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Theorem bcval5 14278
Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient (𝑁C𝐾) = (𝑁 Β· (𝑁 βˆ’ 1) Β· ... Β· ((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)) / 𝐾! explicitly. In this form, it is valid even for 𝑁 < 𝐾, although it is no longer valid for nonpositive 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcval5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) β†’ (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘) / (!β€˜πΎ)))

Proof of Theorem bcval5
Dummy variables π‘₯ π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcval2 14265 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑁C𝐾) = ((!β€˜π‘) / ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) Β· (!β€˜πΎ))))
21adantl 483 . . 3 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑁C𝐾) = ((!β€˜π‘) / ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) Β· (!β€˜πΎ))))
3 mulcl 11194 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
43adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
5 mulass 11198 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ Β· π‘₯) Β· 𝑦) = (π‘˜ Β· (π‘₯ Β· 𝑦)))
65adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘˜ Β· π‘₯) Β· 𝑦) = (π‘˜ Β· (π‘₯ Β· 𝑦)))
7 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ β„•)
8 elfzuz3 13498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜πΎ))
98adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜πΎ))
10 eluznn 12902 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜πΎ)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
117, 9, 10syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1211adantrr 716 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
13 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) β†’ 𝐾 ∈ β„•)
14 nnre 12219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
15 nnrp 12985 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ β„• β†’ 𝐾 ∈ ℝ+)
16 ltsubrp 13010 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) < 𝑁)
1714, 15, 16syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„•) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) < 𝑁)
1812, 13, 17syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) < 𝑁)
1912nnzd 12585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
20 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ β„• β†’ 𝐾 ∈ β„€)
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
2219, 21zsubcld 12671 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„€)
23 zltp1le 12612 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1) ≀ 𝑁))
2422, 19, 23syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1) ≀ 𝑁))
2518, 24mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1) ≀ 𝑁)
2622peano2zd 12669 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1) ∈ β„€)
27 eluz 12836 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1) ≀ 𝑁))
2826, 19, 27syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1) ≀ 𝑁))
2925, 28mpbird 257 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)))
30 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)
31 nnuz 12865 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
3230, 31eleqtrdi 2844 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
33 fvi 6968 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ ( I β€˜π‘˜) = π‘˜)
34 elfzelz 13501 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
3534zcnd 12667 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
3633, 35eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (1...𝑁) β†’ ( I β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3736adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑁)) β†’ ( I β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
384, 6, 29, 32, 37seqsplit 14001 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) β†’ (seq1( Β· , I )β€˜π‘) = ((seq1( Β· , I )β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) Β· (seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘)))
39 facnn 14235 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (!β€˜π‘) = (seq1( Β· , I )β€˜π‘))
4012, 39syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) β†’ (!β€˜π‘) = (seq1( Β· , I )β€˜π‘))
41 facnn 14235 . . . . . . . . 9 ((𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) = (seq1( Β· , I )β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)))
4230, 41syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) β†’ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) = (seq1( Β· , I )β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)))
4342oveq1d 7424 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) β†’ ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) Β· (seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘)) = ((seq1( Β· , I )β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) Β· (seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘)))
4438, 40, 433eqtr4d 2783 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•)) β†’ (!β€˜π‘) = ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) Β· (seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘)))
4544expr 458 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„• β†’ (!β€˜π‘) = ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) Β· (seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘))))
46 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
47 faccl 14243 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
48 nncn 12220 . . . . . . . . 9 ((!β€˜π‘) ∈ β„• β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„‚)
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„‚)
