MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  causs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem causs 24662
Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
causs ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Proof of Theorem causs
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caufpm 24646 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
2 elfvdm 6879 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3 cnex 11132 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
4 elpmg 8781 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
52, 3, 4sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
65biimpa 477 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
71, 6syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
8 rnss 5894 . . . . . . 7 (𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × 𝑋))
97, 8simpl2im 504 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × 𝑋))
10 rnxpss 6124 . . . . . 6 ran (ℂ × 𝑋) ⊆ 𝑋
119, 10sstrdi 3956 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹𝑋)
1211adantlr 713 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹𝑋)
13 frn 6675 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶𝑌 → ran 𝐹𝑌)
1413ad2antlr 725 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹𝑌)
1512, 14ssind 4192 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌))
1615ex 413 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌)))
17 xmetres 23717 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)))
18 caufpm 24646 . . . . . . . 8 (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ))
1917, 18sylan 580 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ))
20 inex1g 5276 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝑋𝑌) ∈ V)
212, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋𝑌) ∈ V)
22 elpmg 8781 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑌) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)))))
2321, 3, 22sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)))))
2423biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ)) → (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌))))
2519, 24syldan 591 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌))))
26 rnss 5894 . . . . . 6 (𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × (𝑋𝑌)))
2725, 26simpl2im 504 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × (𝑋𝑌)))
28 rnxpss 6124 . . . . 5 ran (ℂ × (𝑋𝑌)) ⊆ (𝑋𝑌)
2927, 28sstrdi 3956 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌))
3029ex 413 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌)))
3130adantr 481 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌)))
32 ffn 6668 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶𝑌𝐹 Fn ℕ)
33 df-f 6500 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌) ↔ (𝐹 Fn ℕ ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌)))
3433simplbi2 501 . . . 4 (𝐹 Fn ℕ → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)))
3532, 34syl 17 . . 3 (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)))
36 inss2 4189 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
3736a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌)
38 fss 6685 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
3937, 38sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
4039ancoms 459 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
41 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑌)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑌)
43 eluznn 12843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → 𝑧 ∈ ℕ)
44 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑌)
4543, 44sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦))) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑌)
4645anassrs 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑌)
4742, 46ovresd 7521 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → ((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) = ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)))
4847breq1d 5115 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)) < 𝑥))
4948ralbidva 3172 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)) < 𝑥))
5049rexbidva 3173 . . . . . . 7 (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)) < 𝑥))
5150ralbidv 3174 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)) < 𝑥))
5240, 51syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)) < 𝑥))
53 nnuz 12806 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
5417adantr 481 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)))
55 1zzd 12534 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → 1 ∈ ℤ)
56 eqidd 2737 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
57 eqidd 2737 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
58 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌))
5953, 54, 55, 56, 57, 58iscauf 24644 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) < 𝑥))
60 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
61 id 22 . . . . . . 7 (𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌))
62 inss1 4188 . . . . . . . 8 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
6362a1i 11 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋)
64 fss 6685 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
6561, 63, 64syl2anr 597 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
6653, 60, 55, 56, 57, 65iscauf 24644 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)) < 𝑥))
6752, 59, 663bitr4rd 311 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
6867ex 413 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))))
6935, 68sylan9r 509 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))))
7016, 31, 69pm5.21ndd 380 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910   class class class wbr 5105   × cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  pm cpm 8766  cc 11049  1c1 11052   < clt 11189  cn 12153  cuz 12763  +crp 12915  ∞Metcxmet 20781  Cauccau 24617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-bl 20791  df-cau 24620
This theorem is referenced by:  minvecolem4a  29819  hhsscms  30220
  Copyright terms: Public domain W3C validator