Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ricqusker Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ricqusker 33398
Description: The image 𝐻 of a ring homomorphism 𝐹 is isomorphic with the quotient ring 𝑄 over 𝐹's kernel 𝐾. This a part of what is sometimes called the first isomorphism theorem for rings. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmqusker.1 0 = (0g𝐻)
rhmqusker.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
rhmqusker.k 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
rhmqusker.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
rhmqusker.s (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
rhmqusker.2 (𝜑𝐺 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
ricqusker (𝜑𝑄𝑟 𝐻)

Proof of Theorem ricqusker
Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmqusker.1 . . 3 0 = (0g𝐻)
2 rhmqusker.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
3 rhmqusker.k . . 3 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
4 rhmqusker.q . . 3 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
5 rhmqusker.s . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
6 rhmqusker.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CRing)
7 imaeq2 6070 . . . . 5 (𝑝 = 𝑞 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑞))
87unieqd 4927 . . . 4 (𝑝 = 𝑞 (𝐹𝑝) = (𝐹𝑞))
98cbvmptv 5262 . . 3 (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑝)) = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9rhmqusker 33397 . 2 (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑝)) ∈ (𝑄 RingIso 𝐻))
11 brrici 20507 . 2 ((𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑝)) ∈ (𝑄 RingIso 𝐻) → 𝑄𝑟 𝐻)
1210, 11syl 17 1 (𝜑𝑄𝑟 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1535  wcel 2104  {csn 4630   cuni 4914   class class class wbr 5149  cmpt 5232  ccnv 5682  ran crn 5684  cima 5686  cfv 6558  (class class class)co 7425  Basecbs 17234  0gc0g 17475   /s cqus 17541   ~QG cqg 19138  CRingccrg 20237   RingHom crh 20471   RingIso crs 20472  𝑟 cric 20473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4915  df-int 4954  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-om 7881  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-tpos 8244  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8499  df-er 8738  df-ec 8740  df-qs 8744  df-map 8861  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-z 12605  df-dec 12725  df-uz 12870  df-fz 13538  df-struct 17170  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-ress 17264  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-0g 17477  df-imas 17544  df-qus 17545  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18794  df-submnd 18795  df-grp 18952  df-minusg 18953  df-sbg 18954  df-subg 19139  df-nsg 19140  df-eqg 19141  df-ghm 19229  df-gim 19275  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20156  df-ur 20185  df-ring 20238  df-cring 20239  df-oppr 20336  df-rhm 20474  df-rim 20475  df-ric 20477  df-subrg 20573  df-lmod 20858  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-sra 21171  df-rgmod 21172  df-lidl 21217  df-rsp 21218  df-2idl 21259
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator