))
7		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚C𝑘) = ((𝑛 + 1)C𝑘))
8	7	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0))
9	8	ralbidv 3177	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑛 + 1) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0))
10		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚C𝑘) = (𝑁C𝑘))
11	10	eleq1d 2818	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0))
12	11	ralbidv 3177	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0))
13		elfz1eq 13508	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...0) → 𝑘 = 0)
14	13	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → 𝑘 = 0)
15		oveq2 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = (0C0))
16		0nn0 12483	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17		bcn0 14266	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0C0) = 1)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0C0) = 1
19		1nn0 12484	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	18, 19	eqeltri 2829	. . . . . . 7 ⊢ (0C0) ∈ ℕ0
21	15, 20	eqeltrdi 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (0C𝑘) ∈ ℕ0)
22	14, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (0C𝑘) ∈ ℕ0)
23		bcval3 14262	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...0)) → (0C𝑘) = 0)
24	16, 23	mp3an1 1448	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...0)) → (0C𝑘) = 0)
25	24, 16	eqeltrdi 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...0)) → (0C𝑘) ∈ ℕ0)
26	22, 25	pm2.61dan 811	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (0C𝑘) ∈ ℕ0)
27	26	rgen 3063	. . 3 ⊢ ∀𝑘 ∈ ℤ (0C𝑘) ∈ ℕ0
28		oveq2 7413	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑛C𝑘) = (𝑛C𝑚))
29	28	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑛C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0))
30	29	cbvralvw 3234	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0)
31		bcpasc 14277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛C𝑘) + (𝑛C(𝑘 − 1))) = ((𝑛 + 1)C𝑘))
32	31	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛C𝑘) + (𝑛C(𝑘 − 1))) = ((𝑛 + 1)C𝑘))
33		oveq2 7413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑛C𝑚) = (𝑛C𝑘))
34	33	eleq1d 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑛C𝑚) ∈ ℕ0 ↔ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0))
35	34	rspccva 3611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0)
36		peano2zm 12601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
37		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → (𝑛C𝑚) = (𝑛C(𝑘 − 1)))
38	37	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑘 − 1) → ((𝑛C𝑚) ∈ ℕ0 ↔ (𝑛C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0))
39	38	rspccva 3611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑛C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
40	36, 39	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑛C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
41	35, 40	nn0addcld 12532	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛C𝑘) + (𝑛C(𝑘 − 1))) ∈ ℕ0)
42	41	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛C𝑘) + (𝑛C(𝑘 − 1))) ∈ ℕ0)
43	32, 42	eqeltrrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
44	43	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
45	44	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0 → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0))
46	30, 45	biimtrid 241	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0 → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0))
47	3, 6, 9, 12, 27, 46	nn0ind 12653	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
48		oveq2 7413	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝐾))
49	48	eleq1d 2818	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0))
50	49	rspccva 3611	. 2 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℤ (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)
51	47, 50	sylan 580	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   − cmin 11440  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ...cfz 13480  Ccbc 14258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-seq 13963  df-fac 14230  df-bc 14259

This theorem is referenced by:  bccl2  14279  bcn2m1  14280  bcn2p1  14281  binomlem  15771  bcxmas  15777  binomfallfaclem1  15979  binomfallfaclem2  15980  binomrisefac  15982  bpolycl  15992  bpolysum  15993  bpolydiflem  15994  bpoly4  15999  srgbinomlem3  20044  srgbinomlem4  20045  srgbinomlem  20046  chpscmatgsummon  22338  basellem2  26575  basellem3  26576  basellem5  26578  chtublem  26703  bcmono  26769  bcp1ctr  26771  bclbnd  26772  prmdvdsbc  32009  freshmansdream  32369  bcprod  34696  bccolsum  34697  fwddifnp1  35125  lcmineqlem1  40882  lcmineqlem2  40883  lcmineqlem17  40898  2ap1caineq  40949  jm2.22  41719  jm2.23  41720  bccld  44011  altgsumbc  46981  altgsumbcALT  46982