Theorem bj-restn0b 34954

Description: Alternate version of bj-restn0 34953. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restn0b	⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem bj-restn0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4031	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		eldifsni 4693	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → 𝑋 ≠ ∅)
3	1, 2	jca 515	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅))
4	3	anim1i 618	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊))
5		an32 646	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ↔ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅))
6	4, 5	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅))
7		bj-restn0 34953	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅))
8	7	imp 410	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅)
9	6, 8	syl 17	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935   ∖ cdif 3854  ∅c0 4227  {csn 4531  (class class class)co 7202   ↾_t crest 16897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pr 5311  ax-un 7512

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-nul 4228  df-if 4430  df-sn 4532  df-pr 4534  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-id 5444  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-rest 16899

This theorem is referenced by: (None)