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Theorem caucfil 24663
Description: A Cauchy sequence predicate can be expressed in terms of the Cauchy filter predicate for a suitably chosen filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
caucfil.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
caucfil.2 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(β„€β‰₯ β€œ 𝑍))
Assertion
Ref Expression
caucfil ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ 𝐿 ∈ (CauFilβ€˜π·)))

Proof of Theorem caucfil
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘š 𝑒 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1090 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
2 caucfil.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
32uztrn2 12789 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
43adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
5 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
65fdmd 6684 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
74, 6eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
85, 4ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
97, 8jca 513 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋))
109biantrurd 534 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
11 uzss 12793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘—))
1211adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘—))
1312sseld 3948 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)))
1413pm4.71rd 564 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↔ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))))
1514imbi1d 342 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
16 impexp 452 . . . . . . . . . . 11 (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
1715, 16bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))))
1817ralbidv2 3171 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
1910, 18bitr3d 281 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
201, 19bitrid 283 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
2120ralbidva 3173 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
22 r19.26-2 3136 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)))
23 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = π‘˜ β†’ (𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)))
24 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘˜))
2524oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) = ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
2625breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = π‘˜ β†’ (((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
2723, 26imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = π‘˜ β†’ ((𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)))
2827cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘’ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
2928ralbii 3097 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘’ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
30 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = π‘˜ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘š) = (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
3130eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = π‘˜ β†’ (𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) ↔ 𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)))
32 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘˜))
3332oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘’)))
3433breq1d 5120 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = π‘˜ β†’ (((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯))
3531, 34imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = π‘˜ β†’ ((𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯) ↔ (𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯)))
36 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = π‘š β†’ (𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ↔ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)))
37 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘š))
3837oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)))
3938breq1d 5120 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = π‘š β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
4036, 39imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = π‘š β†’ ((𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯) ↔ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
4135, 40cbvral2vw 3230 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘’ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝑒 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘’)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
42 ralcom 3275 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
4329, 41, 423bitr3i 301 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯))
4443anbi2i 624 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)))
45 anidm 566 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
4622, 44, 453bitr2i 299 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
47 simpll1 1213 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
48 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
492uztrn2 12789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
5049ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
5148, 50ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋)
528adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
53 xmetsym 23716 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘š) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)))
5447, 51, 52, 53syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)))
5554breq1d 5120 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
5655imbi2d 341 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
5756anbi2d 630 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)) ↔ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))))
58 jaob 961 . . . . . . . . . 10 (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
59 eluzelz 12780 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
60 eluzelz 12780 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ π‘š ∈ β„€)
61 uztric 12794 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)))
6259, 60, 61syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)))
6362adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)))
64 pm5.5 362 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
6658, 65bitr3id 285 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
6757, 66bitrd 279 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
68672ralbidva 3211 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘š) β†’ ((πΉβ€˜π‘š)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
6946, 68bitr3id 285 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
7021, 69bitrd 279 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
7170rexbidva 3174 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
72 uzf 12773 . . . . . 6 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
73 ffn 6673 . . . . . 6 (β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€ β†’ β„€β‰₯ Fn β„€)
7472, 73ax-mp 5 . . . . 5 β„€β‰₯ Fn β„€
75 uzssz 12791 . . . . . 6 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
762, 75eqsstri 3983 . . . . 5 𝑍 βŠ† β„€
77 raleq 3312 . . . . . . 7 (𝑒 = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
7877raleqbi1dv 3310 . . . . . 6 (𝑒 = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
7978rexima 7192 . . . . 5 ((β„€β‰₯ Fn β„€ ∧ 𝑍 βŠ† β„€) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
8074, 76, 79mp2an 691 . . . 4 (βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)
8171, 80bitr4di 289 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
8281ralbidv 3175 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
83 elfvdm 6884 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
8483adantr 482 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
85 cnex 11139 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
8684, 85jctir 522 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V))
87 zsscn 12514 . . . . . . 7 β„€ βŠ† β„‚
8876, 87sstri 3958 . . . . . 6 𝑍 βŠ† β„‚
8988jctr 526 . . . . 5 (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑍 βŠ† β„‚))
90 elpm2r 8790 . . . . 5 (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V) ∧ (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑍 βŠ† β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
9186, 89, 90syl2an 597 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
92 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
93 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
942, 92, 93iscau3 24658 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))))
9594baibd 541 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
9691, 95syldan 592 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
97963impa 1111 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯)))
98 caucfil.2 . . . 4 𝐿 = ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(β„€β‰₯ β€œ 𝑍))
9998eleq1i 2829 . . 3 (𝐿 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(β„€β‰₯ β€œ 𝑍)) ∈ (CauFilβ€˜π·))
1002uzfbas 23265 . . . 4 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍) ∈ (fBasβ€˜π‘))
101 fmcfil 24652 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍) ∈ (fBasβ€˜π‘) ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(β„€β‰₯ β€œ 𝑍)) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
102100, 101syl3an2 1165 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜(β„€β‰₯ β€œ 𝑍)) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
10399, 102bitrid 283 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐿 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘’ ∈ (β„€β‰₯ β€œ 𝑍)βˆ€π‘˜ ∈ 𝑒 βˆ€π‘š ∈ 𝑒 ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘š)) < π‘₯))
10482, 97, 1033bitr4d 311 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ 𝐿 ∈ (CauFilβ€˜π·)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565   class class class wbr 5110  dom cdm 5638   β€œ cima 5641   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑pm cpm 8773  β„‚cc 11056   < clt 11196  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  βˆžMetcxmet 20797  fBascfbas 20800   FilMap cfm 23300  CauFilccfil 24632  Cauccau 24633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ico 13277  df-rest 17311  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-bl 20807  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-fil 23213  df-fm 23305  df-cfil 24635  df-cau 24636
This theorem is referenced by:  cmetcaulem  24668
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