Theorem caufpm 24446

Description: Inclusion of a Cauchy sequence, under our definition. (Contributed by NM, 7-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
caufpm	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))

Proof of Theorem caufpm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscau 24440	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑦)):(ℤ≥‘𝑦)⟶((𝐹‘𝑦)(ball‘𝐷)𝑥))))
2	1	simprbda 499	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ↾ cres 5591  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_pm cpm 8616  ℂcc 10869  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730  ∞Metcxmet 20582  ballcbl 20584  Cauccau 24417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-map 8617  df-xr 11013  df-xmet 20590  df-cau 24420

This theorem is referenced by:  cmetcaulem  24452  causs  24462