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Theorem caucfil 23291
Description: A Cauchy sequence predicate can be expressed in terms of the Cauchy filter predicate for a suitably chosen filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
caucfil.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
caucfil.2 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍))
Assertion
Ref Expression
caucfil ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷)))

Proof of Theorem caucfil
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1102 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
2 caucfil.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (ℤ𝑀)
32uztrn2 11918 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
43adantll 696 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
5 simpll3 1266 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:𝑍𝑋)
65fdmd 6261 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → dom 𝐹 = 𝑍)
74, 6eleqtrrd 2888 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
85, 4ffvelrnd 6578 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
97, 8jca 503 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋))
109biantrurd 524 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
11 uzss 11921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
1211adantl 469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
1312sseld 3797 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)))
1413pm4.71rd 554 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘))))
1514imbi1d 332 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
16 impexp 439 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
1715, 16syl6bb 278 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
1817ralbidv2 3172 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
1910, 18bitr3d 272 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
201, 19syl5bb 274 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
2120ralbidva 3173 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
22 r19.26-2 3253 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
23 eleq1w 2868 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑘 → (𝑢 ∈ (ℤ𝑚) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
24 fveq2 6404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑘 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑘))
2524oveq2d 6886 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑘 → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)))
2625breq1d 4854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑘 → (((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
2723, 26imbi12d 335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑘 → ((𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
2827cbvralv 3360 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑢 ∈ (ℤ𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
2928ralbii 3168 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑢 ∈ (ℤ𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
30 fveq2 6404 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑘 → (ℤ𝑚) = (ℤ𝑘))
3130eleq2d 2871 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (𝑢 ∈ (ℤ𝑚) ↔ 𝑢 ∈ (ℤ𝑘)))
32 fveq2 6404 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
3332oveq1d 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)))
3433breq1d 4854 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥))
3531, 34imbi12d 335 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑢 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥)))
36 eleq1w 2868 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑚 → (𝑢 ∈ (ℤ𝑘) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)))
37 fveq2 6404 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑚 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑚))
3837oveq2d 6886 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑚 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)))
3938breq1d 4854 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑚 → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
4036, 39imbi12d 335 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑚 → ((𝑢 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
4135, 40cbvral2v 3368 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑢 ∈ (ℤ𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
42 ralcom 3286 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
4329, 41, 423bitr3i 292 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥))
4443anbi2i 611 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
45 anidm 556 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
4622, 44, 453bitr2i 290 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
47 simpll1 1262 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
48 simpll3 1266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐹:𝑍𝑋)
492uztrn2 11918 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑚𝑍)
5049ad2ant2l 743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑚𝑍)
5148, 50ffvelrnd 6578 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑚) ∈ 𝑋)
528adantrr 699 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
53 xmetsym 22362 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)))
5447, 51, 52, 53syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)))
5554breq1d 4854 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
5655imbi2d 331 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
5756anbi2d 616 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
58 jaob 975 . . . . . . . . . 10 (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
59 eluzelz 11910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
60 eluzelz 11910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑚 ∈ ℤ)
61 uztric 11922 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
6259, 60, 61syl2an 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
6362adantl 469 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)))
64 pm5.5 352 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6658, 65syl5bbr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6757, 66bitrd 270 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
68672ralbidva 3176 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ𝑚) → ((𝐹𝑚)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
6946, 68syl5bbr 276 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ𝑘) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7021, 69bitrd 270 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7170rexbidva 3237 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
72 uzf 11903 . . . . . 6 :ℤ⟶𝒫 ℤ
73 ffn 6252 . . . . . 6 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
7472, 73ax-mp 5 . . . . 5 Fn ℤ
75 uzssz 11920 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
762, 75eqsstri 3832 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℤ
77 raleq 3327 . . . . . . 7 (𝑢 = (ℤ𝑗) → (∀𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7877raleqbi1dv 3335 . . . . . 6 (𝑢 = (ℤ𝑗) → (∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
7978rexima 6718 . . . . 5 ((ℤ Fn ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → (∃𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
8074, 76, 79mp2an 675 . . . 4 (∃𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)
8171, 80syl6bbr 280 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
8281ralbidv 3174 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
83 elfvdm 6436 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
8483adantr 468 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
85 cnex 10298 . . . . . 6 ℂ ∈ V
8684, 85jctir 512 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V))
87 zsscn 11647 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℂ
8876, 87sstri 3807 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℂ
8988jctr 516 . . . . 5 (𝐹:𝑍𝑋 → (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ))
90 elpm2r 8106 . . . . 5 (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
9186, 89, 90syl2an 585 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
92 simpl 470 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
93 simpr 473 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
942, 92, 93iscau3 23286 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))))
9594baibd 531 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
9691, 95syldan 581 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
97963impa 1129 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥)))
98 caucfil.2 . . . 4 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍))
9998eleq1i 2876 . . 3 (𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷))
1002uzfbas 21912 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
101 fmcfil 23280 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
102100, 101syl3an2 1196 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
10399, 102syl5bb 274 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (ℤ𝑍)∀𝑘𝑢𝑚𝑢 ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑚)) < 𝑥))
10482, 97, 1033bitr4d 302 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wral 3096  wrex 3097  Vcvv 3391  wss 3769  𝒫 cpw 4351   class class class wbr 4844  dom cdm 5311  cima 5314   Fn wfn 6092  wf 6093  cfv 6097  (class class class)co 6870  pm cpm 8089  cc 10215   < clt 10355  cz 11639  cuz 11900  +crp 12042  ∞Metcxmt 19935  fBascfbas 19938   FilMap cfm 21947  CauFilccfil 23260  Caucca 23261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-er 7975  df-map 8090  df-pm 8091  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-z 11640  df-uz 11901  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-ico 12395  df-rest 16284  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-bl 19945  df-fbas 19947  df-fg 19948  df-fil 21860  df-fm 21952  df-cfil 23263  df-cau 23264
This theorem is referenced by:  cmetcaulem  23296
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