Theorem causs 25274

Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
causs	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Proof of Theorem causs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caufpm 25258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
2		elfvdm 6866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3		cnex 11108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
4		elpmg 8781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
5	2, 3, 4	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
6	5	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
7	1, 6	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
8		rnss 5886	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × 𝑋))
9	7, 8	simpl2im 503	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × 𝑋))
10		rnxpss 6128	. . . . . 6 ⊢ ran (ℂ × 𝑋) ⊆ 𝑋
11	9, 10	sstrdi 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ 𝑋)
12	11	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ 𝑋)
13		frn 6667	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → ran 𝐹 ⊆ 𝑌)
14	13	ad2antlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ 𝑌)
15	12, 14	ssind 4182	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
16	15	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)))
17		xmetres 24338	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
18		caufpm 25258	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ))
19	17, 18	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ))
20		inex1g 5254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
21	2, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
22		elpmg 8781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))))
23	21, 3, 22	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))))
24	23	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ)) → (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌))))
25	19, 24	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌))))
26		rnss 5886	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))
27	25, 26	simpl2im 503	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))
28		rnxpss 6128	. . . . 5 ⊢ ran (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)
29	27, 28	sstrdi 3935	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
30	29	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)))
31	30	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)))
32		ffn 6660	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → 𝐹 Fn ℕ)
33		df-f 6494	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝐹 Fn ℕ ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)))
34	33	simplbi2 500	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℕ → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)))
35	32, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)))
36		inss2 4179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌)
38		fss 6676	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
39	37, 38	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
40	39	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
41		ffvelcdm 7025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌)
43		eluznn 12857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → 𝑧 ∈ ℕ)
44		ffvelcdm 7025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑌)
45	43, 44	sylan2 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦))) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑌)
46	45	anassrs 467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑌)
47	42, 46	ovresd 7525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)))
48	47	breq1d 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → (((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
49	48	ralbidva 3159	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
50	49	rexbidva 3160	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
51	50	ralbidv 3161	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
52	40, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
53		nnuz 12816	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
54	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
55		1zzd 12547	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 1 ∈ ℤ)
56		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
57		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
58		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌))
59	53, 54, 55, 56, 57, 58	iscauf 25256	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
60		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
61		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌))
62		inss1 4178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋)
64		fss 6676	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
65	61, 63, 64	syl2anr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
66	53, 60, 55, 56, 57, 65	iscauf 25256	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
67	52, 59, 66	3bitr4rd 312	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
68	67	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))))
69	35, 68	sylan9r 508	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))))
70	16, 31, 69	pm5.21ndd 379	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   × cxp 5620  dom cdm 5622  ran crn 5623   ↾ cres 5624  Fun wfun 6484   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ↑_pm cpm 8765  ℂcc 11025  1c1 11028   < clt 11168  ℕcn 12163  ℤ_≥cuz 12777  ℝ⁺crp 12931  ∞Metcxmet 21327  Cauccau 25229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-psmet 21334  df-xmet 21335  df-bl 21337  df-cau 25232

This theorem is referenced by:  minvecolem4a  30968  hhsscms  31369