Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ricqusker Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ricqusker 32980
Description: The image 𝐻 of a ring homomorphism 𝐹 is isomorphic with the quotient ring 𝑄 over 𝐹's kernel 𝐾. This a part of what is sometimes called the first isomorphism theorem for rings. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmqusker.1 0 = (0g𝐻)
rhmqusker.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
rhmqusker.k 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
rhmqusker.q 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
rhmqusker.s (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
rhmqusker.2 (𝜑𝐺 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
ricqusker (𝜑𝑄𝑟 𝐻)

Proof of Theorem ricqusker
Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmqusker.1 . . 3 0 = (0g𝐻)
2 rhmqusker.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺 RingHom 𝐻))
3 rhmqusker.k . . 3 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
4 rhmqusker.q . . 3 𝑄 = (𝐺 /s (𝐺 ~QG 𝐾))
5 rhmqusker.s . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐻))
6 rhmqusker.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CRing)
7 imaeq2 6045 . . . . 5 (𝑝 = 𝑞 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑞))
87unieqd 4912 . . . 4 (𝑝 = 𝑞 (𝐹𝑝) = (𝐹𝑞))
98cbvmptv 5251 . . 3 (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑝)) = (𝑞 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑞))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9rhmqusker 32979 . 2 (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑝)) ∈ (𝑄 RingIso 𝐻))
11 brrici 20396 . 2 ((𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐹𝑝)) ∈ (𝑄 RingIso 𝐻) → 𝑄𝑟 𝐻)
1210, 11syl 17 1 (𝜑𝑄𝑟 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4620   cuni 4899   class class class wbr 5138  cmpt 5221  ccnv 5665  ran crn 5667  cima 5669  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17142  0gc0g 17383   /s cqus 17449   ~QG cqg 19038  CRingccrg 20128   RingHom crh 20360   RingIso crs 20361  𝑟 cric 20362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-ec 8700  df-qs 8704  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-0g 17385  df-imas 17452  df-qus 17453  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-mhm 18702  df-submnd 18703  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19039  df-nsg 19040  df-eqg 19041  df-ghm 19128  df-gim 19173  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-rhm 20363  df-rim 20364  df-ric 20366  df-subrg 20460  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-lsp 20808  df-sra 21010  df-rgmod 21011  df-lidl 21056  df-rsp 21057  df-2idl 21096
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator