Theorem bccmpl 14327

Description: "Complementing" its second argument doesn't change a binary coefficient. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bccmpl	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))

Proof of Theorem bccmpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 14323	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2		fznn0sub2 13652	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))
3		bcval2 14323	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾)))))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾)))))
5		elfznn0 13637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
6	5	faccld 14302	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
7	6	nncnd 12256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
8	2, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
9		elfznn0 13637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	9	faccld 14302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
11	10	nncnd 12256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
12	8, 11	mulcomd 11256	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = ((!‘𝐾) · (!‘(𝑁 − 𝐾))))
13		elfz3nn0 13638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		elfzelz 13541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
15		nn0cn 12511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
16		zcn 12593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
17		nncan 11512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) = 𝐾)
18	15, 16, 17	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) = 𝐾)
19	13, 14, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) = 𝐾)
20	19	fveq2d 6880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) = (!‘𝐾))
21	20	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾))) = ((!‘𝐾) · (!‘(𝑁 − 𝐾))))
22	12, 21	eqtr4d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾))))
23	22	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾)))))
24	4, 23	eqtr4d 2773	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
25	1, 24	eqtr4d 2773	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
26	25	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
27		bcval3 14324	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
28		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
29		nn0z 12613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
30		zsubcl 12634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
31	29, 30	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
32	31	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
33		fznn0sub2 13652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) ∈ (0...𝑁))
34	18	eleq1d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
35	33, 34	imbitrid 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
36	35	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁)))
37	36	3impia 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))
38		bcval3 14324	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = 0)
39	28, 32, 37, 38	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = 0)
40	27, 39	eqtr4d 2773	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
41	40	3expa 1118	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
42	26, 41	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129   · cmul 11134   − cmin 11466   / cdiv 11894  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ...cfz 13524  !cfa 14291  Ccbc 14320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-seq 14020  df-fac 14292  df-bc 14321

This theorem is referenced by:  bcnn  14330  bcnp1n  14332  bcp1m1  14338  bcnm1  14345  basellem3  27045  chtublem  27174  bcmax  27241  bcp1ctr  27242  aks6d1c6lem3  42185