Theorem bj-restn0 37991

Description: An elementwise intersection on a nonempty family is nonempty. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restn0	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅))

Proof of Theorem bj-restn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4300	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋)
2		vex 3455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	inex1 5277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ V
4	3	isseti 3469	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)
5	4	jctr 534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
6	5	eximi 1868	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
7		df-rex 3088	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
8	6, 7	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴))
9		rexcom4 3290	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ ∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴))
10	8, 9	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
12	1, 11	biimtrid 245	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
13		elrest 17591	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
14	13	biimprd 251	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴)))
15	14	eximdv 1950	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴)))
16	12, 15	syld 48	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴)))
17		n0 4300	. 2 ⊢ ((𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴))
18	16, 17	imbitrrdi 255	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  (class class class)co 7418   ↾_t crest 17584

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-rest 17586

This theorem is used by:  bj-restn0b  37992