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Theorem bcpasc 14338
Description: Pascal's rule for the binomial coefficient, generalized to all integers 𝐾. Equation 2 of [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 13-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcpasc ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))

Proof of Theorem bcpasc
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12564 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2 elfzp12 13634 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
3 nn0uz 12916 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
42, 3eleq2s 2844 . . . . . 6 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))))
6 1p0e1 12388 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 1
7 bcn0 14327 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C0) = 1)
8 0z 12621 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
9 1z 12644 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
10 zsubcl 12656 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (0 − 1) ∈ ℤ)
118, 9, 10mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (0 − 1) ∈ ℤ
12 0re 11266 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
13 ltm1 12107 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℝ → (0 − 1) < 0)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (0 − 1) < 0
1514orci 863 . . . . . . . . . 10 ((0 − 1) < 0 ∨ 𝑁 < (0 − 1))
16 bcval4 14324 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (0 − 1) ∈ ℤ ∧ ((0 − 1) < 0 ∨ 𝑁 < (0 − 1))) → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
1711, 15, 16mp3an23 1450 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C(0 − 1)) = 0)
187, 17oveq12d 7442 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁C0) + (𝑁C(0 − 1))) = (1 + 0))
19 bcn0 14327 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C0) = 1)
201, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C0) = 1)
216, 18, 203eqtr4a 2792 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁C0) + (𝑁C(0 − 1))) = ((𝑁 + 1)C0))
22 oveq2 7432 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → (𝑁C𝐾) = (𝑁C0))
23 oveq1 7431 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = 0 → (𝐾 − 1) = (0 − 1))
2423oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 0 → (𝑁C(𝐾 − 1)) = (𝑁C(0 − 1)))
2522, 24oveq12d 7442 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁C0) + (𝑁C(0 − 1))))
26 oveq2 7432 . . . . . . . 8 (𝐾 = 0 → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁 + 1)C0))
2725, 26eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (𝐾 = 0 → (((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾) ↔ ((𝑁C0) + (𝑁C(0 − 1))) = ((𝑁 + 1)C0)))
2821, 27syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 = 0 → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾)))
29 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)))
30 0p1e1 12386 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
3130oveq1i 7434 . . . . . . . . 9 ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) = (1...(𝑁 + 1))
3229, 31eleqtrdi 2836 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
33 nn0p1nn 12563 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
34 nnuz 12917 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
3533, 34eleqtrdi 2836 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1))
36 fzm1 13635 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1) → (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))))
3736biimpa 475 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1)))
3835, 37sylan 578 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1)))
39 nn0cn 12534 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
40 ax-1cn 11216 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
41 pncan 11516 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4239, 40, 41sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4342oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...((𝑁 + 1) − 1)) = (1...𝑁))
4443eleq2d 2812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ↔ 𝐾 ∈ (1...𝑁)))
4544biimpa 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))) → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
46 fz1ssfz0 13651 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
4746sseli 3975 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
48 bcp1n 14333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
50 bcrpcl 14325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
5147, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
5251rpcnd 13072 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
53 elfzuz2 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
5453, 34eleqtrrdi 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
5554peano2nnd 12281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
5655nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5754nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
58 1cnd 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
59 elfzelz 13555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
6059zcnd 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℂ)
6157, 58, 60addsubd 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) = ((𝑁𝐾) + 1))
62 fznn0sub 13587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
63 nn0p1nn 12563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁𝐾) + 1) ∈ ℕ)
6561, 64eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℕ)
6665nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℂ)
6765nnne0d 12314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ≠ 0)
6852, 56, 66, 67div12d 12077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = ((𝑁 + 1) · ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))))
6965nnrpd 13068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 𝐾) ∈ ℝ+)
7051, 69rpdivcld 13087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℝ+)
7170rpcnd 13072 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) ∈ ℂ)
7256, 71mulcomd 11285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (𝑁 + 1)))
7368, 72eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (𝑁 + 1)))
7456, 60npcand 11625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) + 𝐾) = (𝑁 + 1))
7574oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) + 𝐾)) = (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (𝑁 + 1)))
7671, 66, 60adddid 11288 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) + 𝐾)) = ((((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) + (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾)))
7773, 75, 763eqtr2d 2772 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) · ((𝑁 + 1) / ((𝑁 + 1) − 𝐾))) = ((((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) + (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾)))
7852, 66, 67divcan1d 12042 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) = (𝑁C𝐾))
79 elfznn 13584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)
8079nnne0d 12314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ≠ 0)
8152, 66, 60, 67, 80divdiv2d 12073 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) / (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)) = (((𝑁C𝐾) · 𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)))
82 bcm1k 14332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)))
8357, 60, 58subsub3d 11651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 − (𝐾 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝐾))
8483oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾) = (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾))
