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Theorem caucfil 25317
Description: A Cauchy sequence predicate can be expressed in terms of the Cauchy filter predicate for a suitably chosen filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
caucfil.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caucfil.2 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍))
Assertion
Ref Expression
caucfil ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷)))

Proof of Theorem caucfil
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1089 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
2 caucfil.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (ℤ𝑀)
32uztrn2 12897 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
43adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
5 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:𝑍𝑋)
65fdmd 6746 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → dom 𝐹 = 𝑍)
74, 6eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
85, 4ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
97, 8jca 511 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋))
109biantrurd 532 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
11 uzss 12901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
1211adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
1312sseld 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)))
1413pm4.71rd 562 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘))))
1514imbi1d 341 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
16 impexp 450 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
1715, 16bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
1817ralbidv2 3174 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
1910, 18bitr3d 281 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
201, 19bitrid 283 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
2120ralbidva 3176 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
22 r19.26-2 3138 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
23 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑘 → (𝑢 ∈ (ℤ𝑚) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
24 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑘 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑘))
2524oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑘 → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)))
2625breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑘 → (((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
2723, 26imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑘 → ((𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
2827cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑢 ∈ (ℤ𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
2928ralbii 3093 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑢 ∈ (ℤ𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
30 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑘 → (ℤ𝑚) = (ℤ𝑘))
3130eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (𝑢 ∈ (ℤ𝑚) ↔ 𝑢 ∈ (ℤ𝑘)))
32 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
3332oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)))
3433breq1d 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥))
3531, 34imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑢 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥)))
36 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑚 → (𝑢 ∈ (ℤ𝑘) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)))
37 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑚 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑚))
3837oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑚 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)))
3938breq1d 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑚 → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
4036, 39imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑚 → ((𝑢 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
4135, 40cbvral2vw 3241 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑢 ∈ (ℤ𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
42 ralcom 3289 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
4329, 41, 423bitr3i 301 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
4443anbi2i 623 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
45 anidm 564 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
4622, 44, 453bitr2i 299 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
47 simpll1 1213 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
48 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐹:𝑍𝑋)
492uztrn2 12897 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑚𝑍)
5049ad2ant2l 746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑚𝑍)
5148, 50ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑚) ∈ 𝑋)
528adantrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
53 xmetsym 24357 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)))
5447, 51, 52, 53syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)))
5554breq1d 5153 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
5655imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
5756anbi2d 630 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
58 jaob 964 . . . . . . . . . 10 (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
59 eluzelz 12888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
60 eluzelz 12888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑚 ∈ ℤ)
61 uztric 12902 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
6259, 60, 61syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
6362adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
64 pm5.5 361 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6658, 65bitr3id 285 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6757, 66bitrd 279 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
68672ralbidva 3219 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6946, 68bitr3id 285 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7021, 69bitrd 279 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7170rexbidva 3177 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
72 uzf 12881 . . . . . 6 :ℤ⟶𝒫 ℤ
73 ffn 6736 . . . . . 6 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
7472, 73ax-mp 5 . . . . 5 Fn ℤ
75 uzssz 12899 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
762, 75eqsstri 4030 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℤ
77 raleq 3323 . . . . . . 7 (𝑢 = (ℤ𝑗) → (∀𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7877raleqbi1dv 3338 . . . . . 6 (𝑢 = (ℤ𝑗) → (∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7978rexima 7258 . . . . 5 ((ℤ Fn ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → (∃𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
8074, 76, 79mp2an 692 . . . 4 (∃𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)
8171, 80bitr4di 289 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
8281ralbidv 3178 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
83 elfvdm 6943 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
8483adantr 480 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
85 cnex 11236 . . . . . 6 ℂ ∈ V
8684, 85jctir 520 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V))
87 zsscn 12621 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℂ
8876, 87sstri 3993 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℂ
8988jctr 524 . . . . 5 (𝐹:𝑍𝑋 → (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ))
90 elpm2r 8885 . . . . 5 (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
9186, 89, 90syl2an 596 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
92 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
93 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
942, 92, 93iscau3 25312 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
9594baibd 539 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
9691, 95syldan 591 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
97963impa 1110 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
98 caucfil.2 . . . 4 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍))
9998eleq1i 2832 . . 3 (𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷))
1002uzfbas 23906 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
101 fmcfil 25306 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
102100, 101syl3an2 1165 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
10399, 102bitrid 283 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
10482, 97, 1033bitr4d 311 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cima 5688   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  pm cpm 8867  cc 11153   < clt 11295  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  ∞Metcxmet 21349  fBascfbas 21352   FilMap cfm 23941  CauFilccfil 25286  Cauccau 25287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-rest 17467  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-bl 21359  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-fil 23854  df-fm 23946  df-cfil 25289  df-cau 25290
This theorem is referenced by:  cmetcaulem  25322
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