Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-restn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-restn0 35775
Description: An elementwise intersection on a nonempty family is nonempty. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
bj-restn0 ((𝑋𝑉𝐴𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋t 𝐴) ≠ ∅))

Proof of Theorem bj-restn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4342 . . . 4 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑋)
2 vex 3477 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
32inex1 5310 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐴) ∈ V
43isseti 3488 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑥 = (𝑦𝐴)
54jctr 525 . . . . . . . 8 (𝑦𝑋 → (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦𝐴)))
65eximi 1837 . . . . . . 7 (∃𝑦 𝑦𝑋 → ∃𝑦(𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦𝐴)))
7 df-rex 3070 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑋𝑥 𝑥 = (𝑦𝐴) ↔ ∃𝑦(𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦𝐴)))
86, 7sylibr 233 . . . . . 6 (∃𝑦 𝑦𝑋 → ∃𝑦𝑋𝑥 𝑥 = (𝑦𝐴))
9 rexcom4 3284 . . . . . 6 (∃𝑦𝑋𝑥 𝑥 = (𝑦𝐴) ↔ ∃𝑥𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦𝐴))
108, 9sylib 217 . . . . 5 (∃𝑦 𝑦𝑋 → ∃𝑥𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦𝐴))
1110a1i 11 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑊) → (∃𝑦 𝑦𝑋 → ∃𝑥𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦𝐴)))
121, 11biimtrid 241 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑥𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦𝐴)))
13 elrest 17355 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐴𝑊) → (𝑥 ∈ (𝑋t 𝐴) ↔ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦𝐴)))
1413biimprd 247 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑊) → (∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑋t 𝐴)))
1514eximdv 1920 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑊) → (∃𝑥𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑋t 𝐴)))
1612, 15syld 47 . 2 ((𝑋𝑉𝐴𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑋t 𝐴)))
17 n0 4342 . 2 ((𝑋t 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑋t 𝐴))
1816, 17syl6ibr 251 1 ((𝑋𝑉𝐴𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋t 𝐴) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2939  wrex 3069  cin 3943  c0 4318  (class class class)co 7393  t crest 17348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-rest 17350
This theorem is referenced by:  bj-restn0b  35776
  Copyright terms: Public domain W3C validator