Theorem causs 24367

Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
causs	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Proof of Theorem causs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caufpm 24351	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
2		elfvdm 6788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3		cnex 10883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
4		elpmg 8589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
5	2, 3, 4	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
6	5	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
7	1, 6	syldan 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
8		rnss 5837	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × 𝑋))
9	7, 8	simpl2im 503	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × 𝑋))
10		rnxpss 6064	. . . . . 6 ⊢ ran (ℂ × 𝑋) ⊆ 𝑋
11	9, 10	sstrdi 3929	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ 𝑋)
12	11	adantlr 711	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ 𝑋)
13		frn 6591	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → ran 𝐹 ⊆ 𝑌)
14	13	ad2antlr 723	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ 𝑌)
15	12, 14	ssind 4163	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
16	15	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)))
17		xmetres 23425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
18		caufpm 24351	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ))
19	17, 18	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ))
20		inex1g 5238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
21	2, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
22		elpmg 8589	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))))
23	21, 3, 22	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))))
24	23	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ)) → (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌))))
25	19, 24	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌))))
26		rnss 5837	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))
27	25, 26	simpl2im 503	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))
28		rnxpss 6064	. . . . 5 ⊢ ran (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)
29	27, 28	sstrdi 3929	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
30	29	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)))
31	30	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)))
32		ffn 6584	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → 𝐹 Fn ℕ)
33		df-f 6422	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝐹 Fn ℕ ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)))
34	33	simplbi2 500	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℕ → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)))
35	32, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)))
36		inss2 4160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌)
38		fss 6601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
39	37, 38	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
40	39	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
41		ffvelrn 6941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌)
43		eluznn 12587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → 𝑧 ∈ ℕ)
44		ffvelrn 6941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑌)
45	43, 44	sylan2 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦))) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑌)
46	45	anassrs 467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑌)
47	42, 46	ovresd 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)))
48	47	breq1d 5080	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → (((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
49	48	ralbidva 3119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
50	49	rexbidva 3224	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
51	50	ralbidv 3120	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
52	40, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
53		nnuz 12550	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
54	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
55		1zzd 12281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 1 ∈ ℤ)
56		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
57		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
58		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌))
59	53, 54, 55, 56, 57, 58	iscauf 24349	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
60		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
61		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌))
62		inss1 4159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋)
64		fss 6601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
65	61, 63, 64	syl2anr 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
66	53, 60, 55, 56, 57, 65	iscauf 24349	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
67	52, 59, 66	3bitr4rd 311	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
68	67	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))))
69	35, 68	sylan9r 508	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))))
70	16, 31, 69	pm5.21ndd 380	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   × cxp 5578  dom cdm 5580  ran crn 5581   ↾ cres 5582  Fun wfun 6412   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_pm cpm 8574  ℂcc 10800  1c1 10803   < clt 10940  ℕcn 11903  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659  ∞Metcxmet 20495  Cauccau 24322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-bl 20505  df-cau 24325

This theorem is referenced by:  minvecolem4a  29140  hhsscms  29541