Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bccl 13681
 Description: A binomial coefficient, in its extended domain, is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bccl ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem bccl
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7143 . . . . 5 (𝑚 = 0 → (𝑚C𝑘) = (0C𝑘))
21eleq1d 2874 . . . 4 (𝑚 = 0 → ((𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (0C𝑘) ∈ ℕ0))
32ralbidv 3162 . . 3 (𝑚 = 0 → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ (0C𝑘) ∈ ℕ0))
4 oveq1 7143 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚C𝑘) = (𝑛C𝑘))
54eleq1d 2874 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0))
65ralbidv 3162 . . 3 (𝑚 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0))
7 oveq1 7143 . . . . 5 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚C𝑘) = ((𝑛 + 1)C𝑘))
87eleq1d 2874 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0))
98ralbidv 3162 . . 3 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0))
10 oveq1 7143 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚C𝑘) = (𝑁C𝑘))
1110eleq1d 2874 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0))
1211ralbidv 3162 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑚C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0))
13 elfz1eq 12916 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...0) → 𝑘 = 0)
1413adantl 485 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → 𝑘 = 0)
15 oveq2 7144 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = (0C0))
16 0nn0 11903 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
17 bcn0 13669 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 → (0C0) = 1)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0C0) = 1
19 1nn0 11904 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
2018, 19eqeltri 2886 . . . . . . 7 (0C0) ∈ ℕ0
2115, 20eqeltrdi 2898 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (0C𝑘) ∈ ℕ0)
2214, 21syl 17 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (0C𝑘) ∈ ℕ0)
23 bcval3 13665 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...0)) → (0C𝑘) = 0)
2416, 23mp3an1 1445 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...0)) → (0C𝑘) = 0)
2524, 16eqeltrdi 2898 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...0)) → (0C𝑘) ∈ ℕ0)
2622, 25pm2.61dan 812 . . . 4 (𝑘 ∈ ℤ → (0C𝑘) ∈ ℕ0)
2726rgen 3116 . . 3 𝑘 ∈ ℤ (0C𝑘) ∈ ℕ0
28 oveq2 7144 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (𝑛C𝑘) = (𝑛C𝑚))
2928eleq1d 2874 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑛C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0))
3029cbvralvw 3396 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0)
31 bcpasc 13680 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛C𝑘) + (𝑛C(𝑘 − 1))) = ((𝑛 + 1)C𝑘))
3231adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛C𝑘) + (𝑛C(𝑘 − 1))) = ((𝑛 + 1)C𝑘))
33 oveq2 7144 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → (𝑛C𝑚) = (𝑛C𝑘))
3433eleq1d 2874 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑛C𝑚) ∈ ℕ0 ↔ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0))
3534rspccva 3570 . . . . . . . . 9 ((∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0)
36 peano2zm 12016 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
37 oveq2 7144 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑘 − 1) → (𝑛C𝑚) = (𝑛C(𝑘 − 1)))
3837eleq1d 2874 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑘 − 1) → ((𝑛C𝑚) ∈ ℕ0 ↔ (𝑛C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0))
3938rspccva 3570 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑛C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
4036, 39sylan2 595 . . . . . . . . 9 ((∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑛C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
4135, 40nn0addcld 11950 . . . . . . . 8 ((∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛C𝑘) + (𝑛C(𝑘 − 1))) ∈ ℕ0)
4241adantll 713 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛C𝑘) + (𝑛C(𝑘 − 1))) ∈ ℕ0)
4332, 42eqeltrrd 2891 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
4443ralrimiva 3149 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
4544ex 416 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑚 ∈ ℤ (𝑛C𝑚) ∈ ℕ0 → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0))
4630, 45syl5bi 245 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0 → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝑛 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0))
473, 6, 9, 12, 27, 46nn0ind 12068 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
48 oveq2 7144 . . . 4 (𝑘 = 𝐾 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝐾))
4948eleq1d 2874 . . 3 (𝑘 = 𝐾 → ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0))
5049rspccva 3570 . 2 ((∀𝑘 ∈ ℤ (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)
5147, 50sylan 583 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  (class class class)co 7136  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   − cmin 10862  ℕ0cn0 11888  ℤcz 11972  ...cfz 12888  Ccbc 13661 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-fz 12889  df-seq 13368  df-fac 13633  df-bc 13662 This theorem is referenced by:  bccl2  13682  bcn2m1  13683  bcn2p1  13684  binomlem  15179  bcxmas  15185  binomfallfaclem1  15388  binomfallfaclem2  15389  binomrisefac  15391  bpolycl  15401  bpolysum  15402  bpolydiflem  15403  bpoly4  15408  srgbinomlem3  19289  srgbinomlem4  19290  srgbinomlem  19291  chpscmatgsummon  21460  basellem2  25677  basellem3  25678  basellem5  25680  chtublem  25805  bcmono  25871  bcp1ctr  25873  bclbnd  25874  prmdvdsbc  30568  freshmansdream  30919  bcprod  33098  bccolsum  33099  fwddifnp1  33754  lcmineqlem1  39336  lcmineqlem2  39337  lcmineqlem17  39352  2ap1caineq  39368  jm2.22  39979  jm2.23  39980  bccld  41990  altgsumbc  44797  altgsumbcALT  44798
 Copyright terms: Public domain W3C validator