Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  causs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem causs 23909
 Description: Cauchy sequence on a metric subspace. (Contributed by NM, 29-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
causs ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Proof of Theorem causs
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caufpm 23893 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
2 elfvdm 6677 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3 cnex 10609 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
4 elpmg 8407 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
52, 3, 4sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
65biimpa 480 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
71, 6syldan 594 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
8 rnss 5773 . . . . . . 7 (𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × 𝑋))
97, 8simpl2im 507 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × 𝑋))
10 rnxpss 5996 . . . . . 6 ran (ℂ × 𝑋) ⊆ 𝑋
119, 10sstrdi 3927 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹𝑋)
1211adantlr 714 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹𝑋)
13 frn 6493 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶𝑌 → ran 𝐹𝑌)
1413ad2antlr 726 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹𝑌)
1512, 14ssind 4159 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌))
1615ex 416 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌)))
17 xmetres 22978 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)))
18 caufpm 23893 . . . . . . . 8 (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ))
1917, 18sylan 583 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ))
20 inex1g 5187 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝑋𝑌) ∈ V)
212, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋𝑌) ∈ V)
22 elpmg 8407 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑌) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)))))
2321, 3, 22sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)))))
2423biimpa 480 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ ((𝑋𝑌) ↑pm ℂ)) → (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌))))
2519, 24syldan 594 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌))))
26 rnss 5773 . . . . . 6 (𝐹 ⊆ (ℂ × (𝑋𝑌)) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × (𝑋𝑌)))
2725, 26simpl2im 507 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ran 𝐹 ⊆ ran (ℂ × (𝑋𝑌)))
28 rnxpss 5996 . . . . 5 ran (ℂ × (𝑋𝑌)) ⊆ (𝑋𝑌)
2927, 28sstrdi 3927 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌))
3029ex 416 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌)))
3130adantr 484 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌)))
32 ffn 6487 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶𝑌𝐹 Fn ℕ)
33 df-f 6328 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌) ↔ (𝐹 Fn ℕ ∧ ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌)))
3433simplbi2 504 . . . 4 (𝐹 Fn ℕ → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)))
3532, 34syl 17 . . 3 (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)))
36 inss2 4156 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
3736a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌)
38 fss 6501 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
3937, 38sylan2 595 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
4039ancoms 462 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶𝑌)
41 ffvelrn 6826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑌)
4241adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑌)
43 eluznn 12308 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → 𝑧 ∈ ℕ)
44 ffvelrn 6826 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑌)
4543, 44sylan2 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℕ⟶𝑌 ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦))) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑌)
4645anassrs 471 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑌)
4742, 46ovresd 7296 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → ((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) = ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)))
4847breq1d 5040 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ𝑦)) → (((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)) < 𝑥))
4948ralbidva 3161 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶𝑌𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)) < 𝑥))
5049rexbidva 3255 . . . . . . 7 (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) < 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)) < 𝑥))
5150ralbidv 3162 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶𝑌 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)) < 𝑥))
5240, 51syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)) < 𝑥))
53 nnuz 12271 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
5417adantr 484 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)))
55 1zzd 12003 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → 1 ∈ ℤ)
56 eqidd 2799 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
57 eqidd 2799 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
58 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌))
5953, 54, 55, 56, 57, 58iscauf 23891 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))(𝐹𝑧)) < 𝑥))
60 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
61 id 22 . . . . . . 7 (𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌) → 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌))
62 inss1 4155 . . . . . . . 8 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
6362a1i 11 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋)
64 fss 6501 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌) ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
6561, 63, 64syl2anr 599 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
6653, 60, 55, 56, 57, 65iscauf 23891 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ (ℤ𝑦)((𝐹𝑦)𝐷(𝐹𝑧)) < 𝑥))
6752, 59, 663bitr4rd 315 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌)) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
6867ex 416 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹:ℕ⟶(𝑋𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))))
6935, 68sylan9r 512 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (ran 𝐹 ⊆ (𝑋𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))))
7016, 31, 69pm5.21ndd 384 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   × cxp 5517  dom cdm 5519  ran crn 5520   ↾ cres 5521  Fun wfun 6318   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑pm cpm 8392  ℂcc 10526  1c1 10529   < clt 10666  ℕcn 11627  ℤ≥cuz 12233  ℝ+crp 12379  ∞Metcxmet 20079  Cauccau 23864 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-map 8393  df-pm 8394  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-z 11972  df-uz 12234  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-bl 20089  df-cau 23867 This theorem is referenced by:  minvecolem4a  28667  hhsscms  29068
 Copyright terms: Public domain W3C validator