Theorem bj-restn0 36427

Description: An elementwise intersection on a nonempty family is nonempty. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restn0	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅))

Proof of Theorem bj-restn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4338	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋)
2		vex 3470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	inex1 5307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∩ 𝐴) ∈ V
4	3	isseti 3482	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)
5	4	jctr 524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
6	5	eximi 1829	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
7		df-rex 3063	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
8	6, 7	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴))
9		rexcom4 3277	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 ∃𝑥 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ ∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴))
10	8, 9	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
12	1, 11	biimtrid 241	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
13		elrest 17371	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
14	13	biimprd 247	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴)))
15	14	eximdv 1912	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (∃𝑥∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴)))
16	12, 15	syld 47	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴)))
17		n0 4338	. 2 ⊢ ((𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴))
18	16, 17	imbitrrdi 251	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃wrex 3062   ∩ cin 3939  ∅c0 4314  (class class class)co 7401   ↾_t crest 17364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-rest 17366

This theorem is referenced by:  bj-restn0b  36428