Theorem bj-restn0 35261

Description: An elementwise intersection on a nonempty family is nonempty. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restn0	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅))

Proof of Theorem bj-restn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4280	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋)
2		vex 3436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	inex1 5241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ V
4	3	isseti 3447	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)
5	4	jctr 525	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
6	5	eximi 1837	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
7		df-rex 3070	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
8	6, 7	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴))
9		rexcom4 3233	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ ∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴))
10	8, 9	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
12	1, 11	syl5bi 241	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
13		elrest 17138	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
14	13	biimprd 247	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴)))
15	14	eximdv 1920	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴)))
16	12, 15	syld 47	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴)))
17		n0 4280	. 2 ⊢ ((𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴))
18	16, 17	syl6ibr 251	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   ∩ cin 3886  ∅c0 4256  (class class class)co 7275   ↾_t crest 17131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-rest 17133

This theorem is referenced by:  bj-restn0b  35262