Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-rest10b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-rest10b 33564
Description: Alternate version of bj-rest10 33563. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
bj-rest10b (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → (𝑋t ∅) = {∅})

Proof of Theorem bj-rest10b
StepHypRef Expression
1 eldif 3808 . . 3 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑋𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ {∅}))
2 0ex 5016 . . . . . 6 ∅ ∈ V
32elsn2 4434 . . . . 5 (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅)
4 neqne 3007 . . . . 5 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
53, 4sylnbi 322 . . . 4 𝑋 ∈ {∅} → 𝑋 ≠ ∅)
65anim2i 610 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ {∅}) → (𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅))
71, 6sylbi 209 . 2 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → (𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅))
8 bj-rest10 33563 . . 3 (𝑋𝑉 → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋t ∅) = {∅}))
98imp 397 . 2 ((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) → (𝑋t ∅) = {∅})
107, 9syl 17 1 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → (𝑋t ∅) = {∅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  cdif 3795  c0 4146  {csn 4399  (class class class)co 6910  t crest 16441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pr 5129  ax-un 7214
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-rest 16443
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator