Theorem bj-restn0b 37828

Description: Alternate version of bj-restn0 37827. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restn0b	⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem bj-restn0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4081	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		eldifsni 4756	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → 𝑋 ≠ ∅)
3	1, 2	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅))
4	3	anim1i 627	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊))
5		an32 659	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ↔ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅))
6	4, 5	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅))
7		bj-restn0 37827	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅))
8	7	imp 412	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅)
9	6, 8	syl 18	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑋 ↾t 𝐴) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3899  ∅c0 4282  {csn 4587  (class class class)co 7416   ↾_t crest 17509

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-rest 17511

This theorem is used by: (None)