MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  causs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem causs 24737
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
causs ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Proof of Theorem causs
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caufpm 24721 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
2 elfvdm 6910 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3 cnex 11168 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
4 elpmg 8815 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
52, 3, 4sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
65biimpa 477 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
71, 6syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
8 rnss 5925 . . . . . . 7 (𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × 𝑋))
97, 8simpl2im 504 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × 𝑋))
10 rnxpss 6155 . . . . . 6 ran (ℂ × 𝑋) ⊆ 𝑋
119, 10sstrdi 3985 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹𝑋)
1211adantlr 713 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹𝑋)
13 frn 6706 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶𝑌 → ran 𝐹𝑌)
1413ad2antlr 725 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹𝑌)
1512, 14ssind 4223 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌))
1615ex 413 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌)))
17 xmetres 23792 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)))
18 caufpm 24721 . . . . . . . 8 (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ))
1917, 18sylan 580 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ))
20 inex1g 5307 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝑋𝑌) ∈ V)
212, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋𝑌) ∈ V)
22 elpmg 8815 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑌) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)))))
2321, 3, 22sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)))))
2423biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ)) → (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌))))
2519, 24syldan 591 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌))))
26 rnss 5925 . . . . . 6 (𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × (𝑋𝑌)))
2725, 26simpl2im 504 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × (𝑋𝑌)))
28 rnxpss 6155 . . . . 5 ran (ℂ × (𝑋𝑌)) ⊆ (𝑋𝑌)
2927, 28sstrdi 3985 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌))
3029ex 413 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌)))
3130adantr 481 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌)))
32 ffn 6699 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶𝑌𝐹 Fn ℕ)
33 df-f 6531 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌) ↔ (𝐹 Fn ℕ ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌)))
3433simplbi2 501 . . . 4 (𝐹 Fn ℕ → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)))
3532, 34syl 17 . . 3 (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)))
36 inss2 4220 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
3736a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌)
38 fss 6716 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
3937, 38sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
4039ancoms 459 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
41 ffvelcdm 7063 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑌)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑌)
43 eluznn 12879 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → 𝑧 ∈ ℕ)
44 ffvelcdm 7063 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑌)
4543, 44sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦))) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑌)
4645anassrs 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑌)
4742, 46ovresd 7552 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → ((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) = ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)))
4847breq1d 5146 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)) < 𝑥))
4948ralbidva 3174 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)) < 𝑥))
5049rexbidva 3175 . . . . . . 7 (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)) < 𝑥))
5150ralbidv 3176 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)) < 𝑥))
5240, 51syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)) < 𝑥))
53 nnuz 12842 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
5417adantr 481 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)))
55 1zzd 12570 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → 1 ∈ ℤ)
56 eqidd 2732 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
57 eqidd 2732 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
58 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌))
5953, 54, 55, 56, 57, 58iscauf 24719 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) < 𝑥))
60 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
61 id 22 . . . . . . 7 (𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌))
62 inss1 4219 . . . . . . . 8 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
6362a1i 11 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋)
64 fss 6716 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
6561, 63, 64syl2anr 597 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
6653, 60, 55, 56, 57, 65iscauf 24719 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)) < 𝑥))
6752, 59, 663bitr4rd 311 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
6867ex 413 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))))
6935, 68sylan9r 509 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))))
7016, 31, 69pm5.21ndd 380 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3469  cin 3938  wss 3939   class class class wbr 5136   × cxp 5662  dom cdm 5664  ran crn 5665  cres 5666  Fun wfun 6521   Fn wfn 6522  wf 6523  cfv 6527  (class class class)co 7388  pm cpm 8799  cc 11085  1c1 11088   < clt 11225  cn 12189  cuz 12799  +crp 12951  ∞Metcxmet 20856  Cauccau 24692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5287  ax-nul 5294  ax-pow 5351  ax-pr 5415  ax-un 7703  ax-cnex 11143  ax-resscn 11144  ax-1cn 11145  ax-icn 11146  ax-addcl 11147  ax-addrcl 11148  ax-mulcl 11149  ax-mulrcl 11150  ax-mulcom 11151  ax-addass 11152  ax-mulass 11153  ax-distr 11154  ax-i2m1 11155  ax-1ne0 11156  ax-1rid 11157  ax-rnegex 11158  ax-rrecex 11159  ax-cnre 11160  ax-pre-lttri 11161  ax-pre-lttrn 11162  ax-pre-ltadd 11163  ax-pre-mulgt0 11164
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3429  df-v 3471  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4314  df-if 4518  df-pw 4593  df-sn 4618  df-pr 4620  df-op 4624  df-uni 4897  df-iun 4987  df-br 5137  df-opab 5199  df-mpt 5220  df-tr 5254  df-id 5562  df-eprel 5568  df-po 5576  df-so 5577  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6284  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7344  df-ov 7391  df-oprab 7392  df-mpo 7393  df-om 7834  df-1st 7952  df-2nd 7953  df-frecs 8243  df-wrecs 8274  df-recs 8348  df-rdg 8387  df-er 8681  df-map 8800  df-pm 8801  df-en 8918  df-dom 8919  df-sdom 8920  df-pnf 11227  df-mnf 11228  df-xr 11229  df-ltxr 11230  df-le 11231  df-sub 11423  df-neg 11424  df-div 11849  df-nn 12190  df-2 12252  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12952  df-xneg 13069  df-xadd 13070  df-psmet 20863  df-xmet 20864  df-bl 20866  df-cau 24695
This theorem is referenced by:  minvecolem4a  29939  hhsscms  30340
  Copyright terms: Public domain W3C validator