MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brrici Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brrici 20405
Description: Prove isomorphic by an explicit isomorphism. (Contributed by SN, 10-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
brrici (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑅𝑟 𝑆)

Proof of Theorem brrici
StepHypRef Expression
1 ne0i 4329 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
2 brric 20404 . 2 (𝑅𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
31, 2sylibr 233 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑅𝑟 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  wne 2934  c0 4317   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404   RingIso crs 20370  𝑟 cric 20371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8464  df-rim 20373  df-ric 20375
This theorem is referenced by:  ricqusker  33051  ricsym  41634  rictr  41635
  Copyright terms: Public domain W3C validator