Theorem bccmpl 14023

Description: "Complementing" its second argument doesn't change a binary coefficient. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bccmpl	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))

Proof of Theorem bccmpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 14019	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2		fznn0sub2 13363	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))
3		bcval2 14019	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾)))))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾)))))
5		elfznn0 13349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
6	5	faccld 13998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
7	6	nncnd 11989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
8	2, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
9		elfznn0 13349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	9	faccld 13998	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
11	10	nncnd 11989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
12	8, 11	mulcomd 10996	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = ((!‘𝐾) · (!‘(𝑁 − 𝐾))))
13		elfz3nn0 13350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		elfzelz 13256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
15		nn0cn 12243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
16		zcn 12324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
17		nncan 11250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) = 𝐾)
18	15, 16, 17	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) = 𝐾)
19	13, 14, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) = 𝐾)
20	19	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) = (!‘𝐾))
21	20	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾))) = ((!‘𝐾) · (!‘(𝑁 − 𝐾))))
22	12, 21	eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) = ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾))))
23	22	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁 − 𝐾))) · (!‘(𝑁 − 𝐾)))))
24	4, 23	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
25	1, 24	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
26	25	adantl 482	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
27		bcval3 14020	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
28		simp1 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
29		nn0z 12343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
30		zsubcl 12362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
31	29, 30	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
32	31	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
33		fznn0sub2 13363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) ∈ (0...𝑁))
34	18	eleq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝑁 − 𝐾)) ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
35	33, 34	syl5ib 243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
36	35	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁)))
37	36	3impia 1116	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))
38		bcval3 14020	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = 0)
39	28, 32, 37, 38	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑁 − 𝐾)) = 0)
40	27, 39	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
41	40	3expa 1117	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))
42	26, 41	pm2.61dan 810	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 − 𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   · cmul 10876   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ...cfz 13239  !cfa 13987  Ccbc 14016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-fac 13988  df-bc 14017

This theorem is referenced by:  bcnn  14026  bcnp1n  14028  bcp1m1  14034  bcnm1  14041  basellem3  26232  chtublem  26359  bcmax  26426  bcp1ctr  26427