Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-rest10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-rest10 37071
Description: An elementwise intersection on a nonempty family by the empty set is the singleton on the empty set. TODO: this generalizes rest0 23193 and could replace it. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
bj-rest10 (𝑋𝑉 → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋t ∅) = {∅}))

Proof of Theorem bj-rest10
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5313 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2 elrest 17474 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝑋t ∅) ↔ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅)))
31, 2mpan2 691 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑥 ∈ (𝑋t ∅) ↔ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅)))
4 in0 4401 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∩ ∅) = ∅
54eqeq2i 2748 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ 𝑥 = ∅)
65rexbii 3092 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ ∃𝑦𝑋 𝑥 = ∅)
7 df-rex 3069 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝑋 𝑥 = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦𝑋𝑥 = ∅))
8 19.41v 1947 . . . . . . . . 9 (∃𝑦(𝑦𝑋𝑥 = ∅) ↔ (∃𝑦 𝑦𝑋𝑥 = ∅))
9 n0 4359 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑋)
109bicomi 224 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 𝑦𝑋𝑋 ≠ ∅)
1110anbi1i 624 . . . . . . . . 9 ((∃𝑦 𝑦𝑋𝑥 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
128, 11bitri 275 . . . . . . . 8 (∃𝑦(𝑦𝑋𝑥 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
137, 12bitri 275 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑋 𝑥 = ∅ ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
146, 13bitri 275 . . . . . 6 (∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
1514baib 535 . . . . 5 (𝑋 ≠ ∅ → (∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ 𝑥 = ∅))
163, 15sylan9bb 509 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑋t ∅) ↔ 𝑥 = ∅))
17 velsn 4647 . . . 4 (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
1816, 17bitr4di 289 . . 3 ((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑋t ∅) ↔ 𝑥 ∈ {∅}))
1918eqrdv 2733 . 2 ((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) → (𝑋t ∅) = {∅})
2019ex 412 1 (𝑋𝑉 → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋t ∅) = {∅}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  cin 3962  c0 4339  {csn 4631  (class class class)co 7431  t crest 17467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rest 17469
This theorem is referenced by:  bj-rest10b  37072
  Copyright terms: Public domain W3C validator