MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  causs Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem causs 24815
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
causs ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
Proof of Theorem causs
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caufpm 24799 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
2 elfvdm 6929 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3 cnex 11191 . . . . . . . . . 10 β„‚ ∈ V
4 elpmg 8837 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))))
52, 3, 4sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))))
65biimpa 478 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋)))
71, 6syldan 592 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋)))
8 rnss 5939 . . . . . . 7 (𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋) β†’ ran 𝐹 βŠ† ran (β„‚ Γ— 𝑋))
97, 8simpl2im 505 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ ran 𝐹 βŠ† ran (β„‚ Γ— 𝑋))
10 rnxpss 6172 . . . . . 6 ran (β„‚ Γ— 𝑋) βŠ† 𝑋
119, 10sstrdi 3995 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝑋)
1211adantlr 714 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝑋)
13 frn 6725 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ β†’ ran 𝐹 βŠ† π‘Œ)
1413ad2antlr 726 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ ran 𝐹 βŠ† π‘Œ)
1512, 14ssind 4233 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ ran 𝐹 βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ))
1615ex 414 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ ran 𝐹 βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ)))
17 xmetres 23870 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
18 caufpm 24799 . . . . . . . 8 (((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) ↑pm β„‚))
1917, 18sylan 581 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ 𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) ↑pm β„‚))
20 inex1g 5320 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ dom ∞Met β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ V)
212, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ V)
22 elpmg 8837 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ V ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)))))
2321, 3, 22sylancl 587 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)))))
2423biimpa 478 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ π‘Œ) ↑pm β„‚)) β†’ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ))))
2519, 24syldan 592 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ))))
26 rnss 5939 . . . . . 6 (𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ ran 𝐹 βŠ† ran (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)))
2725, 26simpl2im 505 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ran 𝐹 βŠ† ran (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)))
28 rnxpss 6172 . . . . 5 ran (β„‚ Γ— (𝑋 ∩ π‘Œ)) βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ)
2927, 28sstrdi 3995 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ ran 𝐹 βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ))
3029ex 414 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) β†’ ran 𝐹 βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ)))
3130adantr 482 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) β†’ ran 𝐹 βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ)))
32 ffn 6718 . . . 4 (𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ β†’ 𝐹 Fn β„•)
33 df-f 6548 . . . . 5 (𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ) ↔ (𝐹 Fn β„• ∧ ran 𝐹 βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ)))
3433simplbi2 502 . . . 4 (𝐹 Fn β„• β†’ (ran 𝐹 βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ)))
3532, 34syl 17 . . 3 (𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ β†’ (ran 𝐹 βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ)))
36 inss2 4230 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ
3736a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ)
38 fss 6735 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† π‘Œ) β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
3937, 38sylan2 594 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
4039ancoms 460 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ)
41 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘Œ)
4241adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ 𝑦 ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ π‘Œ)
43 eluznn 12902 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ 𝑧 ∈ β„•)
44 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Œ)
4543, 44sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ (𝑦 ∈ β„• ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Œ)
4645anassrs 469 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ 𝑦 ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ π‘Œ)
4742, 46ovresd 7574 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ 𝑦 ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(πΉβ€˜π‘§)) = ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘§)))
4847breq1d 5159 . . . . . . . . 9 (((𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ 𝑦 ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(πΉβ€˜π‘§)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘§)) < π‘₯))
4948ralbidva 3176 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)((πΉβ€˜π‘¦)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(πΉβ€˜π‘§)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘§)) < π‘₯))
5049rexbidva 3177 . . . . . . 7 (𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„• βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)((πΉβ€˜π‘¦)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(πΉβ€˜π‘§)) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„• βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘§)) < π‘₯))
5150ralbidv 3178 . . . . . 6 (𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„• βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)((πΉβ€˜π‘¦)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(πΉβ€˜π‘§)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„• βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘§)) < π‘₯))
5240, 51syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„• βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)((πΉβ€˜π‘¦)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(πΉβ€˜π‘§)) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„• βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘§)) < π‘₯))
53 nnuz 12865 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
5417adantr 482 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)))
55 1zzd 12593 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ 1 ∈ β„€)
56 eqidd 2734 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ 𝑧 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
57 eqidd 2734 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
58 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ))
5953, 54, 55, 56, 57, 58iscauf 24797 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„• βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)((πΉβ€˜π‘¦)(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))(πΉβ€˜π‘§)) < π‘₯))
60 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
61 id 22 . . . . . . 7 (𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ))
62 inss1 4229 . . . . . . . 8 (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋
6362a1i 11 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋)
64 fss 6735 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
6561, 63, 64syl2anr 598 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
6653, 60, 55, 56, 57, 65iscauf 24797 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„• βˆ€π‘§ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)((πΉβ€˜π‘¦)𝐷(πΉβ€˜π‘§)) < π‘₯))
6752, 59, 663bitr4rd 312 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
6867ex 414 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹:β„•βŸΆ(𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))))
6935, 68sylan9r 510 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ) β†’ (ran 𝐹 βŠ† (𝑋 ∩ π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))))
7016, 31, 69pm5.21ndd 381 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:β„•βŸΆπ‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108  1c1 11111   < clt 11248  β„•cn 12212  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  βˆžMetcxmet 20929  Cauccau 24770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-bl 20939  df-cau 24773
This theorem is referenced by:  minvecolem4a  30130  hhsscms  30531
  Copyright terms: Public domain W3C validator