Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-rest10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-rest10 37089
Description: An elementwise intersection on a nonempty family by the empty set is the singleton on the empty set. TODO: this generalizes rest0 23177 and could replace it. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
bj-rest10 (𝑋𝑉 → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋t ∅) = {∅}))

Proof of Theorem bj-rest10
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5307 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2 elrest 17472 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝑋t ∅) ↔ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅)))
31, 2mpan2 691 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑥 ∈ (𝑋t ∅) ↔ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅)))
4 in0 4395 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∩ ∅) = ∅
54eqeq2i 2750 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ 𝑥 = ∅)
65rexbii 3094 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ ∃𝑦𝑋 𝑥 = ∅)
7 df-rex 3071 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝑋 𝑥 = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦𝑋𝑥 = ∅))
8 19.41v 1949 . . . . . . . . 9 (∃𝑦(𝑦𝑋𝑥 = ∅) ↔ (∃𝑦 𝑦𝑋𝑥 = ∅))
9 n0 4353 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑋)
109bicomi 224 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 𝑦𝑋𝑋 ≠ ∅)
1110anbi1i 624 . . . . . . . . 9 ((∃𝑦 𝑦𝑋𝑥 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
128, 11bitri 275 . . . . . . . 8 (∃𝑦(𝑦𝑋𝑥 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
137, 12bitri 275 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑋 𝑥 = ∅ ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
146, 13bitri 275 . . . . . 6 (∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
1514baib 535 . . . . 5 (𝑋 ≠ ∅ → (∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ 𝑥 = ∅))
163, 15sylan9bb 509 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑋t ∅) ↔ 𝑥 = ∅))
17 velsn 4642 . . . 4 (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
1816, 17bitr4di 289 . . 3 ((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑋t ∅) ↔ 𝑥 ∈ {∅}))
1918eqrdv 2735 . 2 ((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) → (𝑋t ∅) = {∅})
2019ex 412 1 (𝑋𝑉 → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋t ∅) = {∅}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3480  cin 3950  c0 4333  {csn 4626  (class class class)co 7431  t crest 17465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rest 17467
This theorem is referenced by:  bj-rest10b  37090
  Copyright terms: Public domain W3C validator