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Theorem caucfil 24800
Description: A Cauchy sequence predicate can be expressed in terms of the Cauchy filter predicate for a suitably chosen filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
caucfil.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
caucfil.2 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(β„€β‰₯ β€œ 𝑍))
Assertion
Ref Expression
caucfil ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ 𝐿 ∈ (CauFilβ€˜π·)))

Proof of Theorem caucfil
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘š 𝑒 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1090 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
2 caucfil.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
32uztrn2 12841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
43adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
5 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
65fdmd 6729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
74, 6eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
85, 4ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
97, 8jca 513 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋))
109biantrurd 534 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
11 uzss 12845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘—))
1211adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘—))
1312sseld 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)))
1413pm4.71rd 564 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↔ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))))
1514imbi1d 342 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
16 impexp 452 . . . . . . . . . . 11 (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
1715, 16bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))))
1817ralbidv2 3174 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
1910, 18bitr3d 281 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
201, 19bitrid 283 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
2120ralbidva 3176 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
22 r19.26-2 3139 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)))
23 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = π‘˜ β†’ (𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)))
24 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘˜))
2524oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) = ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
2625breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = π‘˜ β†’ (((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
2723, 26imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = π‘˜ β†’ ((𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)))
2827cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘’ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
2928ralbii 3094 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘’ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
30 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = π‘˜ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘š) = (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
3130eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = π‘˜ β†’ (𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) ↔ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)))
32 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘˜))
3332oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘’)))
3433breq1d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = π‘˜ β†’ (((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯))
3531, 34imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = π‘˜ β†’ ((𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯) ↔ (𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯)))
36 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = π‘š β†’ (𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↔ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)))
37 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘š))
3837oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)))
3938breq1d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = π‘š β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
4036, 39imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = π‘š β†’ ((𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯) ↔ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
4135, 40cbvral2vw 3239 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘’ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
42 ralcom 3287 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
4329, 41, 423bitr3i 301 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
4443anbi2i 624 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)))
45 anidm 566 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
4622, 44, 453bitr2i 299 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
47 simpll1 1213 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
48 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
492uztrn2 12841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
5049ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
5148, 50ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋)
528adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
53 xmetsym 23853 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)))
5447, 51, 52, 53syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)))
5554breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
5655imbi2d 341 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
5756anbi2d 630 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)) ↔ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))))
58 jaob 961 . . . . . . . . . 10 (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
59 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
60 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ π‘š ∈ β„€)
61 uztric 12846 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)))
6259, 60, 61syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)))
6362adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)))
64 pm5.5 362 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
6658, 65bitr3id 285 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
6757, 66bitrd 279 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
68672ralbidva 3217 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
6946, 68bitr3id 285 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
7021, 69bitrd 279 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
7170rexbidva 3177 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
72 uzf 12825 . . . . . 6 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
73 ffn 6718 . . . . . 6 (β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€ β†’ β„€β‰₯ Fn β„€)
7472, 73ax-mp 5 . . . . 5 β„€β‰₯ Fn β„€
75 uzssz 12843 . . . . . 6 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
762, 75eqsstri 4017 . . . . 5 𝑍 βŠ† β„€
77 raleq 3323 . . . . . . 7 (𝑒 = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
7877raleqbi1dv 3334 . . . . . 6 (𝑒 = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
7978rexima 7239 . . . . 5 ((β„€β‰₯ Fn β„€ ∧ 𝑍 βŠ† β„€) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
8074, 76, 79mp2an 691 . . . 4 (βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)
8171, 80bitr4di 289 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
8281ralbidv 3178 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
83 elfvdm 6929 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
8483adantr 482 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
85 cnex 11191 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
8684, 85jctir 522 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V))
87 zsscn 12566 . . . . . . 7 β„€ βŠ† β„‚
8876, 87sstri 3992 . . . . . 6 𝑍 βŠ† β„‚
8988jctr 526 . . . . 5 (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑍 βŠ† β„‚))
90 elpm2r 8839 . . . . 5 (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V) ∧ (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑍 βŠ† β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
9186, 89, 90syl2an 597 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
92 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
93 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
942, 92, 93iscau3 24795 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))))
9594baibd 541 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
9691, 95syldan 592 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
97963impa 1111 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
98 caucfil.2 . . . 4 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(β„€β‰₯ β€œ 𝑍))
9998eleq1i 2825 . . 3 (𝐿 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(β„€β‰₯ β€œ 𝑍)) ∈ (CauFilβ€˜π·))
1002uzfbas 23402 . . . 4 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍) ∈ (fBasβ€˜π‘))
101 fmcfil 24789 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍) ∈ (fBasβ€˜π‘) ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(β„€β‰₯ β€œ 𝑍)) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
102100, 101syl3an2 1165 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(β„€β‰₯ β€œ 𝑍)) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
10399, 102bitrid 283 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐿 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
10482, 97, 1033bitr4d 311 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ 𝐿 ∈ (CauFilβ€˜π·)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149  dom cdm 5677   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108   < clt 11248  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  βˆžMetcxmet 20929  fBascfbas 20932   FilMap cfm 23437  CauFilccfil 24769  Cauccau 24770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-rest 17368  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-bl 20939  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-fil 23350  df-fm 23442  df-cfil 24772  df-cau 24773
This theorem is referenced by:  cmetcaulem  24805
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