Theorem bccmpl 14271

Description: "Complementing" its second argument doesn't change a binary coefficient. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bccmpl	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))

Proof of Theorem bccmpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 14267	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2		fznn0sub2 13589	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))
3		bcval2 14267	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾)))))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾)))))
5		elfznn0 13574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
6	5	faccld 14246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
7	6	nncnd 12190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
8	2, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
9		elfznn0 13574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	9	faccld 14246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
12	8, 11	mulcomd 11166	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = ((!‘𝐾) · (!‘(𝑁 − 𝐾))))
13		elfz3nn0 13575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		elfzelz 13478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
15		nn0cn 12447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
16		zcn 12529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
17		nncan 11423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) = 𝐾)
18	15, 16, 17	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) = 𝐾)
19	13, 14, 18	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) = 𝐾)
20	19	fveq2d 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) = (!‘𝐾))
21	20	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾))) = ((!‘𝐾) · (!‘(𝑁 − 𝐾))))
22	12, 21	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾))))
23	22	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾)))))
24	4, 23	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
25	1, 24	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
26	25	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
27		bcval3 14268	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
28		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
29		nn0z 12548	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
30		zsubcl 12569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
31	29, 30	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
32	31	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
33		fznn0sub2 13589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) ∈ (0...𝑁))
34	18	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
35	33, 34	imbitrid 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
36	35	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁)))
37	36	3impia 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))
38		bcval3 14268	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = 0)
39	28, 32, 37, 38	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = 0)
40	27, 39	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
41	40	3expa 1119	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
42	26, 41	pm2.61dan 813	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ...cfz 13461  !cfa 14235  Ccbc 14264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-seq 13964  df-fac 14236  df-bc 14265

This theorem is referenced by:  bcnn  14274  bcnp1n  14276  bcp1m1  14282  bcnm1  14289  basellem3  27046  chtublem  27174  bcmax  27241  bcp1ctr  27242  aks6d1c6lem3  42611