Theorem bccmpl 14344

Description: "Complementing" its second argument doesn't change a binary coefficient. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bccmpl	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))

Proof of Theorem bccmpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 14340	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2		fznn0sub2 13671	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))
3		bcval2 14340	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾)))))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾)))))
5		elfznn0 13656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
6	5	faccld 14319	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
7	6	nncnd 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
8	2, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
9		elfznn0 13656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	9	faccld 14319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
12	8, 11	mulcomd 11279	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = ((!‘𝐾) · (!‘(𝑁 − 𝐾))))
13		elfz3nn0 13657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		elfzelz 13560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
15		nn0cn 12533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
16		zcn 12615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
17		nncan 11535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) = 𝐾)
18	15, 16, 17	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) = 𝐾)
19	13, 14, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) = 𝐾)
20	19	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) = (!‘𝐾))
21	20	oveq1d 7445	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾))) = ((!‘𝐾) · (!‘(𝑁 − 𝐾))))
22	12, 21	eqtr4d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾))))
23	22	oveq2d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾)))))
24	4, 23	eqtr4d 2777	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
25	1, 24	eqtr4d 2777	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
26	25	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
27		bcval3 14341	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
28		simp1 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
29		nn0z 12635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
30		zsubcl 12656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
31	29, 30	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
32	31	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
33		fznn0sub2 13671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) ∈ (0...𝑁))
34	18	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
35	33, 34	imbitrid 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
36	35	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁)))
37	36	3impia 1116	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))
38		bcval3 14341	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = 0)
39	28, 32, 37, 38	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = 0)
40	27, 39	eqtr4d 2777	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
41	40	3expa 1117	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
42	26, 41	pm2.61dan 813	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152   · cmul 11157   − cmin 11489   / cdiv 11917  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ...cfz 13543  !cfa 14308  Ccbc 14337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-seq 14039  df-fac 14309  df-bc 14338

This theorem is referenced by:  bcnn  14347  bcnp1n  14349  bcp1m1  14355  bcnm1  14362  basellem3  27140  chtublem  27269  bcmax  27336  bcp1ctr  27337  aks6d1c6lem3  42153