Theorem caucfil 25230

Description: A Cauchy sequence predicate can be expressed in terms of the Cauchy filter predicate for a suitably chosen filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucfil.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caucfil.2	⊢ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
caucfil	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷)))

Proof of Theorem caucfil

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
2		caucfil.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uztrn2 12761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
4	3	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
5		simpll3 1215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
6	5	fdmd 6669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → dom 𝐹 = 𝑍)
7	4, 6	eleqtrrd 2836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
8	5, 4	ffvelcdmd 7027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
9	7, 8	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋))
10	9	biantrurd 532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
11		uzss 12765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (ℤ≥‘𝑘) ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (ℤ≥‘𝑘) ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
13	12	sseld 3929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)))
14	13	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘))))
15	14	imbi1d 341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
16		impexp 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
17	15, 16	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))))
18	17	ralbidv2 3152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
19	10, 18	bitr3d 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
20	1, 19	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
21	20	ralbidva 3154	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
22		r19.26-2 3118	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
23		eleq1w 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → (𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
24		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑘))
25	24	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)))
26	25	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
27	23, 26	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → ((𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
28	27	cbvralvw 3211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
29	28	ralbii 3079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
30		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘𝑘))
31	30	eleq2d 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
32		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
33	32	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)))
34	33	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥))
35	31, 34	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥)))
36		eleq1w 2816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → (𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
37		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑚))
38	37	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)))
39	38	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
40	36, 39	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → ((𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
41	35, 40	cbvral2vw 3215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
42		ralcom 3261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
43	29, 41, 42	3bitr3i 301	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
44	43	anbi2i 623	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
45		anidm 564	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
46	22, 44, 45	3bitr2i 299	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
47		simpll1 1213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
48		simpll3 1215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
49	2	uztrn2 12761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑚 ∈ 𝑍)
50	49	ad2ant2l 746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑚 ∈ 𝑍)
51	48, 50	ffvelcdmd 7027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋)
52	8	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
53		xmetsym 24282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)))
54	47, 51, 52, 53	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)))
55	54	breq1d 5105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
56	55	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
57	56	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))))
58		jaob 963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
59		eluzelz 12752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
60		eluzelz 12752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑚 ∈ ℤ)
61		uztric 12766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
62	59, 60, 61	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
63	62	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
64		pm5.5 361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
66	58, 65	bitr3id 285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
67	57, 66	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
68	67	2ralbidva 3195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
69	46, 68	bitr3id 285	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
70	21, 69	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
71	70	rexbidva 3155	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
72		uzf 12745	. . . . . 6 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
73		ffn 6659	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ≥ Fn ℤ)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℤ≥ Fn ℤ
75		uzssz 12763	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
76	2, 75	eqsstri 3977	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
77		raleq 3290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
78	77	raleqbi1dv 3305	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
79	78	rexima 7181	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥ Fn ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → (∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
80	74, 76, 79	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)
81	71, 80	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
82	81	ralbidv 3156	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
83		elfvdm 6865	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
84	83	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
85		cnex 11098	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
86	84, 85	jctir 520	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V))
87		zsscn 12487	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
88	76, 87	sstri 3940	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
89	88	jctr 524	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑍⟶𝑋 → (𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ))
90		elpm2r 8778	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
91	86, 89, 90	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
92		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
93		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
94	2, 92, 93	iscau3 25225	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))))
95	94	baibd 539	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
96	91, 95	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
97	96	3impa 1109	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
98		caucfil.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍))
99	98	eleq1i 2824	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷))
100	2	uzfbas 23833	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥ “ 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
101		fmcfil 25219	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (ℤ≥ “ 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
102	100, 101	syl3an2 1164	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
103	99, 102	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
104	82, 97, 103	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  𝒫 cpw 4551   class class class wbr 5095  dom cdm 5621   “ cima 5624   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ↑_pm cpm 8760  ℂcc 11015   < clt 11157  ℤcz 12479  ℤ_≥cuz 12742  ℝ⁺crp 12896  ∞Metcxmet 21285  fBascfbas 21288   FilMap cfm 23868  CauFilccfil 25199  Cauccau 25200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ico 13258  df-rest 17333  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-bl 21295  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-fil 23781  df-fm 23873  df-cfil 25202  df-cau 25203

This theorem is referenced by:  cmetcaulem  25235