MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bccmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bccmpl 13888
Description: "Complementing" its second argument doesn't change a binary coefficient. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bccmpl ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁𝐾)))

Proof of Theorem bccmpl
StepHypRef Expression
1 bcval2 13884 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
2 fznn0sub2 13232 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁))
3 bcval2 13884 . . . . . 6 ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁𝐾))) · (!‘(𝑁𝐾)))))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁𝐾))) · (!‘(𝑁𝐾)))))
5 elfznn0 13218 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
65faccld 13863 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
76nncnd 11859 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
82, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
9 elfznn0 13218 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
109faccld 13863 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
1110nncnd 11859 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
128, 11mulcomd 10867 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) = ((!‘𝐾) · (!‘(𝑁𝐾))))
13 elfz3nn0 13219 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
14 elfzelz 13125 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
15 nn0cn 12113 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
16 zcn 12194 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
17 nncan 11120 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑁𝐾)) = 𝐾)
1815, 16, 17syl2an 599 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁𝐾)) = 𝐾)
1913, 14, 18syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − (𝑁𝐾)) = 𝐾)
2019fveq2d 6730 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − (𝑁𝐾))) = (!‘𝐾))
2120oveq1d 7237 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − (𝑁𝐾))) · (!‘(𝑁𝐾))) = ((!‘𝐾) · (!‘(𝑁𝐾))))
2212, 21eqtr4d 2781 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) = ((!‘(𝑁 − (𝑁𝐾))) · (!‘(𝑁𝐾))))
2322oveq2d 7238 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁𝐾))) · (!‘(𝑁𝐾)))))
244, 23eqtr4d 2781 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
251, 24eqtr4d 2781 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁𝐾)))
2625adantl 485 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁𝐾)))
27 bcval3 13885 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
28 simp1 1138 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
29 nn0z 12213 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
30 zsubcl 12232 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
3129, 30sylan 583 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
32313adant3 1134 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
33 fznn0sub2 13232 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − (𝑁𝐾)) ∈ (0...𝑁))
3418eleq1d 2823 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝑁𝐾)) ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
3533, 34syl5ib 247 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
3635con3d 155 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁)))
37363impia 1119 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁))
38 bcval3 13885 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑁𝐾)) = 0)
3928, 32, 37, 38syl3anc 1373 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑁𝐾)) = 0)
4027, 39eqtr4d 2781 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁𝐾)))
41403expa 1120 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁𝐾)))
4226, 41pm2.61dan 813 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2111  cfv 6389  (class class class)co 7222  cc 10740  0cc0 10742   · cmul 10747  cmin 11075   / cdiv 11502  0cn0 12103  cz 12189  ...cfz 13108  !cfa 13852  Ccbc 13881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5201  ax-nul 5208  ax-pow 5267  ax-pr 5331  ax-un 7532  ax-cnex 10798  ax-resscn 10799  ax-1cn 10800  ax-icn 10801  ax-addcl 10802  ax-addrcl 10803  ax-mulcl 10804  ax-mulrcl 10805  ax-mulcom 10806  ax-addass 10807  ax-mulass 10808  ax-distr 10809  ax-i2m1 10810  ax-1ne0 10811  ax-1rid 10812  ax-rnegex 10813  ax-rrecex 10814  ax-cnre 10815  ax-pre-lttri 10816  ax-pre-lttrn 10817  ax-pre-ltadd 10818  ax-pre-mulgt0 10819
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3417  df-sbc 3704  df-csb 3821  df-dif 3878  df-un 3880  df-in 3882  df-ss 3892  df-pss 3894  df-nul 4247  df-if 4449  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4829  df-iun 4915  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5145  df-tr 5171  df-id 5464  df-eprel 5469  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5518  df-we 5520  df-xp 5566  df-rel 5567  df-cnv 5568  df-co 5569  df-dm 5570  df-rn 5571  df-res 5572  df-ima 5573  df-pred 6169  df-ord 6225  df-on 6226  df-lim 6227  df-suc 6228  df-iota 6347  df-fun 6391  df-fn 6392  df-f 6393  df-f1 6394  df-fo 6395  df-f1o 6396  df-fv 6397  df-riota 7179  df-ov 7225  df-oprab 7226  df-mpo 7227  df-om 7654  df-1st 7770  df-2nd 7771  df-wrecs 8056  df-recs 8117  df-rdg 8155  df-er 8400  df-en 8636  df-dom 8637  df-sdom 8638  df-pnf 10882  df-mnf 10883  df-xr 10884  df-ltxr 10885  df-le 10886  df-sub 11077  df-neg 11078  df-nn 11844  df-n0 12104  df-z 12190  df-uz 12452  df-fz 13109  df-seq 13588  df-fac 13853  df-bc 13882
This theorem is referenced by:  bcnn  13891  bcnp1n  13893  bcp1m1  13899  bcnm1  13906  basellem3  25978  chtublem  26105  bcmax  26172  bcp1ctr  26173
  Copyright terms: Public domain W3C validator