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Theorem bcval5 14354
Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient (𝑁C𝐾) = (𝑁 · (𝑁 − 1) · ... · ((𝑁𝐾) + 1)) / 𝐾! explicitly. In this form, it is valid even for 𝑁 < 𝐾, although it is no longer valid for nonpositive 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcval5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Proof of Theorem bcval5
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcval2 14341 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
21adantl 481 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
3 mulcl 11237 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
43adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
5 mulass 11241 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
65adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
7 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ)
8 elfzuz3 13558 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
98adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
10 eluznn 12958 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ)
117, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
1211adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
13 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℕ)
14 nnre 12271 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
15 nnrp 13044 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ+)
16 ltsubrp 13069 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+) → (𝑁𝐾) < 𝑁)
1714, 15, 16syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁𝐾) < 𝑁)
1812, 13, 17syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁𝐾) < 𝑁)
1912nnzd 12638 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 nnz 12632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
2120ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2219, 21zsubcld 12725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
23 zltp1le 12665 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
2422, 19, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → ((𝑁𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
2518, 24mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
2622peano2zd 12723 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℤ)
27 eluz 12890 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
2826, 19, 27syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
2925, 28mpbird 257 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1)))
30 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ)
31 nnuz 12919 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
3230, 31eleqtrdi 2849 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁𝐾) ∈ (ℤ‘1))
33 fvi 6985 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
34 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
3534zcnd 12721 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
3633, 35eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
3736adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
384, 6, 29, 32, 37seqsplit 14073 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → (seq1( · , I )‘𝑁) = ((seq1( · , I )‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
39 facnn 14311 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
4012, 39syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
41 facnn 14311 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ → (!‘(𝑁𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁𝐾)))
4230, 41syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘(𝑁𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁𝐾)))
4342oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = ((seq1( · , I )‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
4438, 40, 433eqtr4d 2785 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
4544expr 456 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
46 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47 faccl 14319 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
48 nncn 12272 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
5049mullidd 11277 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
5111, 39syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
5251oveq2d 7447 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
5350, 52eqtr3d 2777 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
54 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) = 0 → (!‘(𝑁𝐾)) = (!‘0))
55 fac0 14312 . . . . . . . . 9 (!‘0) = 1
5654, 55eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐾) = 0 → (!‘(𝑁𝐾)) = 1)
57 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝐾) = 0 → ((𝑁𝐾) + 1) = (0 + 1))
58 0p1e1 12386 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
5957, 58eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐾) = 0 → ((𝑁𝐾) + 1) = 1)
6059seqeq1d 14045 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) = 0 → seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I ) = seq1( · , I ))
6160fveq1d 6909 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐾) = 0 → (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
6256, 61oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝑁𝐾) = 0 → ((!‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
6362eqeq2d 2746 . . . . . 6 ((𝑁𝐾) = 0 → ((!‘𝑁) = ((!‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) ↔ (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁))))
6453, 63syl5ibrcom 247 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) = 0 → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
65 fznn0sub 13593 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
6665adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
67 elnn0 12526 . . . . . 6 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁𝐾) = 0))
6866, 67sylib 218 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁𝐾) = 0))
6945, 64, 68mpjaod 860 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
7069oveq1d 7446 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
71 eqid 2735 . . . . . 6 (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1)) = (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1))
72 nn0z 12636 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
73 zsubcl 12657 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
7472, 20, 73syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
7574peano2zd 12723 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℤ)
7675adantr 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℤ)
77 fvi 6985 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1)) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
78 eluzelcn 12888 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
7977, 78eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
8079adantl 481 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1))) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
813adantl 481 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
8271, 76, 80, 81seqf 14061 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I ):(ℤ‘((𝑁𝐾) + 1))⟶ℂ)
8311, 7, 17syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐾) < 𝑁)
8474adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
8511nnzd 12638 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8684, 85, 23syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
8783, 86mpbid 232 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
8876, 85, 27syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
8987, 88mpbird 257 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1)))
9082, 89ffvelcdmd 7105 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) ∈ ℂ)
91 elfznn0 13657 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9291adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9392faccld 14320 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
9493nncnd 12280 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
9566faccld 14320 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
9695nncnd 12280 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
9793nnne0d 12314 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ≠ 0)
9895nnne0d 12314 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁𝐾)) ≠ 0)
9990, 94, 96, 97, 98divcan5d 12067 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (((!‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
1002, 70, 993eqtrd 2779 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
101 nnnn0 12531 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
102101ad2antlr 727 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
103 faccl 14319 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
104 nncn 12272 . . . . 5 ((!‘𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
105 nnne0 12298 . . . . 5 ((!‘𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝐾) ≠ 0)
106104, 105div0d 12040 . . . 4 ((!‘𝐾) ∈ ℕ → (0 / (!‘𝐾)) = 0)
107102, 103, 1063syl 18 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 / (!‘𝐾)) = 0)
1083adantl 481 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
109 fvi 6985 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (((𝑁𝐾) + 1)...𝑁) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
110 elfzelz 13561 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (((𝑁𝐾) + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
111110zcnd 12721 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (((𝑁𝐾) + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
112109, 111eqeltrd 2839 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (((𝑁𝐾) + 1)...𝑁) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
113112adantl 481 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑁𝐾) + 1)...𝑁)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
114 mul02 11437 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℂ → (0 · 𝑘) = 0)
115114adantl 481 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 · 𝑘) = 0)
116 mul01 11438 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 · 0) = 0)
117116adantl 481 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 · 0) = 0)
11875adantr 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℤ)
11972ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
120 0zd 12623 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
121 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
122 nn0uz 12918 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
123102, 122eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ (ℤ‘0))
124 elfz5 13553 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
125123, 119, 124syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
126 nn0re 12533 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
127126ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
128 nnre 12271 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
129128ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
130127, 129subge0d 11851 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 ≤ (𝑁𝐾) ↔ 𝐾𝑁))
131125, 130bitr4d 282 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 0 ≤ (𝑁𝐾)))
132121, 131mtbid 324 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 0 ≤ (𝑁𝐾))
13374adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
134133zred 12720 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℝ)
135 0re 11261 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
136 ltnle 11338 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑁𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁𝐾)))
137134, 135, 136sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁𝐾)))
138132, 137mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐾) < 0)
139 0z 12622 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
140 zltp1le 12665 . . . . . . . 8 (((𝑁𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐾) < 0 ↔ ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 0))
141133, 139, 140sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) < 0 ↔ ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 0))
142138, 141mpbid 232 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 0)
143 nn0ge0 12549 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
144143ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝑁)
145118, 119, 120, 142, 144elfzd 13552 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (((𝑁𝐾) + 1)...𝑁))
146 simpll 767 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
147 0cn 11251 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
148 fvi 6985 . . . . . 6 (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
149147, 148mp1i 13 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ( I ‘0) = 0)
150108, 113, 115, 117, 145, 146, 149seqz 14088 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = 0)
151150oveq1d 7446 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)) = (0 / (!‘𝐾)))
152 bcval3 14342 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
15320, 152syl3an2 1163 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
1541533expa 1117 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
155107, 151, 1543eqtr4rd 2786 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
156100, 155pm2.61dan 813 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148   I cid 5582  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032  ...cfz 13544  seqcseq 14039  !cfa 14309  Ccbc 14338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-fac 14310  df-bc 14339
This theorem is referenced by:  bcn2  14355
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