Theorem caucfil 23291

Description: A Cauchy sequence predicate can be expressed in terms of the Cauchy filter predicate for a suitably chosen filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucfil.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caucfil.2	⊢ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
caucfil	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷)))

Proof of Theorem caucfil

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
2		caucfil.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uztrn2 11918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
4	3	adantll 696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
5		simpll3 1266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
6	5	fdmd 6261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → dom 𝐹 = 𝑍)
7	4, 6	eleqtrrd 2888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
8	5, 4	ffvelrnd 6578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
9	7, 8	jca 503	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋))
10	9	biantrurd 524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
11		uzss 11921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (ℤ≥‘𝑘) ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
12	11	adantl 469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (ℤ≥‘𝑘) ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
13	12	sseld 3797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)))
14	13	pm4.71rd 554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘))))
15	14	imbi1d 332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
16		impexp 439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
17	15, 16	syl6bb 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))))
18	17	ralbidv2 3172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
19	10, 18	bitr3d 272	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
20	1, 19	syl5bb 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
21	20	ralbidva 3173	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
22		r19.26-2 3253	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
23		eleq1w 2868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → (𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
24		fveq2 6404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑘))
25	24	oveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)))
26	25	breq1d 4854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
27	23, 26	imbi12d 335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑘 → ((𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
28	27	cbvralv 3360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
29	28	ralbii 3168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
30		fveq2 6404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘𝑘))
31	30	eleq2d 2871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
32		fveq2 6404	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
33	32	oveq1d 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)))
34	33	breq1d 4854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥))
35	31, 34	imbi12d 335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥)))
36		eleq1w 2868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → (𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
37		fveq2 6404	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → (𝐹‘𝑢) = (𝐹‘𝑚))
38	37	oveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)))
39	38	breq1d 4854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
40	36, 39	imbi12d 335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑚 → ((𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
41	35, 40	cbvral2v 3368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑢)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
42		ralcom 3286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
43	29, 41, 42	3bitr3i 292	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥))
44	43	anbi2i 611	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
45		anidm 556	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
46	22, 44, 45	3bitr2i 290	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
47		simpll1 1262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
48		simpll3 1266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
49	2	uztrn2 11918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑚 ∈ 𝑍)
50	49	ad2ant2l 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑚 ∈ 𝑍)
51	48, 50	ffvelrnd 6578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋)
52	8	adantrr 699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
53		xmetsym 22362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑚) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)))
54	47, 51, 52, 53	syl3anc 1483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)))
55	54	breq1d 4854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
56	55	imbi2d 331	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
57	56	anbi2d 616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))))
58		jaob 975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
59		eluzelz 11910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
60		eluzelz 11910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑚 ∈ ℤ)
61		uztric 11922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
62	59, 60, 61	syl2an 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
63	62	adantl 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)))
64		pm5.5 352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
66	58, 65	syl5bbr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
67	57, 66	bitrd 270	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
68	67	2ralbidva 3176	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚) → ((𝐹‘𝑚)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
69	46, 68	syl5bbr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
70	21, 69	bitrd 270	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
71	70	rexbidva 3237	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
72		uzf 11903	. . . . . 6 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
73		ffn 6252	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ≥ Fn ℤ)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℤ≥ Fn ℤ
75		uzssz 11920	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
76	2, 75	eqsstri 3832	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
77		raleq 3327	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
78	77	raleqbi1dv 3335	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
79	78	rexima 6718	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥ Fn ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → (∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
80	74, 76, 79	mp2an 675	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)
81	71, 80	syl6bbr 280	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
82	81	ralbidv 3174	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
83		elfvdm 6436	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
84	83	adantr 468	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
85		cnex 10298	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
86	84, 85	jctir 512	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V))
87		zsscn 11647	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
88	76, 87	sstri 3807	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
89	88	jctr 516	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑍⟶𝑋 → (𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ))
90		elpm2r 8106	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
91	86, 89, 90	syl2an 585	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
92		simpl 470	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
93		simpr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
94	2, 92, 93	iscau3 23286	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))))
95	94	baibd 531	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
96	91, 95	syldan 581	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
97	96	3impa 1129	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥)))
98		caucfil.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍))
99	98	eleq1i 2876	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷))
100	2	uzfbas 21912	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥ “ 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
101		fmcfil 23280	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (ℤ≥ “ 𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
102	100, 101	syl3an2 1196	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘(ℤ≥ “ 𝑍)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
103	99, 102	syl5bb 274	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑢 ∈ (ℤ≥ “ 𝑍)∀𝑘 ∈ 𝑢 ∀𝑚 ∈ 𝑢 ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑚)) < 𝑥))
104	82, 97, 103	3bitr4d 302	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐿 ∈ (CauFil‘𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∨ wo 865   ∧ w3a 1100   = wceq 1637   ∈ wcel 2156  ∀wral 3096  ∃wrex 3097  Vcvv 3391   ⊆ wss 3769  𝒫 cpw 4351   class class class wbr 4844  dom cdm 5311   “ cima 5314   Fn wfn 6092  ⟶wf 6093  ‘cfv 6097  (class class class)co 6870   ↑_pm cpm 8089  ℂcc 10215   < clt 10355  ℤcz 11639  ℤ_≥cuz 11900  ℝ⁺crp 12042  ∞Metcxmt 19935  fBascfbas 19938   FilMap cfm 21947  CauFilccfil 23260  Caucca 23261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-er 7975  df-map 8090  df-pm 8091  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-z 11640  df-uz 11901  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-ico 12395  df-rest 16284  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-bl 19945  df-fbas 19947  df-fg 19948  df-fil 21860  df-fm 21952  df-cfil 23263  df-cau 23264

This theorem is referenced by:  cmetcaulem  23296