Theorem caufpm 25189

Description: Inclusion of a Cauchy sequence, under our definition. (Contributed by NM, 7-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
caufpm	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))

Proof of Theorem caufpm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscau 25183	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑦)):(ℤ≥‘𝑦)⟶((𝐹‘𝑦)(ball‘𝐷)𝑥))))
2	1	simprbda 498	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ↾ cres 5643  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_pm cpm 8803  ℂcc 11073  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ℝ⁺crp 12958  ∞Metcxmet 21256  ballcbl 21258  Cauccau 25160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804  df-xr 11219  df-xmet 21264  df-cau 25163

This theorem is referenced by:  cmetcaulem  25195  causs  25205