Theorem brric2 19904

Description: The relation "is isomorphic to" for (unital) rings. This theorem corresponds to Definition df-risc 36068 of the ring isomorphism relation in JM's mathbox. (Contributed by AV, 24-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brric2	⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑓   𝑆,𝑓

Proof of Theorem brric2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brric 19903	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4277	. 2 ⊢ ((𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆))
3		rimrcl 19883	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))
4		isrim0 19882	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅))))
5		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
7	5, 6	isrhm 19880	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
8	7	simplbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ◡𝑓 ∈ (𝑆 RingHom 𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
10	4, 9	syl6bi 252	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring)))
11	3, 10	mpcom 38	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
12	11	exlimiv 1934	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
13	12	pm4.71ri 560	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)))
14	1, 2, 13	3bitri 296	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆)))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   MndHom cmhm 18343   GrpHom cghm 18746  mulGrpcmgp 19635  Ringcrg 19698   RingHom crh 19871   RingIso crs 19872   ≃_𝑟 cric 19873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mhm 18345  df-ghm 18747  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-rnghom 19874  df-rngiso 19875  df-ric 19877

This theorem is referenced by:  ricgic  19905