Theorem bj-resta 36803

Description: An elementwise intersection by a set on a family containing that set contains that set. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-resta	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴)))

Proof of Theorem bj-resta

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 4002	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		bj-restb 36801	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴)))
3	1, 2	mpani 694	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝑋 → 𝐴 ∈ (𝑋 ↾t 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  (class class class)co 7424   ↾_t crest 17435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-rest 17437

This theorem is referenced by: (None)