Theorem bcval5 14325

Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient (𝑁C𝐾) = (𝑁 · (𝑁 − 1) · ... · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / 𝐾! explicitly. In this form, it is valid even for 𝑁 < 𝐾, although it is no longer valid for nonpositive 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcval5	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Proof of Theorem bcval5

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 14312	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2	1	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
3		mulcl 11151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
4	3	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
5		mulass 11155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
6	5	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
7		simplr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ)
8		elfzuz3 13520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
9	8	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
10		eluznn 12913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	7, 9, 10	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11	adantrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
13		simplr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℕ)
14		nnre 12211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
15		nnrp 12999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ+)
16		ltsubrp 13025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
17	14, 15, 16	syl2an 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
18	12, 13, 17	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
19	12	nnzd 12588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		nnz 12583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
21	20	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	19, 21	zsubcld 12676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
23		zltp1le 12615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
24	22, 19, 23	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((𝑁 − 𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
25	18, 24	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
26	22	peano2zd 12674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
27		eluz 12847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
28	26, 19, 27	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
29	25, 28	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
30		simprr 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
31		nnuz 12872	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
32	30, 31	eleqtrdi 2871	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘1))
33		fvi 6938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
34		elfzelz 13523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
35	34	zcnd 12672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
36	33, 35	eqeltrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
37	36	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
38	4, 6, 29, 32, 37	seqsplit 14042	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (seq1( · , I )‘𝑁) = ((seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
39		facnn 14282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
40	12, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
41		facnn 14282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)))
42	30, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)))
43	42	oveq1d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = ((seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
44	38, 40, 43	3eqtr4d 2806	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
45	44	expr 460	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
46		simpll 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47		faccl 14290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
48		nncn 12212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
49	46, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
50	49	mullidd 11194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
51	11, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
52	51	oveq2d 7407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
53	50, 52	eqtr3d 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
54		fveq2 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (!‘0))
55		fac0 14283	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
56	54, 55	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = 1)
57		oveq1 7398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) = (0 + 1))
58		0p1e1 12332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
59	57, 58	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) = 1)
60	59	seqeq1d 14014	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I ) = seq1( · , I ))
61	60	fveq1d 6864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
62	56, 61	oveq12d 7409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
63	62	eqeq2d 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) ↔ (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁))))
64	53, 63	syl5ibrcom 249	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
65		fznn0sub 13555	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
66	65	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
67		elnn0 12477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝐾) = 0))
68	66, 67	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝐾) = 0))
69	45, 64, 68	mpjaod 871	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
70	69	oveq1d 7406	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
71		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))
72		nn0z 12586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
73		zsubcl 12607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
74	72, 20, 73	syl2an 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
75	74	peano2zd 12674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
76	75	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
77		fvi 6938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
78		eluzelcn 12845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
79	77, 78	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
80	79	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
81	3	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
82	71, 76, 80, 81	seqf 14030	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I ):(ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))⟶ℂ)
83	11, 7, 17	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
84	74	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
85	11	nnzd 12588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
86	84, 85, 23	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
87	83, 86	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
88	76, 85, 27	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
89	87, 88	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
90	82, 89	ffvelcdmd 7061	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) ∈ ℂ)
91		elfznn0 13619	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
92	91	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
93	92	faccld 14291	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
94	93	nncnd 12220	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
95	66	faccld 14291	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
96	95	nncnd 12220	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
97	93	nnne0d 12257	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ≠ 0)
98	95	nnne0d 12257	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ≠ 0)
99	90, 94, 96, 97, 98	divcan5d 11987	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
100	2, 70, 99	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
101		nnnn0 12482	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
102	101	ad2antlr 737	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
103		faccl 14290	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
104		nncn 12212	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
105		nnne0 12241	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝐾) ≠ 0)
106	104, 105	div0d 11960	. . . 4 ⊢ ((!‘𝐾) ∈ ℕ → (0 / (!‘𝐾)) = 0)
107	102, 103, 106	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 / (!‘𝐾)) = 0)
108	3	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
109		fvi 6938	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
110		elfzelz 13523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
111	110	zcnd 12672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
112	109, 111	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
113	112	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
114		mul02 11355	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (0 · 𝑘) = 0)
115	114	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 · 𝑘) = 0)
116		mul01 11356	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 · 0) = 0)
117	116	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 · 0) = 0)
118	75	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
119	72	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
120		0zd 12574	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
121		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
122		nn0uz 12871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
123	102, 122	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
124		elfz5 13515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
125	123, 119, 124	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
126		nn0re 12484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
127	126	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
128		nnre 12211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
129	128	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
130	127, 129	subge0d 11771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
131	125, 130	bitr4d 284	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
132	121, 131	mtbid 326	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾))
133	74	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
134	133	zred 12671	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℝ)
135		0re 11177	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
136		ltnle 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
137	134, 135, 136	sylancl 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
138	132, 137	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 0)
139		0z 12573	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
140		zltp1le 12615	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0))
141	133, 139, 140	sylancl 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0))
142	138, 141	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0)
143		nn0ge0 12500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
144	143	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝑁)
145	118, 119, 120, 142, 144	elfzd 13514	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁))
146		simpll 776	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
147		0cn 11165	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
148		fvi 6938	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
149	147, 148	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ( I ‘0) = 0)
150	108, 113, 115, 117, 145, 146, 149	seqz 14057	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = 0)
151	150	oveq1d 7406	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)) = (0 / (!‘𝐾)))
152		bcval3 14313	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
153	20, 152	syl3an2 1176	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
154	153	3expa 1130	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
155	107, 151, 154	3eqtr4rd 2807	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
156	100, 155	pm2.61dan 822	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097   I cid 5537  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   · cmul 11072   < clt 11210   ≤ cle 11211   − cmin 11408   / cdiv 11838  ℕcn 12204  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12833  ℝ⁺crp 12987  ...cfz 13506  seqcseq 14008  !cfa 14280  Ccbc 14309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-seq 14009  df-fac 14281  df-bc 14310

This theorem is referenced by:  bcn2  14326