Theorem causs 25599

Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
causs	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Proof of Theorem causs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caufpm 25583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
2		elfvdm 6911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3		cnex 11262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
4		elpmg 8847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
5	2, 3, 4	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
6	5	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
7	1, 6	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
8		rnss 5921	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × 𝑋))
9	7, 8	simpl2im 513	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × 𝑋))
10		rnxpss 6163	. . . . . 6 ⊢ ran (ℂ × 𝑋) ⊆ 𝑋
11	9, 10	sstrdi 3943	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ 𝑋)
12	11	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ 𝑋)
13		frn 6709	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → ran 𝐹 ⊆ 𝑌)
14	13	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ 𝑌)
15	12, 14	ssind 4186	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
16	15	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)))
17		xmetres 24663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
18		caufpm 25583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ))
19	17, 18	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ))
20		inex1g 5279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
21	2, 20	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
22		elpmg 8847	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))))
23	21, 3, 22	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))))
24	23	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ)) → (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌))))
25	19, 24	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌))))
26		rnss 5921	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))
27	25, 26	simpl2im 513	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))
28		rnxpss 6163	. . . . 5 ⊢ ran (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)
29	27, 28	sstrdi 3943	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
30	29	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)))
31	30	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)))
32		ffn 6701	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → 𝐹 Fn ℕ)
33		df-f 6535	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝐹 Fn ℕ ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)))
34	33	simplbi2 506	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℕ → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)))
35	32, 34	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)))
36		inss2 4183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌)
38		fss 6718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
39	37, 38	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
40	39	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
41		ffvelcdm 7073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌)
42	41	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌)
43		eluznn 13026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → 𝑧 ∈ ℕ)
44		ffvelcdm 7073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑌)
45	43, 44	sylan2 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦))) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑌)
46	45	anassrs 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑌)
47	42, 46	ovresd 7579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)))
48	47	breq1d 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → (((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
49	48	ralbidva 3184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
50	49	rexbidva 3185	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
51	50	ralbidv 3186	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
52	40, 51	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
53		nnuz 12985	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
54	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
55		1zzd 12708	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 1 ∈ ℤ)
56		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
57		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
58		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌))
59	53, 54, 55, 56, 57, 58	iscauf 25581	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
60		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
61		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌))
62		inss1 4182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋)
64		fss 6718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
65	61, 63, 64	syl2anr 609	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
66	53, 60, 55, 56, 57, 65	iscauf 25581	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
67	52, 59, 66	3bitr4rd 315	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
68	67	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))))
69	35, 68	sylan9r 518	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))))
70	16, 31, 69	pm5.21ndd 382	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   × cxp 5649  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653  Fun wfun 6525   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ↑_pm cpm 8832  ℂcc 11179  1c1 11182   < clt 11324  ℕcn 12316  ℤ_≥cuz 12946  ℝ⁺crp 13101  ∞Metcxmet 21643  Cauccau 25554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-bl 21653  df-cau 25557

This theorem is used by:  minvecolem4a  31461  hhsscms  31862