Theorem bj-rest10 37419

Description: An elementwise intersection on a nonempty family by the empty set is the singleton on the empty set. TODO: this generalizes rest0 23147 and could replace it. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-rest10	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ↾t ∅) = {∅}))

Proof of Theorem bj-rest10

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5243	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2		elrest 17384	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝑋 ↾t ∅) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅)))
3	1, 2	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (𝑋 ↾t ∅) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅)))
4		in0 4336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∩ ∅) = ∅
5	4	eqeq2i 2750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ 𝑥 = ∅)
6	5	rexbii 3085	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = ∅)
7		df-rex 3063	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 = ∅))
8		19.41v 1951	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 = ∅) ↔ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 = ∅))
9		n0 4294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋)
10	9	bicomi 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅)
11	10	anbi1i 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
12	8, 11	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
13	7, 12	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = ∅ ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
14	6, 13	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
15	14	baib 535	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → (∃𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ 𝑥 = ∅))
16	3, 15	sylan9bb 509	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑋 ↾t ∅) ↔ 𝑥 = ∅))
17		velsn 4584	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
18	16, 17	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑋 ↾t ∅) ↔ 𝑥 ∈ {∅}))
19	18	eqrdv 2735	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ↾t ∅) = {∅})
20	19	ex 412	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ↾t ∅) = {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ∩ cin 3889  ∅c0 4274  {csn 4568  (class class class)co 7361   ↾_t crest 17377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-rest 17379

This theorem is referenced by:  bj-rest10b  37420