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Theorem bcval5 14358
Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient (𝑁C𝐾) = (𝑁 · (𝑁 − 1) · ... · ((𝑁𝐾) + 1)) / 𝐾! explicitly. In this form, it is valid even for 𝑁 < 𝐾, although it is no longer valid for nonpositive 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcval5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))

Proof of Theorem bcval5
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bcval2 14345 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
21adantl 481 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
3 mulcl 11240 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
43adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
5 mulass 11244 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
65adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
7 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ)
8 elfzuz3 13562 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
98adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
10 eluznn 12961 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ)
117, 9, 10syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
1211adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
13 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℕ)
14 nnre 12274 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
15 nnrp 13047 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ+)
16 ltsubrp 13072 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+) → (𝑁𝐾) < 𝑁)
1714, 15, 16syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁𝐾) < 𝑁)
1812, 13, 17syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁𝐾) < 𝑁)
1912nnzd 12642 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 nnz 12636 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
2120ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2219, 21zsubcld 12729 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
23 zltp1le 12669 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
2422, 19, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → ((𝑁𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
2518, 24mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
2622peano2zd 12727 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℤ)
27 eluz 12893 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
2826, 19, 27syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
2925, 28mpbird 257 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1)))
30 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ)
31 nnuz 12922 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
3230, 31eleqtrdi 2850 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → (𝑁𝐾) ∈ (ℤ‘1))
33 fvi 6984 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
34 elfzelz 13565 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
3534zcnd 12725 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
3633, 35eqeltrd 2840 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
3736adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
384, 6, 29, 32, 37seqsplit 14077 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → (seq1( · , I )‘𝑁) = ((seq1( · , I )‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
39 facnn 14315 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
4012, 39syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
41 facnn 14315 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ → (!‘(𝑁𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁𝐾)))
4230, 41syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘(𝑁𝐾)) = (seq1( · , I )‘(𝑁𝐾)))
4342oveq1d 7447 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = ((seq1( · , I )‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
4438, 40, 433eqtr4d 2786 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℕ)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
4544expr 456 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
46 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47 faccl 14323 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
48 nncn 12275 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
4946, 47, 483syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
5049mullidd 11280 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
5111, 39syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
5251oveq2d 7448 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (1 · (!‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
5350, 52eqtr3d 2778 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
54 fveq2 6905 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) = 0 → (!‘(𝑁𝐾)) = (!‘0))
55 fac0 14316 . . . . . . . . 9 (!‘0) = 1
5654, 55eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐾) = 0 → (!‘(𝑁𝐾)) = 1)
57 oveq1 7439 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝐾) = 0 → ((𝑁𝐾) + 1) = (0 + 1))
58 0p1e1 12389 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
5957, 58eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐾) = 0 → ((𝑁𝐾) + 1) = 1)
6059seqeq1d 14049 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) = 0 → seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I ) = seq1( · , I ))
6160fveq1d 6907 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐾) = 0 → (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = (seq1( · , I )‘𝑁))
6256, 61oveq12d 7450 . . . . . . 7 ((𝑁𝐾) = 0 → ((!‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁)))
6362eqeq2d 2747 . . . . . 6 ((𝑁𝐾) = 0 → ((!‘𝑁) = ((!‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) ↔ (!‘𝑁) = (1 · (seq1( · , I )‘𝑁))))
6453, 63syl5ibrcom 247 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) = 0 → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁))))
65 fznn0sub 13597 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
6665adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
67 elnn0 12530 . . . . . 6 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁𝐾) = 0))
6866, 67sylib 218 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) ∈ ℕ ∨ (𝑁𝐾) = 0))
6945, 64, 68mpjaod 860 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)))
7069oveq1d 7447 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = (((!‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
71 eqid 2736 . . . . . 6 (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1)) = (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1))
72 nn0z 12640 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
73 zsubcl 12661 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
7472, 20, 73syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
7574peano2zd 12727 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℤ)
7675adantr 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℤ)
77 fvi 6984 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1)) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
78 eluzelcn 12891 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
7977, 78eqeltrd 2840 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
