Theorem causs 24739

Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
causs	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Proof of Theorem causs

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caufpm 24723	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
2		elfvdm 6912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3		cnex 11170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
4		elpmg 8817	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
6	5	biimpa 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
7	1, 6	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
8		rnss 5927	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × 𝑋))
9	7, 8	simpl2im 504	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × 𝑋))
10		rnxpss 6157	. . . . . 6 ⊢ ran (ℂ × 𝑋) ⊆ 𝑋
11	9, 10	sstrdi 3987	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ 𝑋)
12	11	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ 𝑋)
13		frn 6708	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → ran 𝐹 ⊆ 𝑌)
14	13	ad2antlr 725	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ 𝑌)
15	12, 14	ssind 4225	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
16	15	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)))
17		xmetres 23794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
18		caufpm 24723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ))
19	17, 18	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ))
20		inex1g 5309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
21	2, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V)
22		elpmg 8817	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∩ 𝑌) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))))
23	21, 3, 22	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))))
24	23	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ ((𝑋 ∩ 𝑌) ↑pm ℂ)) → (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌))))
25	19, 24	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌))))
26		rnss 5927	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))
27	25, 26	simpl2im 504	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)))
28		rnxpss 6157	. . . . 5 ⊢ ran (ℂ × (𝑋 ∩ 𝑌)) ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)
29	27, 28	sstrdi 3987	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌))
30	29	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)))
31	30	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)))
32		ffn 6701	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → 𝐹 Fn ℕ)
33		df-f 6533	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) ↔ (𝐹 Fn ℕ ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌)))
34	33	simplbi2 501	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℕ → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)))
35	32, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)))
36		inss2 4222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌)
38		fss 6718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
39	37, 38	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
40	39	ancoms 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
41		ffvelcdm 7065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌)
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌)
43		eluznn 12881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → 𝑧 ∈ ℕ)
44		ffvelcdm 7065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑌)
45	43, 44	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦))) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑌)
46	45	anassrs 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑌)
47	42, 46	ovresd 7554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → ((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)))
48	47	breq1d 5148	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)) → (((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
49	48	ralbidva 3174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
50	49	rexbidva 3175	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
51	50	ralbidv 3176	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
52	40, 51	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
53		nnuz 12844	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
54	17	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋 ∩ 𝑌)))
55		1zzd 12572	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 1 ∈ ℤ)
56		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
57		eqidd 2732	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
58		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌))
59	53, 54, 55, 56, 57, 58	iscauf 24721	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
60		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
61		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌))
62		inss1 4221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋)
64		fss 6718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑋) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
65	61, 63, 64	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
66	53, 60, 55, 56, 57, 65	iscauf 24721	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑧)) < 𝑥))
67	52, 59, 66	3bitr4rd 311	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
68	67	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∩ 𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))))
69	35, 68	sylan9r 509	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋 ∩ 𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))))
70	16, 31, 69	pm5.21ndd 380	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3470   ∩ cin 3940   ⊆ wss 3941   class class class wbr 5138   × cxp 5664  dom cdm 5666  ran crn 5667   ↾ cres 5668  Fun wfun 6523   Fn wfn 6524  ⟶wf 6525  ‘cfv 6529  (class class class)co 7390   ↑_pm cpm 8801  ℂcc 11087  1c1 11090   < clt 11227  ℕcn 12191  ℤ_≥cuz 12801  ℝ⁺crp 12953  ∞Metcxmet 20858  Cauccau 24694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-er 8683  df-map 8802  df-pm 8803  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11851  df-nn 12192  df-2 12254  df-z 12538  df-uz 12802  df-rp 12954  df-xneg 13071  df-xadd 13072  df-psmet 20865  df-xmet 20866  df-bl 20868  df-cau 24697

This theorem is referenced by:  minvecolem4a  29988  hhsscms  30389