Theorem brric2 20557

Description: The relation "is isomorphic to" for (unital) rings. This theorem corresponds to Definition df-risc 38483 of the ring isomorphism relation in JM's mathbox. (Contributed by AV, 24-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brric2	⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓

Proof of Theorem brric2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brric 20554	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4306	. 2 ⊢ ((𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
3		rimrhm 20544	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
4		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
6	4, 5	isrhm 20528	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
7	6	simplbi 500	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
8	3, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
9	8	exlimiv 1951	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
10	9	pm4.71ri 568	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)))
11	1, 2, 10	3bitri 299	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399  ∃wex 1800   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4286   class class class wbr 5101  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397   MndHom cmhm 18816   GrpHom cghm 19254  mulGrpcmgp 20187  Ringcrg 20284   RingHom crh 20519   RingIso crs 20520   ≃_𝑟 cric 20521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-map 8811  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-plusg 17300  df-0g 17471  df-mhm 18818  df-ghm 19255  df-mgp 20188  df-ur 20233  df-ring 20286  df-rhm 20522  df-rim 20523  df-ric 20525

This theorem is referenced by:  ricgic  20558