5049mullidd 11232 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (1 Β· (!β€˜π‘)) = (!β€˜π‘))
5111, 39syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘) = (seq1( Β· , I )β€˜π‘))
5251oveq2d 7425 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (1 Β· (!β€˜π‘)) = (1 Β· (seq1( Β· , I )β€˜π‘)))
5350, 52eqtr3d 2775 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘) = (1 Β· (seq1( Β· , I )β€˜π‘)))
54 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 ((𝑁 βˆ’ 𝐾) = 0 β†’ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) = (!β€˜0))
55 fac0 14236 . . . . . . . . 9 (!β€˜0) = 1
5654, 55eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((𝑁 βˆ’ 𝐾) = 0 β†’ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) = 1)
57 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 βˆ’ 𝐾) = 0 β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1) = (0 + 1))
58 0p1e1 12334 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
5957, 58eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 βˆ’ 𝐾) = 0 β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1) = 1)
6059seqeq1d 13972 . . . . . . . . 9 ((𝑁 βˆ’ 𝐾) = 0 β†’ seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I ) = seq1( Β· , I ))
6160fveq1d 6894 . . . . . . . 8 ((𝑁 βˆ’ 𝐾) = 0 β†’ (seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘) = (seq1( Β· , I )β€˜π‘))
6256, 61oveq12d 7427 . . . . . . 7 ((𝑁 βˆ’ 𝐾) = 0 β†’ ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) Β· (seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘)) = (1 Β· (seq1( Β· , I )β€˜π‘)))
6362eqeq2d 2744 . . . . . 6 ((𝑁 βˆ’ 𝐾) = 0 β†’ ((!β€˜π‘) = ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) Β· (seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘)) ↔ (!β€˜π‘) = (1 Β· (seq1( Β· , I )β€˜π‘))))
6453, 63syl5ibrcom 246 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) = 0 β†’ (!β€˜π‘) = ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) Β· (seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘))))
65 fznn0sub 13533 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•0)
6665adantl 483 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•0)
67 elnn0 12474 . . . . . 6 ((𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„•0 ↔ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„• ∨ (𝑁 βˆ’ 𝐾) = 0))
6866, 67sylib 217 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„• ∨ (𝑁 βˆ’ 𝐾) = 0))
6945, 64, 68mpjaod 859 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜π‘) = ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) Β· (seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘)))
7069oveq1d 7424 . . 3 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((!β€˜π‘) / ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) Β· (!β€˜πΎ))) = (((!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) Β· (seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘)) / ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) Β· (!β€˜πΎ))))
71 eqid 2733 . . . . . 6 (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)) = (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1))
72 nn0z 12583 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
73 zsubcl 12604 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„€)
7472, 20, 73syl2an 597 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„€)
7574peano2zd 12669 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1) ∈ β„€)
7675adantr 482 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1) ∈ β„€)
77 fvi 6968 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)) β†’ ( I β€˜π‘˜) = π‘˜)
78 eluzelcn 12834 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
7977, 78eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)) β†’ ( I β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8079adantl 483 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1))) β†’ ( I β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
813adantl 483 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
8271, 76, 80, 81seqf 13989 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I ):(β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1))βŸΆβ„‚)
8311, 7, 17syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) < 𝑁)
8474adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„€)
8511nnzd 12585 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8684, 85, 23syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1) ≀ 𝑁))
8783, 86mpbid 231 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1) ≀ 𝑁)
8876, 85, 27syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1) ≀ 𝑁))
8987, 88mpbird 257 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)))
9082, 89ffvelcdmd 7088 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘) ∈ β„‚)
91 elfznn0 13594 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
9291adantl 483 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
9392faccld 14244 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜πΎ) ∈ β„•)
9493nncnd 12228 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜πΎ) ∈ β„‚)
9566faccld 14244 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) ∈ β„•)
9695nncnd 12228 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) ∈ β„‚)
9793nnne0d 12262 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜πΎ) β‰  0)
9895nnne0d 12262 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) β‰  0)
9990, 94, 96, 97, 98divcan5d 12016 . . 3 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (((!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) Β· (seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘)) / ((!β€˜(𝑁 βˆ’ 𝐾)) Β· (!β€˜πΎ))) = ((seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘) / (!β€˜πΎ)))
