Theorem bcval5 14367

Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient (𝑁C𝐾) = (𝑁 · (𝑁 − 1) · ... · ((𝑁 − 𝐾) + 1)) / 𝐾! explicitly. In this form, it is valid even for 𝑁 < 𝐾, although it is no longer valid for nonpositive 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcval5	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Proof of Theorem bcval5

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 14354	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
3		mulcl 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
4	3	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
5		mulass 11272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
6	5	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
7		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ)
8		elfzuz3 13581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
10		eluznn 12983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	7, 9, 10	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11	adantrr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
13		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℕ)
14		nnre 12300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
15		nnrp 13068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ+)
16		ltsubrp 13093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
17	14, 15, 16	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
18	12, 13, 17	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
19	12	nnzd 12666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
20		nnz 12660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
21	20	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	19, 21	zsubcld 12752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
23		zltp1le 12693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
24	22, 19, 23	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((𝑁 − 𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
25	18, 24	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
26	22	peano2zd 12750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
27		eluz 12917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
28	26, 19, 27	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
29	25, 28	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
30		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)
31		nnuz 12946	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
32	30, 31	eleqtrdi 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘1))
33		fvi 6998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
34		elfzelz 13584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
35	34	zcnd 12748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
36	33, 35	eqeltrd 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
38	4, 6, 29, 32, 37	seqsplit 14086	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (seq1( · , I )‘𝑁) = ((seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
39		facnn 14324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
40	12, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
41		facnn 14324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)))
42	30, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)))
43	42	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = ((seq1( · , I )‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
44	38, 40, 43	3eqtr4d 2790	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
45	44	expr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
46		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47		faccl 14332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
48		nncn 12301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
49	46, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
50	49	mullidd 11308	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
51	11, 39	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
52	51	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
53	50, 52	eqtr3d 2782	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
54		fveq2 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = (!‘0))
55		fac0 14325	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
56	54, 55	eqtrdi 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘(𝑁 − 𝐾)) = 1)
57		oveq1 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) = (0 + 1))
58		0p1e1 12415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
59	57, 58	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((𝑁 − 𝐾) + 1) = 1)
60	59	seqeq1d 14058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I ) = seq1( · , I ))
61	60	fveq1d 6922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
62	56, 61	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
63	62	eqeq2d 2751	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) = 0 → ((!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) ↔ (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁))))
64	53, 63	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) = 0 → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
65		fznn0sub 13616	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
66	65	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
67		elnn0 12555	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝐾) = 0))
68	66, 67	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝐾) = 0))
69	45, 64, 68	mpjaod 859	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
70	69	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
71		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) = (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))
72		nn0z 12664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
73		zsubcl 12685	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
74	72, 20, 73	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
75	74	peano2zd 12750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
76	75	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
77		fvi 6998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
78		eluzelcn 12915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
79	77, 78	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
80	79	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
81	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
82	71, 76, 80, 81	seqf 14074	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I ):(ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1))⟶ℂ)
83	11, 7, 17	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 𝑁)
84	74	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
85	11	nnzd 12666	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
86	84, 85, 23	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
87	83, 86	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
88	76, 85, 27	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
89	87, 88	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 𝐾) + 1)))
90	82, 89	ffvelcdmd 7119	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) ∈ ℂ)
91		elfznn0 13677	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
92	91	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
93	92	faccld 14333	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
94	93	nncnd 12309	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
95	66	faccld 14333	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
96	95	nncnd 12309	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
97	93	nnne0d 12343	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ≠ 0)
98	95	nnne0d 12343	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ≠ 0)
99	90, 94, 96, 97, 98	divcan5d 12096	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
100	2, 70, 99	3eqtrd 2784	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
101		nnnn0 12560	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
102	101	ad2antlr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
103		faccl 14332	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
104		nncn 12301	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
105		nnne0 12327	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝐾) ≠ 0)
106	104, 105	div0d 12069	. . . 4 ⊢ ((!‘𝐾) ∈ ℕ → (0 / (!‘𝐾)) = 0)
107	102, 103, 106	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 / (!‘𝐾)) = 0)
108	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
109		fvi 6998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
110		elfzelz 13584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
111	110	zcnd 12748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
112	109, 111	eqeltrd 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
113	112	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
114		mul02 11468	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (0 · 𝑘) = 0)
115	114	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 · 𝑘) = 0)
116		mul01 11469	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 · 0) = 0)
117	116	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 · 0) = 0)
118	75	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
119	72	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
120		0zd 12651	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
121		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
122		nn0uz 12945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
123	102, 122	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘0))
124		elfz5 13576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
125	123, 119, 124	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
126		nn0re 12562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
127	126	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
128		nnre 12300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
129	128	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
130	127, 129	subge0d 11880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))
131	125, 130	bitr4d 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
132	121, 131	mtbid 324	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾))
133	74	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
134	133	zred 12747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℝ)
135		0re 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
136		ltnle 11369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
137	134, 135, 136	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
138	132, 137	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) < 0)
139		0z 12650	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
140		zltp1le 12693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0))
141	133, 139, 140	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) < 0 ↔ ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0))
142	138, 141	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐾) + 1) ≤ 0)
143		nn0ge0 12578	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
144	143	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝑁)
145	118, 119, 120, 142, 144	elfzd 13575	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (((𝑁 − 𝐾) + 1)...𝑁))
146		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
147		0cn 11282	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
148		fvi 6998	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
149	147, 148	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ( I ‘0) = 0)
150	108, 113, 115, 117, 145, 146, 149	seqz 14101	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = 0)
151	150	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)) = (0 / (!‘𝐾)))
152		bcval3 14355	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
153	20, 152	syl3an2 1164	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
154	153	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
155	107, 151, 154	3eqtr4rd 2791	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
156	100, 155	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁 − 𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166   I cid 5592  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057  ...cfz 13567  seqcseq 14052  !cfa 14322  Ccbc 14351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-seq 14053  df-fac 14323  df-bc 14352

This theorem is referenced by:  bcn2  14368