Theorem bj-restn0 38281

Description: An elementwise intersection on a nonempty family is nonempty. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restn0	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅))

Proof of Theorem bj-restn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4303	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋)
2		vex 3458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	inex1 5284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ V
4	3	isseti 3472	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)
5	4	jctr 534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
6	5	eximi 1868	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
7		df-rex 3091	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
8	6, 7	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴))
9		rexcom4 3293	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ ∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴))
10	8, 9	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
12	1, 11	biimtrid 245	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
13		elrest 17648	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
14	13	biimprd 251	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴)))
15	14	eximdv 1952	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴)))
16	12, 15	syld 48	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴)))
17		n0 4303	. 2 ⊢ ((𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴))
18	16, 17	imbitrrdi 255	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  (class class class)co 7451   ↾_t crest 17641

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-rest 17643

This theorem is used by:  bj-restn0b  38282