Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-restn0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-restn0b 34501
Description: Alternate version of bj-restn0 34500. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
bj-restn0b ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝑊) → (𝑋t 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem bj-restn0b
StepHypRef Expression
1 eldifi 4057 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → 𝑋𝑉)
2 eldifsni 4686 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → 𝑋 ≠ ∅)
31, 2jca 515 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) → (𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅))
43anim1i 617 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝑊) → ((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑊))
5 an32 645 . . 3 (((𝑋𝑉𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑊) ↔ ((𝑋𝑉𝐴𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅))
64, 5sylib 221 . 2 ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝑊) → ((𝑋𝑉𝐴𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅))
7 bj-restn0 34500 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑊) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋t 𝐴) ≠ ∅))
87imp 410 . 2 (((𝑋𝑉𝐴𝑊) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋t 𝐴) ≠ ∅)
96, 8syl 17 1 ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {∅}) ∧ 𝐴𝑊) → (𝑋t 𝐴) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2112  wne 2990  cdif 3881  c0 4246  {csn 4528  (class class class)co 7139  t crest 16689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-rest 16691
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator