Theorem caucfil 24352

Description: A Cauchy sequence predicate can be expressed in terms of the Cauchy filter predicate for a suitably chosen filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucfil.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caucfil.2	⊢ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
caucfil	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷)))

Proof of Theorem caucfil

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
2		caucfil.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uztrn2 12530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
4	3	adantll 710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
5		simpll3 1212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
6	5	fdmd 6595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → dom 𝐹 = 𝑍)
7	4, 6	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
8	5, 4	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
9	7, 8	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋))
10	9	biantrurd 532	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
11		uzss 12534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (ℤ≥‘𝑘) ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (ℤ≥‘𝑘) ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
13	12	sseld 3916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)))
14	13	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘))))
15	14	imbi1d 341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
16		impexp 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
17	15, 16	bitrdi 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))))
18	17	ralbidv2 3118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
19	10, 18	bitr3d 280	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
20	1, 19	syl5bb 282	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
21	20	ralbidva 3119	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
22		r19.26-2 3095	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
23		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → (𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
24		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑘))
25	24	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)))
26	25	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
27	23, 26	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → ((𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
28	27	cbvralvw 3372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
29	28	ralbii 3090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
30		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘𝑘))
31	30	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
32		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
33	32	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)))
34	33	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥))
35	31, 34	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥)))
36		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → (𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
37		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑚))
38	37	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)))
39	38	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
40	36, 39	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → ((𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
41	35, 40	cbvral2vw 3385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
42		ralcom 3280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
43	29, 41, 42	3bitr3i 300	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
44	43	anbi2i 622	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
45		anidm 564	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
46	22, 44, 45	3bitr2i 298	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
47		simpll1 1210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
48		simpll3 1212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
49	2	uztrn2 12530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑚 ∈ 𝑍)
50	49	ad2ant2l 742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑚 ∈ 𝑍)
51	48, 50	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋)
52	8	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
53		xmetsym 23408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)))
54	47, 51, 52, 53	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)))
55	54	breq1d 5080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
56	55	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
57	56	anbi2d 628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))))
58		jaob 958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
59		eluzelz 12521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
60		eluzelz 12521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑚 ∈ ℤ)
61		uztric 12535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
62	59, 60, 61	syl2an 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
63	62	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
64		pm5.5 361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
66	58, 65	bitr3id 284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
67	57, 66	bitrd 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
68	67	2ralbidva 3121	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
69	46, 68	bitr3id 284	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
70	21, 69	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
71	70	rexbidva 3224	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
72		uzf 12514	. . . . . 6 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
73		ffn 6584	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ≥ Fn ℤ)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℤ≥ Fn ℤ
75		uzssz 12532	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
76	2, 75	eqsstri 3951	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
77		raleq 3333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
78	77	raleqbi1dv 3331	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
79	78	rexima 7095	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥ Fn ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → (∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
80	74, 76, 79	mp2an 688	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)
81	71, 80	bitr4di 288	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
82	81	ralbidv 3120	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
83		elfvdm 6788	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
84	83	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
85		cnex 10883	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
86	84, 85	jctir 520	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V))
87		zsscn 12257	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
88	76, 87	sstri 3926	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
89	88	jctr 524	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑍⟶𝑋 → (𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ))
90		elpm2r 8591	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
91	86, 89, 90	syl2an 595	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
92		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
93		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
94	2, 92, 93	iscau3 24347	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))))
95	94	baibd 539	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
96	91, 95	syldan 590	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
97	96	3impa 1108	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
98		caucfil.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍))
99	98	eleq1i 2829	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷))
100	2	uzfbas 22957	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥ “ 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
101		fmcfil 24341	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (ℤ≥ “ 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
102	100, 101	syl3an2 1162	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
103	99, 102	syl5bb 282	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
104	82, 97, 103	3bitr4d 310	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530   class class class wbr 5070  dom cdm 5580   “ cima 5583   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_pm cpm 8574  ℂcc 10800   < clt 10940  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659  ∞Metcxmet 20495  fBascfbas 20498   FilMap cfm 22992  CauFilccfil 24321  Cauccau 24322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ico 13014  df-rest 17050  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-bl 20505  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-fil 22905  df-fm 22997  df-cfil 24324  df-cau 24325

This theorem is referenced by:  cmetcaulem  24357