Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ricqusker Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ricqusker 32460
Description: The image 𝐻 of a ring homomorphism 𝐹 is isomorphic with the quotient ring 𝑄 over 𝐹's kernel 𝐾. This a part of what is sometimes called the first isomorphism theorem for rings. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmqusker.1 0 = (0g𝐻)
rhmqusker.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
rhmqusker.k 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
rhmqusker.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
rhmqusker.s (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
rhmqusker.2 (𝜑𝐺 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
ricqusker (𝜑𝑄𝑟 𝐻)

Proof of Theorem ricqusker
Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmqusker.1 . . 3 0 = (0g𝐻)
2 rhmqusker.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
3 rhmqusker.k . . 3 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
4 rhmqusker.q . . 3 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
5 rhmqusker.s . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
6 rhmqusker.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CRing)
7 imaeq2 6046 . . . . 5 (𝑝 = 𝑞 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑞))
87unieqd 4916 . . . 4 (𝑝 = 𝑞 (𝐹𝑝) = (𝐹𝑞))
98cbvmptv 5255 . . 3 (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑝)) = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9rhmqusker 32459 . 2 (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑝)) ∈ (𝑄 RingIso 𝐻))
11 brrici 20236 . 2 ((𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑝)) ∈ (𝑄 RingIso 𝐻) → 𝑄𝑟 𝐻)
1210, 11syl 17 1 (𝜑𝑄𝑟 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4623   cuni 4902   class class class wbr 5142  cmpt 5225  ccnv 5669  ran crn 5671  cima 5673  cfv 6533  (class class class)co 7394  Basecbs 17128  0gc0g 17369   /s cqus 17435   ~QG cqg 18976  CRingccrg 20017   RingHom crh 20200   RingIso crs 20201  𝑟 cric 20202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8195  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-ec 8690  df-qs 8694  df-map 8807  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-sup 9421  df-inf 9422  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-fz 13469  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-0g 17371  df-imas 17438  df-qus 17439  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-mhm 18649  df-submnd 18650  df-grp 18799  df-minusg 18800  df-sbg 18801  df-subg 18977  df-nsg 18978  df-eqg 18979  df-ghm 19058  df-gim 19101  df-cmn 19616  df-abl 19617  df-mgp 19949  df-ur 19966  df-ring 20018  df-cring 20019  df-oppr 20104  df-rnghom 20203  df-rngiso 20204  df-ric 20206  df-subrg 20312  df-lmod 20424  df-lss 20494  df-lsp 20534  df-sra 20736  df-rgmod 20737  df-lidl 20738  df-rsp 20739  df-2idl 20805
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator