HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  sumdmdlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sumdmdlem2 31936
Description: Lemma for sumdmdi 31937. (Contributed by NM, 23-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1 𝐴 ∈ Cβ„‹
sumdmdi.2 𝐡 ∈ Cβ„‹
Assertion
Ref Expression
sumdmdlem2 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝐴 +β„‹ 𝐡) = (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡
Proof of Theorem sumdmdlem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumdmdi.1 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ Cβ„‹
2 sumdmdi.2 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ Cβ„‹
31, 2chjcli 30974 . . . . . . 7 (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∈ Cβ„‹
43cheli 30749 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ β„‹)
5 spansnsh 31078 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ Sβ„‹ )
62chshii 30744 . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 ∈ Sβ„‹
7 shsub2 30842 . . . . . . . . . . . . 13 (((spanβ€˜{𝑦}) ∈ Sβ„‹ ∧ 𝐡 ∈ Sβ„‹ ) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})))
85, 6, 7sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})))
9 spansnid 31080 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ 𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑦}))
108, 9sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})))
1110ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})))
12 elin 3965 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
13 df-ne 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 β‰  0β„Ž ↔ Β¬ 𝑦 = 0β„Ž)
14 spansna 31867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ HAtoms)
1513, 14sylan2br 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 = 0β„Ž) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ HAtoms)
16 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) = ((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡))
1716ineq1d 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) = (((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
1816ineq1d 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) = (((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴))
1918oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) = ((((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡))
2017, 19sseq12d 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ↔ (((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† ((((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡)))
2120rspcv 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((spanβ€˜{𝑦}) ∈ HAtoms β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† ((((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡)))
2215, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 = 0β„Ž) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† ((((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡)))
23 spansnj 31164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐡 ∈ Cβ„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) = (𝐡 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝑦})))
24 spansnch 31077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ Cβ„‹ )
25 chjcom 31023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐡 ∈ Cβ„‹ ∧ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ Cβ„‹ ) β†’ (𝐡 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) = ((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡))
2624, 25sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐡 ∈ Cβ„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (𝐡 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) = ((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡))
2723, 26eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐡 ∈ Cβ„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) = ((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡))
282, 27mpan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) = ((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡))
2928ineq1d 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) = (((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
3028ineq1d 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) = (((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴))
3130oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) = ((((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡))
3229, 31sseq12d 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ↔ (((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† ((((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡)))
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 = 0β„Ž) β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ↔ (((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† ((((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡)))
3422, 33sylibrd 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 = 0β„Ž) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡)))
3534com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 = 0β„Ž) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡)))
3635expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (Β¬ 𝑦 = 0β„Ž β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡)))
37 ssid 4005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐡 βŠ† 𝐡
38 sneq 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 0β„Ž β†’ {𝑦} = {0β„Ž})
3938fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{0β„Ž}))
40 spansn0 31058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (spanβ€˜{0β„Ž}) = 0β„‹
4139, 40eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = 0β„‹)
4241oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) = (𝐡 +β„‹ 0β„‹))
436shs0i 30966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐡 +β„‹ 0β„‹) = 𝐡
4442, 43eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) = 𝐡)
4544ineq1d 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 0β„Ž β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) = (𝐡 ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
46 inss1 4229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐡 ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† 𝐡
472, 1chub2i 30987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)
4837, 47ssini 4232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐡 βŠ† (𝐡 ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
4946, 48eqssi 3999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐡 ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) = 𝐡
5045, 49eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 0β„Ž β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) = 𝐡)
5144ineq1d 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 0β„Ž β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐡 ∩ 𝐴))
5251oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) = ((𝐡 ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡))
532, 1chincli 30977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐡 ∩ 𝐴) ∈ Cβ„‹
5453, 2chjcomi 30985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐡 ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) = (𝐡 βˆ¨β„‹ (𝐡 ∩ 𝐴))
552, 1chabs1i 31035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐡 βˆ¨β„‹ (𝐡 ∩ 𝐴)) = 𝐡
5654, 55eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐡 ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) = 𝐡
5752, 56eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) = 𝐡)
5850, 57sseq12d 4016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ↔ 𝐡 βŠ† 𝐡))
5937, 58mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0β„Ž β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡))
6036, 59pm2.61d2 181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡))
6160adantrr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡))
621, 2sumdmdlem 31935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐡 ∩ 𝐴))
6362oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) = ((𝐡 ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡))
6463, 56eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) = 𝐡)
651chshii 30744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴 ∈ Sβ„‹
666, 65shsub2i 30890 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐡 βŠ† (𝐴 +β„‹ 𝐡)
6764, 66eqsstrdi 4037 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) βŠ† (𝐴 +β„‹ 𝐡))
6867adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) βŠ† (𝐴 +β„‹ 𝐡))
6961, 68sstrd 3993 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (𝐴 +β„‹ 𝐡))
7069sseld 3982 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (𝑦 ∈ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
7112, 70biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ ((𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
7211, 71mpand 692 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
7372exp32 420 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))))
7473com34 91 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))))
75 pm2.18 128 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))
7674, 75syl8 76 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))))
774, 76syl5 34 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))))
7877pm2.43d 53 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
7978ssrdv 3989 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) βŠ† (𝐴 +β„‹ 𝐡))
801, 2chsleji 30975 . . 3 (𝐴 +β„‹ 𝐡) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)
8179, 80jctil 519 . 2 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ ((𝐴 +β„‹ 𝐡) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) βŠ† (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
82 eqss 3998 . 2 ((𝐴 +β„‹ 𝐡) = (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ↔ ((𝐴 +β„‹ 𝐡) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) βŠ† (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
8381, 82sylibr 233 1 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝐴 +β„‹ 𝐡) = (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   β„‹chba 30436  0β„Žc0v 30441   Sβ„‹ csh 30445   Cβ„‹ cch 30446   +β„‹ cph 30448  spancspn 30449   βˆ¨β„‹ chj 30450  0β„‹c0h 30452  HAtomscat 30482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193  ax-hilex 30516  ax-hfvadd 30517  ax-hvcom 30518  ax-hvass 30519  ax-hv0cl 30520  ax-hvaddid 30521  ax-hfvmul 30522  ax-hvmulid 30523  ax-hvmulass 30524  ax-hvdistr1 30525  ax-hvdistr2 30526  ax-hvmul0 30527  ax-hfi 30596  ax-his1 30599  ax-his2 30600  ax-his3 30601  ax-his4 30602  ax-hcompl 30719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-lm 22954  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cfil 25004  df-cau 25005  df-cmet 25006  df-grpo 30010  df-gid 30011  df-ginv 30012  df-gdiv 30013  df-ablo 30062  df-vc 30076  df-nv 30109  df-va 30112  df-ba 30113  df-sm 30114  df-0v 30115  df-vs 30116  df-nmcv 30117  df-ims 30118  df-dip 30218  df-ssp 30239  df-ph 30330  df-cbn 30380  df-hnorm 30485  df-hba 30486  df-hvsub 30488  df-hlim 30489  df-hcau 30490  df-sh 30724  df-ch 30738  df-oc 30769  df-ch0 30770  df-shs 30825  df-span 30826  df-chj 30827  df-pjh 30912  df-cv 31796  df-at 31855
This theorem is referenced by:  sumdmdi  31937  dmdbr4ati  31938  dmdbr5ati  31939
  Copyright terms: Public domain W3C validator