Theorem bj-restn0b 37371

Description: Alternate version of bj-restn0 37370. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restn0b	⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem bj-restn0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4085	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		eldifsni 4748	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → 𝑋 ≠ ∅)
3	1, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅))
4	3	anim1i 616	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊))
5		an32 647	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ↔ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅))
6	4, 5	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅))
7		bj-restn0 37370	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅))
8	7	imp 406	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅)
9	6, 8	syl 17	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3900  ∅c0 4287  {csn 4582  (class class class)co 7370   ↾_t crest 17354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-rest 17356

This theorem is referenced by: (None)