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Theorem caucfil 25296
Description: A Cauchy sequence predicate can be expressed in terms of the Cauchy filter predicate for a suitably chosen filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
caucfil.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caucfil.2 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍))
Assertion
Ref Expression
caucfil ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷)))

Proof of Theorem caucfil
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1086 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
2 caucfil.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (ℤ𝑀)
32uztrn2 12884 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
43adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
5 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:𝑍𝑋)
65fdmd 6727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → dom 𝐹 = 𝑍)
74, 6eleqtrrd 2829 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
85, 4ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
97, 8jca 510 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋))
109biantrurd 531 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
11 uzss 12888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
1211adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
1312sseld 3977 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)))
1413pm4.71rd 561 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘))))
1514imbi1d 340 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
16 impexp 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
1715, 16bitrdi 286 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
1817ralbidv2 3164 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
1910, 18bitr3d 280 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
201, 19bitrid 282 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
2120ralbidva 3166 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
22 r19.26-2 3128 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
23 eleq1w 2809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑘 → (𝑢 ∈ (ℤ𝑚) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
24 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑘 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑘))
2524oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑘 → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)))
2625breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑘 → (((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
2723, 26imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑘 → ((𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
2827cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑢 ∈ (ℤ𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
2928ralbii 3083 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑢 ∈ (ℤ𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
30 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑘 → (ℤ𝑚) = (ℤ𝑘))
3130eleq2d 2812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (𝑢 ∈ (ℤ𝑚) ↔ 𝑢 ∈ (ℤ𝑘)))
32 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
3332oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)))
3433breq1d 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥))
3531, 34imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑢 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥)))
36 eleq1w 2809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑚 → (𝑢 ∈ (ℤ𝑘) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)))
37 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑚 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑚))
3837oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑚 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)))
3938breq1d 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑚 → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
4036, 39imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑚 → ((𝑢 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
4135, 40cbvral2vw 3229 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑢 ∈ (ℤ𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
42 ralcom 3277 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
4329, 41, 423bitr3i 300 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
4443anbi2i 621 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
45 anidm 563 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
4622, 44, 453bitr2i 298 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
47 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
48 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐹:𝑍𝑋)
492uztrn2 12884 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑚𝑍)
5049ad2ant2l 744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑚𝑍)
5148, 50ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑚) ∈ 𝑋)
528adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
53 xmetsym 24338 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)))
5447, 51, 52, 53syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)))
5554breq1d 5153 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
5655imbi2d 339 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
5756anbi2d 628 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
58 jaob 959 . . . . . . . . . 10 (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
59 eluzelz 12875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
60 eluzelz 12875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑚 ∈ ℤ)
61 uztric 12889 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
6259, 60, 61syl2an 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
6362adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
64 pm5.5 360 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6658, 65bitr3id 284 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6757, 66bitrd 278 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
68672ralbidva 3207 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6946, 68bitr3id 284 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7021, 69bitrd 278 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7170rexbidva 3167 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
72 uzf 12868 . . . . . 6 :ℤ⟶𝒫 ℤ
73 ffn 6717 . . . . . 6 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
7472, 73ax-mp 5 . . . . 5 Fn ℤ
75 uzssz 12886 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
762, 75eqsstri 4013 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℤ
77 raleq 3312 . . . . . . 7 (𝑢 = (ℤ𝑗) → (∀𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7877raleqbi1dv 3323 . . . . . 6 (𝑢 = (ℤ𝑗) → (∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7978rexima 7243 . . . . 5 ((ℤ Fn ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → (∃𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
8074, 76, 79mp2an 690 . . . 4 (∃𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)
8171, 80bitr4di 288 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
8281ralbidv 3168 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
83 elfvdm 6927 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
8483adantr 479 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
85 cnex 11227 . . . . . 6 ℂ ∈ V
8684, 85jctir 519 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V))
87 zsscn 12609 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℂ
8876, 87sstri 3988 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℂ
8988jctr 523 . . . . 5 (𝐹:𝑍𝑋 → (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ))
90 elpm2r 8863 . . . . 5 (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
9186, 89, 90syl2an 594 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
92 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
93 simpr 483 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
942, 92, 93iscau3 25291 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
9594baibd 538 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
9691, 95syldan 589 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
97963impa 1107 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
98 caucfil.2 . . . 4 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍))
9998eleq1i 2817 . . 3 (𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷))
1002uzfbas 23887 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
101 fmcfil 25285 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
102100, 101syl3an2 1161 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
10399, 102bitrid 282 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
10482, 97, 1033bitr4d 310 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wrex 3060  Vcvv 3462  wss 3946  𝒫 cpw 4597   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  cima 5675   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7413  pm cpm 8845  cc 11144   < clt 11286  cz 12601  cuz 12865  +crp 13019  ∞Metcxmet 21321  fBascfbas 21324   FilMap cfm 23922  CauFilccfil 25265  Cauccau 25266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8846  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-2 12318  df-z 12602  df-uz 12866  df-rp 13020  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ico 13375  df-rest 17429  df-psmet 21328  df-xmet 21329  df-bl 21331  df-fbas 21333  df-fg 21334  df-fil 23835  df-fm 23927  df-cfil 25268  df-cau 25269
This theorem is referenced by:  cmetcaulem  25301
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