Theorem ricqusker 33910

Description: The image 𝐻 of a ring homomorphism 𝐹 is isomorphic with the quotient ring 𝑄 over 𝐹's kernel 𝐾. This a part of what is sometimes called the first isomorphism theorem for rings. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmqusker.1	⊢ 0 = (0g‘𝐻)
rhmqusker.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
rhmqusker.k	⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
rhmqusker.q	⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
rhmqusker.s	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
rhmqusker.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
ricqusker	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑟 𝐻)

Proof of Theorem ricqusker

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmqusker.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐻)
2		rhmqusker.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
3		rhmqusker.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (◡𝐹 “ { 0 })
4		rhmqusker.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
5		rhmqusker.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
6		rhmqusker.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CRing)
7		imaeq2 6046	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝐹 “ 𝑝) = (𝐹 “ 𝑞))
8	7	unieqd 4879	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ∪ (𝐹 “ 𝑝) = ∪ (𝐹 “ 𝑞))
9	8	cbvmptv 5208	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑞))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	rhmqusker 33909	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) ∈ (𝑄 RingIso 𝐻))
11		brrici 20707	. 2 ⊢ ((𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐹 “ 𝑝)) ∈ (𝑄 RingIso 𝐻) → 𝑄 ≃𝑟 𝐻)
12	10, 11	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≃𝑟 𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4583  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5646  ran crn 5648   “ cima 5650  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  0_gc0g 17571   /_s cqus 17638   ~_QG cqg 19293  CRingccrg 20421   RingHom crh 20660   RingIso crs 20661   ≃_𝑟 cric 20662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-0g 17573  df-imas 17641  df-qus 17642  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-subg 19294  df-nsg 19295  df-eqg 19296  df-ghm 19389  df-gim 19434  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-cring 20423  df-oppr 20528  df-rhm 20663  df-rim 20664  df-ric 20704  df-subrg 20783  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-lsp 21208  df-sra 21409  df-rgmod 21410  df-lidl 21447  df-rsp 21448  df-2idl 21504

This theorem is used by: (None)