Theorem bj-rest10b 37090

Description: Alternate version of bj-rest10 37089. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-rest10b	⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → (𝑋 ↾t ∅) = {∅})

Proof of Theorem bj-rest10b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3961	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ {∅}))
2		0ex 5307	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elsn2 4665	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅)
4		neqne 2948	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
5	3, 4	sylnbi 330	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ {∅} → 𝑋 ≠ ∅)
6	5	anim2i 617	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ {∅}) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅))
7	1, 6	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅))
8		bj-rest10 37089	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ↾t ∅) = {∅}))
9	8	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ↾t ∅) = {∅})
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → (𝑋 ↾t ∅) = {∅})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3948  ∅c0 4333  {csn 4626  (class class class)co 7431   ↾_t crest 17465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rest 17467

This theorem is referenced by: (None)