Theorem rictr 43268

Description: Ring isomorphism is transitive. (Contributed by SN, 17-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rictr	⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑟 𝑇) → 𝑅 ≃𝑟 𝑇)

Proof of Theorem rictr

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brric 20587	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
2		brric 20587	. 2 ⊢ (𝑆 ≃𝑟 𝑇 ↔ (𝑆 RingIso 𝑇) ≠ ∅)
3		n0 4308	. . 3 ⊢ ((𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
4		n0 4308	. . 3 ⊢ ((𝑆 RingIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇))
5		exdistrv 1985	. . . 4 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇)) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇)))
6		rimco 43267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑅 RingIso 𝑇))
7		brrici 20588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑅 RingIso 𝑇) → 𝑅 ≃𝑟 𝑇)
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)) → 𝑅 ≃𝑟 𝑇)
9	8	ancoms 463	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑟 𝑇)
10	9	exlimivv 1962	. . . 4 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑟 𝑇)
11	5, 10	sylbir 238	. . 3 ⊢ ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 RingIso 𝑇)) → 𝑅 ≃𝑟 𝑇)
12	3, 4, 11	syl2anb 609	. 2 ⊢ (((𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑆 RingIso 𝑇) ≠ ∅) → 𝑅 ≃𝑟 𝑇)
13	1, 2, 12	syl2anb 609	1 ⊢ ((𝑅 ≃𝑟 𝑆 ∧ 𝑆 ≃𝑟 𝑇) → 𝑅 ≃𝑟 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4287   class class class wbr 5110   ∘ ccom 5667  (class class class)co 7412   RingIso crs 20553   ≃_𝑟 cric 20554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-grp 19004  df-ghm 19285  df-mgp 20218  df-ur 20265  df-ring 20318  df-rhm 20555  df-rim 20556  df-ric 20558

This theorem is referenced by: (None)