Theorem bcval5 13496

Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient (𝑁C𝐾) = (𝑁 · (𝑁 − 1) · ... · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / 𝐾! explicitly. In this form, it is valid even for 𝑁 < 𝐾, although it is no longer valid for nonpositive 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcval5	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Proof of Theorem bcval5

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 13483	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2	1	adantl 474	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
3		mulcl 10421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
4	3	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
5		mulass 10425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
6	5	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
7		simplr 756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ)
8		elfzuz3 12724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
9	8	adantl 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
10		eluznn 12135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	7, 9, 10	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11	adantrr 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
13		simplr 756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℕ)
14		nnre 11449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
15		nnrp 12220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ+)
16		ltsubrp 12245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
17	14, 15, 16	syl2an 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
18	12, 13, 17	syl2anc 576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
19	12	nnzd 11902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		nnz 11820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
21	20	ad2antlr 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	19, 21	zsubcld 11908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
23		zltp1le 11848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
24	22, 19, 23	syl2anc 576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((𝑁 − 𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
25	18, 24	mpbid 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
26	22	peano2zd 11906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
27		eluz 12075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
28	26, 19, 27	syl2anc 576	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
29	25, 28	mpbird 249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
30		simprr 760	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
31		nnuz 12098	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
32	30, 31	syl6eleq 2876	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘1))
33		fvi 6570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
34		elfzelz 12727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
35	34	zcnd 11904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
36	33, 35	eqeltrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
37	36	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
38	4, 6, 29, 32, 37	seqsplit 13221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (seq1( · , I )‘𝑁) = ((seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
39		facnn 13453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
40	12, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
41		facnn 13453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)))
42	30, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)))
43	42	oveq1d 6993	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = ((seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
44	38, 40, 43	3eqtr4d 2824	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
45	44	expr 449	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
46		simpll 754	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47		faccl 13461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
48		nncn 11450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
49	46, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
50	49	mulid2d 10460	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
51	11, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
52	51	oveq2d 6994	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
53	50, 52	eqtr3d 2816	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
54		fveq2 6501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (!‘0))
55		fac0 13454	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
56	54, 55	syl6eq 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = 1)
57		oveq1 6985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) = (0 + 1))
58		0p1e1 11572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
59	57, 58	syl6eq 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) = 1)
60	59	seqeq1d 13193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I ) = seq1( · , I ))
61	60	fveq1d 6503	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
62	56, 61	oveq12d 6996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
63	62	eqeq2d 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) ↔ (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁))))
64	53, 63	syl5ibrcom 239	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
65		fznn0sub 12758	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
66	65	adantl 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
67		elnn0 11712	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝐾) = 0))
68	66, 67	sylib 210	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝐾) = 0))
69	45, 64, 68	mpjaod 846	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
70	69	oveq1d 6993	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
71		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))
72		nn0z 11821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
73		zsubcl 11840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
74	72, 20, 73	syl2an 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
75	74	peano2zd 11906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
76	75	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
77		fvi 6570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
78		eluzelcn 12073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
79	77, 78	eqeltrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
80	79	adantl 474	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
81	3	adantl 474	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
82	71, 76, 80, 81	seqf 13209	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I ):(ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))⟶ℂ)
83	11, 7, 17	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
84	74	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
85	11	nnzd 11902	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
86	84, 85, 23	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
87	83, 86	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
88	76, 85, 27	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
89	87, 88	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
90	82, 89	ffvelrnd 6679	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) ∈ ℂ)
91		elfznn0 12819	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
92	91	adantl 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
93	92	faccld 13462	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
94	93	nncnd 11459	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
95	66	faccld 13462	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
96	95	nncnd 11459	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
97	93	nnne0d 11493	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ≠ 0)
98	95	nnne0d 11493	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ≠ 0)
99	90, 94, 96, 97, 98	divcan5d 11245	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
100	2, 70, 99	3eqtrd 2818	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
101		nnnn0 11718	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
102	101	ad2antlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
103		faccl 13461	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
104		nncn 11450	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
105		nnne0 11477	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝐾) ≠ 0)
106	104, 105	div0d 11218	. . . 4 ⊢ ((!‘𝐾) ∈ ℕ → (0 / (!‘𝐾)) = 0)
107	102, 103, 106	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 / (!‘𝐾)) = 0)
108	3	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
109		fvi 6570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
110		elfzelz 12727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
111	110	zcnd 11904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
112	109, 111	eqeltrd 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
113	112	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
114		mul02 10620	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (0 · 𝑘) = 0)
115	114	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 · 𝑘) = 0)
116		mul01 10621	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 · 0) = 0)
117	116	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 · 0) = 0)
118		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
119		nn0uz 12097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
120	102, 119	syl6eleq 2876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
121	72	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
122		elfz5 12719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
123	120, 121, 122	syl2anc 576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
124		nn0re 11720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
125	124	ad2antrr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
126		nnre 11449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
127	126	ad2antlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
128	125, 127	subge0d 11033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
129	123, 128	bitr4d 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
130	118, 129	mtbid 316	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾))
131	74	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
132	131	zred 11903	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℝ)
133		0re 10443	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
134		ltnle 10522	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
135	132, 133, 134	sylancl 577	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
136	130, 135	mpbird 249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 0)
137		0z 11807	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
138		zltp1le 11848	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0))
139	131, 137, 138	sylancl 577	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0))
140	136, 139	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0)
141		nn0ge0 11737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
142	141	ad2antrr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝑁)
143		0zd 11808	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
144	75	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
145		elfz 12717	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
146	143, 144, 121, 145	syl3anc 1351	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
147	140, 142, 146	mpbir2and 700	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁))
148		simpll 754	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
149		0cn 10433	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
150		fvi 6570	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
151	149, 150	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ( I ‘0) = 0)
152	108, 113, 115, 117, 147, 148, 151	seqz 13236	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = 0)
153	152	oveq1d 6993	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)) = (0 / (!‘𝐾)))
154		bcval3 13484	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
155	20, 154	syl3an2 1144	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
156	155	3expa 1098	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
157	107, 153, 156	3eqtr4rd 2825	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
158	100, 157	pm2.61dan 800	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 833   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4930   I cid 5312  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978  ℂcc 10335  ℝcr 10336  0cc0 10337  1c1 10338   + caddc 10340   · cmul 10342   < clt 10476   ≤ cle 10477   − cmin 10672   / cdiv 11100  ℕcn 11441  ℕ₀cn0 11710  ℤcz 11796  ℤ_≥cuz 12061  ℝ⁺crp 12207  ...cfz 12711  seqcseq 13187  !cfa 13451  Ccbc 13480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-fz 12712  df-seq 13188  df-fac 13452  df-bc 13481

This theorem is referenced by:  bcn2  13497