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Theorem caucfil 25031
Description: A Cauchy sequence predicate can be expressed in terms of the Cauchy filter predicate for a suitably chosen filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
caucfil.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
caucfil.2 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(β„€β‰₯ β€œ 𝑍))
Assertion
Ref Expression
caucfil ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ 𝐿 ∈ (CauFilβ€˜π·)))

Proof of Theorem caucfil
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘š 𝑒 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1087 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
2 caucfil.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
32uztrn2 12845 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
43adantll 710 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
5 simpll3 1212 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
65fdmd 6727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
74, 6eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
85, 4ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
97, 8jca 510 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋))
109biantrurd 531 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
11 uzss 12849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘—))
1211adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘—))
1312sseld 3980 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)))
1413pm4.71rd 561 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↔ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))))
1514imbi1d 340 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
16 impexp 449 . . . . . . . . . . 11 (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
1715, 16bitrdi 286 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))))
1817ralbidv2 3171 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
1910, 18bitr3d 280 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
201, 19bitrid 282 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
2120ralbidva 3173 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
22 r19.26-2 3136 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)))
23 eleq1w 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = π‘˜ β†’ (𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)))
24 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘˜))
2524oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) = ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
2625breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = π‘˜ β†’ (((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
2723, 26imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = π‘˜ β†’ ((𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)))
2827cbvralvw 3232 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘’ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
2928ralbii 3091 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘’ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
30 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = π‘˜ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘š) = (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
3130eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = π‘˜ β†’ (𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) ↔ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)))
32 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘˜))
3332oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘’)))
3433breq1d 5157 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = π‘˜ β†’ (((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯))
3531, 34imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = π‘˜ β†’ ((𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯) ↔ (𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯)))
36 eleq1w 2814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = π‘š β†’ (𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↔ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)))
37 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘š))
3837oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)))
3938breq1d 5157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = π‘š β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
4036, 39imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = π‘š β†’ ((𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯) ↔ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
4135, 40cbvral2vw 3236 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘’ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
42 ralcom 3284 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
4329, 41, 423bitr3i 300 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
4443anbi2i 621 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)))
45 anidm 563 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
4622, 44, 453bitr2i 298 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
47 simpll1 1210 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
48 simpll3 1212 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
492uztrn2 12845 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
5049ad2ant2l 742 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
5148, 50ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋)
528adantrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
53 xmetsym 24073 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)))
5447, 51, 52, 53syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)))
5554breq1d 5157 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
5655imbi2d 339 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
5756anbi2d 627 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)) ↔ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))))
58 jaob 958 . . . . . . . . . 10 (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
59 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
60 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ π‘š ∈ β„€)
61 uztric 12850 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)))
6259, 60, 61syl2an 594 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)))
6362adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)))
64 pm5.5 360 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
6658, 65bitr3id 284 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
6757, 66bitrd 278 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
68672ralbidva 3214 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
6946, 68bitr3id 284 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
7021, 69bitrd 278 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
7170rexbidva 3174 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
72 uzf 12829 . . . . . 6 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
73 ffn 6716 . . . . . 6 (β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€ β†’ β„€β‰₯ Fn β„€)
7472, 73ax-mp 5 . . . . 5 β„€β‰₯ Fn β„€
75 uzssz 12847 . . . . . 6 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
762, 75eqsstri 4015 . . . . 5 𝑍 βŠ† β„€
77 raleq 3320 . . . . . . 7 (𝑒 = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
7877raleqbi1dv 3331 . . . . . 6 (𝑒 = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
7978rexima 7240 . . . . 5 ((β„€β‰₯ Fn β„€ ∧ 𝑍 βŠ† β„€) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
8074, 76, 79mp2an 688 . . . 4 (βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)
8171, 80bitr4di 288 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
8281ralbidv 3175 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
83 elfvdm 6927 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
8483adantr 479 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
85 cnex 11193 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
8684, 85jctir 519 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V))
87 zsscn 12570 . . . . . . 7 β„€ βŠ† β„‚
8876, 87sstri 3990 . . . . . 6 𝑍 βŠ† β„‚
8988jctr 523 . . . . 5 (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑍 βŠ† β„‚))
90 elpm2r 8841 . . . . 5 (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V) ∧ (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑍 βŠ† β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
9186, 89, 90syl2an 594 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
92 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
93 simpr 483 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
942, 92, 93iscau3 25026 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))))
9594baibd 538 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
9691, 95syldan 589 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
97963impa 1108 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
98 caucfil.2 . . . 4 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(β„€β‰₯ β€œ 𝑍))
9998eleq1i 2822 . . 3 (𝐿 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(β„€β‰₯ β€œ 𝑍)) ∈ (CauFilβ€˜π·))
1002uzfbas 23622 . . . 4 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍) ∈ (fBasβ€˜π‘))
101 fmcfil 25020 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍) ∈ (fBasβ€˜π‘) ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(β„€β‰₯ β€œ 𝑍)) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
102100, 101syl3an2 1162 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(β„€β‰₯ β€œ 𝑍)) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
10399, 102bitrid 282 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐿 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
10482, 97, 1033bitr4d 310 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ 𝐿 ∈ (CauFilβ€˜π·)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601   class class class wbr 5147  dom cdm 5675   β€œ cima 5678   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑pm cpm 8823  β„‚cc 11110   < clt 11252  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12978  βˆžMetcxmet 21129  fBascfbas 21132   FilMap cfm 23657  CauFilccfil 25000  Cauccau 25001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-rest 17372  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-bl 21139  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-fil 23570  df-fm 23662  df-cfil 25003  df-cau 25004
This theorem is referenced by:  cmetcaulem  25036
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