Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-rest10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-rest10 34371
Description: An elementwise intersection on a nonempty family by the empty set is the singleton on the empty set. TODO: this generalizes rest0 21769 and could replace it. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
bj-rest10 (𝑋𝑉 → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋t ∅) = {∅}))

Proof of Theorem bj-rest10
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5202 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2 elrest 16693 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝑋t ∅) ↔ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅)))
31, 2mpan2 689 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑥 ∈ (𝑋t ∅) ↔ ∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅)))
4 in0 4343 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∩ ∅) = ∅
54eqeq2i 2832 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ 𝑥 = ∅)
65rexbii 3245 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ ∃𝑦𝑋 𝑥 = ∅)
7 df-rex 3142 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝑋 𝑥 = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦𝑋𝑥 = ∅))
8 19.41v 1944 . . . . . . . . 9 (∃𝑦(𝑦𝑋𝑥 = ∅) ↔ (∃𝑦 𝑦𝑋𝑥 = ∅))
9 n0 4308 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑋)
109bicomi 226 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 𝑦𝑋𝑋 ≠ ∅)
1110anbi1i 625 . . . . . . . . 9 ((∃𝑦 𝑦𝑋𝑥 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
128, 11bitri 277 . . . . . . . 8 (∃𝑦(𝑦𝑋𝑥 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
137, 12bitri 277 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑋 𝑥 = ∅ ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
146, 13bitri 277 . . . . . 6 (∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑥 = ∅))
1514baib 538 . . . . 5 (𝑋 ≠ ∅ → (∃𝑦𝑋 𝑥 = (𝑦 ∩ ∅) ↔ 𝑥 = ∅))
163, 15sylan9bb 512 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑋t ∅) ↔ 𝑥 = ∅))
17 velsn 4575 . . . 4 (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
1816, 17syl6bbr 291 . . 3 ((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑋t ∅) ↔ 𝑥 ∈ {∅}))
1918eqrdv 2817 . 2 ((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) → (𝑋t ∅) = {∅})
2019ex 415 1 (𝑋𝑉 → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋t ∅) = {∅}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1531  wex 1774  wcel 2108  wne 3014  wrex 3137  Vcvv 3493  cin 3933  c0 4289  {csn 4559  (class class class)co 7148  t crest 16686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-rest 16688
This theorem is referenced by:  bj-rest10b  34372
  Copyright terms: Public domain W3C validator