Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-rest10b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-rest10b 37072
Description: Alternate version of bj-rest10 37071. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
bj-rest10b (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → (𝑋t ∅) = {∅})

Proof of Theorem bj-rest10b
StepHypRef Expression
1 eldif 3973 . . 3 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑋𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ {∅}))
2 0ex 5313 . . . . . 6 ∅ ∈ V
32elsn2 4670 . . . . 5 (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅)
4 neqne 2946 . . . . 5 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
53, 4sylnbi 330 . . . 4 𝑋 ∈ {∅} → 𝑋 ≠ ∅)
65anim2i 617 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ {∅}) → (𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅))
71, 6sylbi 217 . 2 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → (𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅))
8 bj-rest10 37071 . . 3 (𝑋𝑉 → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋t ∅) = {∅}))
98imp 406 . 2 ((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) → (𝑋t ∅) = {∅})
107, 9syl 17 1 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → (𝑋t ∅) = {∅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  c0 4339  {csn 4631  (class class class)co 7431  t crest 17467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rest 17469
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator