Theorem bj-rest10 37578

Description: An elementwise intersection on a nonempty family by the empty set is the singleton on the empty set. TODO: this generalizes rest0 23229 and could replace it. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-rest10	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ↾t ∅) = {∅}))

Proof of Theorem bj-rest10

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5257	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2		elrest 17456	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝑋 ↾t ∅) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅)))
3	1, 2	mpan2 701	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (𝑋 ↾t ∅) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅)))
4		in0 4349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∩ ∅) = ∅
5	4	eqeq2i 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ 𝑥 = ∅)
6	5	rexbii 3109	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = ∅)
7		df-rex 3087	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 = ∅))
8		19.41v 1969	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 = ∅) ↔ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 = ∅))
9		n0 4305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋)
10	9	bicomi 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅)
11	10	anbi1i 633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
12	8, 11	bitri 277	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
13	7, 12	bitri 277	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = ∅ ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
14	6, 13	bitri 277	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
15	14	baib 543	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ 𝑥 = ∅))
16	3, 15	sylan9bb 517	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑋 ↾t ∅) ↔ 𝑥 = ∅))
17		velsn 4598	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
18	16, 17	bitr4di 291	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑋 ↾t ∅) ↔ 𝑥 ∈ {∅}))
19	18	eqrdv 2760	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ↾t ∅) = {∅})
20	19	ex 416	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ↾t ∅) = {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560  ∃wex 1799   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3086  Vcvv 3454   ∩ cin 3903  ∅c0 4285  {csn 4582  (class class class)co 7396   ↾_t crest 17449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-rest 17451

This theorem is referenced by:  bj-rest10b  37579