Theorem rictr 42508

Description: Ring isomorphism is transitive. (Contributed by SN, 17-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rictr	⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑟 𝑇) → 𝑅 ≃𝑟 𝑇)

Proof of Theorem rictr

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brric 20496	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
2		brric 20496	. 2 ⊢ (𝑆 ≃𝑟 𝑇 ↔ (𝑆 RingIso 𝑇) ≠ ∅)
3		n0 4352	. . 3 ⊢ ((𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
4		n0 4352	. . 3 ⊢ ((𝑆 RingIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇))
5		exdistrv 1955	. . . 4 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇)) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇)))
6		rimco 42506	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑅 RingIso 𝑇))
7		brrici 20497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑅 RingIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑟 𝑇)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → 𝑅 ≃𝑟 𝑇)
9	8	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑟 𝑇)
10	9	exlimivv 1932	. . . 4 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑟 𝑇)
11	5, 10	sylbir 235	. . 3 ⊢ ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑟 𝑇)
12	3, 4, 11	syl2anb 598	. 2 ⊢ (((𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑆 RingIso 𝑇) ≠ ∅) → 𝑅 ≃𝑟 𝑇)
13	1, 2, 12	syl2anb 598	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑟 𝑇) → 𝑅 ≃𝑟 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2939  ∅c0 4332   class class class wbr 5141   ∘ ccom 5687  (class class class)co 7429   RingIso crs 20462   ≃_𝑟 cric 20463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-er 8741  df-map 8864  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-plusg 17306  df-0g 17482  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-mhm 18792  df-grp 18950  df-ghm 19227  df-mgp 20134  df-ur 20175  df-ring 20228  df-rhm 20464  df-rim 20465  df-ric 20467

This theorem is referenced by: (None)