Theorem caufpm 25608

Description: Inclusion of a Cauchy sequence, under our definition. (Contributed by NM, 7-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
caufpm	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))

Proof of Theorem caufpm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscau 25602	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑦)):(ℤ≥‘𝑦)⟶((𝐹‘𝑦)(ball‘𝐷)𝑥))))
2	1	simprbda 504	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ↾ cres 5652  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_pm cpm 8851  ℂcc 11201  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  ℝ⁺crp 13123  ∞Metcxmet 21668  ballcbl 21670  Cauccau 25579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8852  df-xr 11350  df-xmet 21676  df-cau 25582

This theorem is used by:  cmetcaulem  25614  causs  25624