Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-restn0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-restn0b 35553
Description: Alternate version of bj-restn0 35552. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
bj-restn0b ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝑊) → (𝑋t 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem bj-restn0b
StepHypRef Expression
1 eldifi 4086 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → 𝑋𝑉)
2 eldifsni 4750 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → 𝑋 ≠ ∅)
31, 2jca 512 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → (𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅))
43anim1i 615 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝑊) → ((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑊))
5 an32 644 . . 3 (((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑊) ↔ ((𝑋𝑉𝐴𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅))
64, 5sylib 217 . 2 ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝑊) → ((𝑋𝑉𝐴𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅))
7 bj-restn0 35552 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋t 𝐴) ≠ ∅))
87imp 407 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋t 𝐴) ≠ ∅)
96, 8syl 17 1 ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝑊) → (𝑋t 𝐴) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  c0 4282  {csn 4586  (class class class)co 7356  t crest 17301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7671
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-rest 17303
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator