Theorem bj-rest10b 35260

Description: Alternate version of bj-rest10 35259. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-rest10b	⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → (𝑋 ↾t ∅) = {∅})

Proof of Theorem bj-rest10b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3897	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ {∅}))
2		0ex 5231	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elsn2 4600	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {∅} ↔ 𝑋 = ∅)
4		neqne 2951	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
5	3, 4	sylnbi 330	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ {∅} → 𝑋 ≠ ∅)
6	5	anim2i 617	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑋 ∈ {∅}) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅))
7	1, 6	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅))
8		bj-rest10 35259	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ↾t ∅) = {∅}))
9	8	imp 407	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ↾t ∅) = {∅})
10	7, 9	syl 17	1 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → (𝑋 ↾t ∅) = {∅})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884  ∅c0 4256  {csn 4561  (class class class)co 7275   ↾_t crest 17131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-rest 17133

This theorem is referenced by: (None)