MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caun0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caun0 25222
Description: A metric with a Cauchy sequence cannot be empty. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
caun0 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)

Proof of Theorem caun0
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 13011 . . . 4 1 ∈ ℝ+
21ne0ii 4338 . . 3 ℝ+ β‰  βˆ…
3 iscau2 25218 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
43simplbda 499 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
5 r19.2z 4495 . . 3 ((ℝ+ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
62, 4, 5sylancr 586 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
7 uzid 12868 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
8 ne0i 4335 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β‰  βˆ…)
9 r19.2z 4495 . . . . . . 7 (((β„€β‰₯β€˜π‘—) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
109ex 412 . . . . . 6 ((β„€β‰₯β€˜π‘—) β‰  βˆ… β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
117, 8, 103syl 18 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„€ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
12 ne0i 4335 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
13123ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
1413rexlimivw 3148 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
1511, 14syl6 35 . . . 4 (𝑗 ∈ β„€ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…))
1615rexlimiv 3145 . . 3 (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
1716rexlimivw 3148 . 2 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
186, 17syl 17 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5148  dom cdm 5678  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑pm cpm 8846  β„‚cc 11137  1c1 11140   < clt 11279  β„€cz 12589  β„€β‰₯cuz 12853  β„+crp 13007  βˆžMetcxmet 21264  Cauccau 25194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-xadd 13126  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-bl 21274  df-cau 25197
This theorem is referenced by:  cmetcau  25230
  Copyright terms: Public domain W3C validator