8079adantl 481 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1))) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
813adantl 481 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
8271, 76, 80, 81seqf 14065 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I ):(ℤ‘((𝑁𝐾) + 1))⟶ℂ)
8311, 7, 17syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐾) < 𝑁)
8474adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
8511nnzd 12642 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8684, 85, 23syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) < 𝑁 ↔ ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
8783, 86mpbid 232 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 𝑁)
8876, 85, 27syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1)) ↔ ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 𝑁))
8987, 88mpbird 257 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑁𝐾) + 1)))
9082, 89ffvelcdmd 7104 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) ∈ ℂ)
91 elfznn0 13661 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9291adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9392faccld 14324 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
9493nncnd 12283 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
9566faccld 14324 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
9695nncnd 12283 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
9793nnne0d 12317 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ≠ 0)
9895nnne0d 12317 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁𝐾)) ≠ 0)
9990, 94, 96, 97, 98divcan5d 12070 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (((!‘(𝑁𝐾)) · (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁)) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
1002, 70, 993eqtrd 2780 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
101 nnnn0 12535 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
102101ad2antlr 727 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
103 faccl 14323 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
104 nncn 12275 . . . . 5 ((!‘𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
105 nnne0 12301 . . . . 5 ((!‘𝐾) ∈ ℕ → (!‘𝐾) ≠ 0)
106104, 105div0d 12043 . . . 4 ((!‘𝐾) ∈ ℕ → (0 / (!‘𝐾)) = 0)
107102, 103, 1063syl 18 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 / (!‘𝐾)) = 0)
1083adantl 481 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
109 fvi 6984 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (((𝑁𝐾) + 1)...𝑁) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
110 elfzelz 13565 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (((𝑁𝐾) + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
111110zcnd 12725 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (((𝑁𝐾) + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
112109, 111eqeltrd 2840 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (((𝑁𝐾) + 1)...𝑁) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
113112adantl 481 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (((𝑁𝐾) + 1)...𝑁)) → ( I ‘𝑘) ∈ ℂ)
114 mul02 11440 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℂ → (0 · 𝑘) = 0)
115114adantl 481 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (0 · 𝑘) = 0)
116 mul01 11441 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 · 0) = 0)
117116adantl 481 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 · 0) = 0)
11875adantr 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℤ)
11972ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
120 0zd 12627 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
121 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
122 nn0uz 12921 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
123102, 122eleqtrdi 2850 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ (ℤ‘0))
124 elfz5 13557 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
125123, 119, 124syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾𝑁))
126 nn0re 12537 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
127126ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
128 nnre 12274 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
129128ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
130127, 129subge0d 11854 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (0 ≤ (𝑁𝐾) ↔ 𝐾𝑁))
131125, 130bitr4d 282 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ 0 ≤ (𝑁𝐾)))
132121, 131mtbid 324 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 0 ≤ (𝑁𝐾))
13374adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
134133zred 12724 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℝ)
135 0re 11264 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
136 ltnle 11341 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑁𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁𝐾)))
137134, 135, 136sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁𝐾)))
138132, 137mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐾) < 0)
139 0z 12626 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
140 zltp1le 12669 . . . . . . . 8 (((𝑁𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐾) < 0 ↔ ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 0))
141133, 139, 140sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) < 0 ↔ ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 0))
142138, 141mpbid 232 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐾) + 1) ≤ 0)
143 nn0ge0 12553 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
144143ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝑁)
145118, 119, 120, 142, 144elfzd 13556 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (((𝑁𝐾) + 1)...𝑁))
146 simpll 766 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
147 0cn 11254 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
148 fvi 6984 . . . . . 6 (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
149147, 148mp1i 13 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ( I ‘0) = 0)
150108, 113, 115, 117, 145, 146, 149seqz 14092 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) = 0)
151150oveq1d 7447 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)) = (0 / (!‘𝐾)))
152 bcval3 14346 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
15320, 152syl3an2 1164 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
1541533expa 1118 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
155107, 151, 1543eqtr4rd 2787 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
156100, 155pm2.61dan 812 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = ((seq((𝑁𝐾) + 1)( · , I )‘𝑁) / (!‘𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142   I cid 5576  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493   / cdiv 11921  cn 12267  0cn0 12528  cz 12615  cuz 12879  +crp 13035  ...cfz 13548  seqcseq 14043  !cfa 14313  Ccbc 14342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-seq 14044  df-fac 14314  df-bc 14343
This theorem is referenced by:  bcn2  14359
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