8584oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C(𝐾 − 1)) · ((𝑁 − (𝐾 − 1)) / 𝐾)) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)))
8682, 85eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)))
87 fzelp1 13607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
8855nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
89 elfzm1b 13633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))))
9059, 88, 89syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))))
9187, 90mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1)))
9257, 40, 41sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
9392oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
9491, 93eleqtrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁))
95 bcrpcl 14325 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) ∈ ℝ+)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) ∈ ℝ+)
9796rpcnd 13072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
9879nnrpd 13068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ+)
9969, 98rpdivcld 13087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾) ∈ ℝ+)
10099rpcnd 13072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾) ∈ ℂ)
10199rpne0d 13075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾) ≠ 0)
10252, 97, 100, 101divmul3d 12075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)) = (𝑁C(𝐾 − 1)) ↔ (𝑁C𝐾) = ((𝑁C(𝐾 − 1)) · (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾))))
10386, 102mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) / (((𝑁 + 1) − 𝐾) / 𝐾)) = (𝑁C(𝐾 − 1)))
10452, 60, 66, 67div23d 12078 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) · 𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) = (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾))
10581, 103, 1043eqtr3rd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾) = (𝑁C(𝐾 − 1)))
10678, 105oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · ((𝑁 + 1) − 𝐾)) + (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 + 1) − 𝐾)) · 𝐾)) = ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))))
10749, 77, 1063eqtrrd 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
10845, 107syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
109 oveq2 7432 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
11033nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
111 nn0re 12533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
112111ltp1d 12196 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < (𝑁 + 1))
113112olcd 872 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
114 bcval4 14324 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
115110, 113, 114mpd3an23 1460 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
116109, 115sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝑁C𝐾) = 0)
117 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 = (𝑁 + 1) → (𝐾 − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
118117, 42sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝐾 − 1) = 𝑁)
119118oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = (𝑁C𝑁))
120 bcnn 14329 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C𝑁) = 1)
121120adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝑁C𝑁) = 1)
122119, 121eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = 1)
123116, 122oveq12d 7442 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = (0 + 1))
124 oveq2 7432 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = ((𝑁 + 1)C(𝑁 + 1)))
125 bcnn 14329 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 + 1)) = 1)
1261, 125syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 + 1)) = 1)
127124, 126sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = 1)
12830, 123, 1273eqtr4a 2792 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 = (𝑁 + 1)) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
129108, 128jaodan 955 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1)) ∨ 𝐾 = (𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
13038, 129syldan 589 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
13132, 130syldan 589 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
132131ex 411 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾)))
13328, 132jaod 857 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾)))
1345, 133sylbid 239 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾)))
135134imp 405 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
136135adantlr 713 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
137 00id 11439 . . 3 (0 + 0) = 0
138 fzelp1 13607 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
139138con3i 154 . . . . 5 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
140 bcval3 14323 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
1411403expa 1115 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
142139, 141sylan2 591 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝐾) = 0)
143 simpll 765 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
144 simplr 767 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
145 peano2zm 12657 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
146144, 145syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
14739adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
148147, 40, 41sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
149148oveq2d 7440 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
150149eleq2d 2812 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1)) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁)))
151 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℤ)
1521nn0zd 12636 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
153151, 152, 89syl2anr 595 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))))
154 fz1ssfz0 13651 . . . . . . . . 9 (1...(𝑁 + 1)) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
155154sseli 3975 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
156153, 155biimtrrdi 253 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1)) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
157150, 156sylbird 259 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
158157con3dimp 407 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ¬ (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁))
159 bcval3 14323 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐾 − 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = 0)
160143, 146, 158, 159syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝐾 − 1)) = 0)
161142, 160oveq12d 7442 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = (0 + 0))
162143, 1syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
163 simpr 483 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
164 bcval3 14323 . . . 4 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = 0)
165162, 144, 163, 164syl3anc 1368 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1)C𝐾) = 0)
166137, 161, 1653eqtr4a 2792 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
167136, 166pm2.61dan 811 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝐾) + (𝑁C(𝐾 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163   < clt 11298  cmin 11494   / cdiv 11921  cn 12264  0cn0 12524  cz 12610  cuz 12874  +crp 13028  ...cfz 13538  Ccbc 14319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-seq 14022  df-fac 14291  df-bc 14320
This theorem is referenced by:  bccl  14339  bcn2m1  14341  bcn2p1  14342  hashbclem  14469  binomlem  15833  bcxmas  15839  binomfallfaclem2  16042  srgbinomlem  20213  bcp1ctr  27308  ex-bc  30385  bccolsum  35561  fwddifnp1  35989  5bc2eq10  41840  sticksstones22  41866  dvnmul  45564  bcpascm1  47730
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