1002, 70, 993eqtrd 2777 . 2 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘) / (!β€˜πΎ)))
101 nnnn0 12479 . . . . 5 (𝐾 ∈ β„• β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
102101ad2antlr 726 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
103 faccl 14243 . . . 4 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (!β€˜πΎ) ∈ β„•)
104 nncn 12220 . . . . 5 ((!β€˜πΎ) ∈ β„• β†’ (!β€˜πΎ) ∈ β„‚)
105 nnne0 12246 . . . . 5 ((!β€˜πΎ) ∈ β„• β†’ (!β€˜πΎ) β‰  0)
106104, 105div0d 11989 . . . 4 ((!β€˜πΎ) ∈ β„• β†’ (0 / (!β€˜πΎ)) = 0)
107102, 103, 1063syl 18 . . 3 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (0 / (!β€˜πΎ)) = 0)
1083adantl 483 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
109 fvi 6968 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)...𝑁) β†’ ( I β€˜π‘˜) = π‘˜)
110 elfzelz 13501 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
111110zcnd 12667 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
112109, 111eqeltrd 2834 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)...𝑁) β†’ ( I β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
113112adantl 483 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)...𝑁)) β†’ ( I β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
114 mul02 11392 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„‚ β†’ (0 Β· π‘˜) = 0)
115114adantl 483 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ β„‚) β†’ (0 Β· π‘˜) = 0)
116 mul01 11393 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„‚ β†’ (π‘˜ Β· 0) = 0)
117116adantl 483 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· 0) = 0)
11875adantr 482 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1) ∈ β„€)
11972ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
120 0zd 12570 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ 0 ∈ β„€)
121 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
122 nn0uz 12864 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
123102, 122eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
124 elfz5 13493 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≀ 𝑁))
125123, 119, 124syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≀ 𝑁))
126 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
127126ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
128 nnre 12219 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ β„• β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
129128ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
130127, 129subge0d 11804 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (0 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ↔ 𝐾 ≀ 𝑁))
131125, 130bitr4d 282 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 0 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝐾)))
132121, 131mtbid 324 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ Β¬ 0 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝐾))
13374adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„€)
134133zred 12666 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ ℝ)
135 0re 11216 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
136 ltnle 11293 . . . . . . . . 9 (((𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝐾)))
137134, 135, 136sylancl 587 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝐾)))
138132, 137mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑁 βˆ’ 𝐾) < 0)
139 0z 12569 . . . . . . . 8 0 ∈ β„€
140 zltp1le 12612 . . . . . . . 8 (((𝑁 βˆ’ 𝐾) ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1) ≀ 0))
141133, 139, 140sylancl 587 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1) ≀ 0))
142138, 141mpbid 231 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1) ≀ 0)
143 nn0ge0 12497 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑁)
144143ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ 0 ≀ 𝑁)
145118, 119, 120, 142, 144elfzd 13492 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ 0 ∈ (((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)...𝑁))
146 simpll 766 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
147 0cn 11206 . . . . . 6 0 ∈ β„‚
148 fvi 6968 . . . . . 6 (0 ∈ β„‚ β†’ ( I β€˜0) = 0)
149147, 148mp1i 13 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ ( I β€˜0) = 0)
150108, 113, 115, 117, 145, 146, 149seqz 14016 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘) = 0)
151150oveq1d 7424 . . 3 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘) / (!β€˜πΎ)) = (0 / (!β€˜πΎ)))
152 bcval3 14266 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑁C𝐾) = 0)
15320, 152syl3an2 1165 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„• ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑁C𝐾) = 0)
1541533expa 1119 . . 3 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑁C𝐾) = 0)
155107, 151, 1543eqtr4rd 2784 . 2 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) ∧ Β¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘) / (!β€˜πΎ)))
156100, 155pm2.61dan 812 1 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•) β†’ (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 βˆ’ 𝐾) + 1)( Β· , I )β€˜π‘) / (!β€˜πΎ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149   I cid 5574  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  ...cfz 13484  seqcseq 13966  !cfa 14233  Ccbc 14262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-fac 14234  df-bc 14263
This theorem is referenced by:  bcn2  14279
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