Theorem sumdmdlem2 30682

Description: Lemma for sumdmdi 30683. (Contributed by NM, 23-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
sumdmdi.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
sumdmdlem2	⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem sumdmdlem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdmdi.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		sumdmdi.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3	1, 2	chjcli 29720	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
4	3	cheli 29495	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℋ)
5		spansnsh 29824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ Sℋ )
6	2	chshii 29490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
7		shsub2 29588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((span‘{𝑦}) ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (span‘{𝑦}) ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
8	5, 6, 7	sylancl 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
9		spansnid 29826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
10	8, 9	sseldd 3918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
11	10	ad2antrl 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
12		elin 3899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
13		df-ne 2943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ≠ 0ℎ ↔ ¬ 𝑦 = 0ℎ)
14		spansna 30613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
15	13, 14	sylan2br 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
16		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
17	16	ineq1d 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
18	16	ineq1d 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴))
19	18	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
20	17, 19	sseq12d 3950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
21	20	rspcv 3547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((span‘{𝑦}) ∈ HAtoms → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
22	15, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
23		spansnj 29910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = (𝐵 ∨ℋ (span‘{𝑦})))
24		spansnch 29823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ Cℋ )
25		chjcom 29769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (span‘{𝑦}) ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
26	24, 25	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 ∨ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
27	23, 26	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
28	2, 27	mpan 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
29	28	ineq1d 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
30	28	ineq1d 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴))
31	30	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
32	29, 31	sseq12d 3950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
34	22, 33	sylibrd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
35	34	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
36	35	expdimp 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (¬ 𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
37		ssid 3939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
38		sneq 4568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → {𝑦} = {0ℎ})
39	38	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (span‘{𝑦}) = (span‘{0ℎ}))
40		spansn0 29804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (span‘{0ℎ}) = 0ℋ
41	39, 40	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (span‘{𝑦}) = 0ℋ)
42	41	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = (𝐵 +ℋ 0ℋ))
43	6	shs0i 29712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 +ℋ 0ℋ) = 𝐵
44	42, 43	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = 𝐵)
45	44	ineq1d 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
46		inss1 4159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐵
47	2, 1	chub2i 29733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
48	37, 47	ssini 4162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
49	46, 48	eqssi 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵
50	45, 49	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵)
51	44	ineq1d 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))
52	51	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
53	2, 1	chincli 29723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ
54	53, 2	chjcomi 29731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))
55	2, 1	chabs1i 29781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)) = 𝐵
56	54, 55	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = 𝐵
57	52, 56	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = 𝐵)
58	50, 57	sseq12d 3950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ 𝐵))
59	37, 58	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
60	36, 59	pm2.61d2 181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
61	60	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
62	1, 2	sumdmdlem 30681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))
63	62	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
64	63, 56	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = 𝐵)
65	1	chshii 29490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
66	6, 65	shsub2i 29636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
67	64, 66	eqsstrdi 3971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
69	61, 68	sstrd 3927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
70	69	sseld 3916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
71	12, 70	syl5bir 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → ((𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
72	11, 71	mpand 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
73	72	exp32 420	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
74	73	com34 91	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
75		pm2.18 128	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
76	74, 75	syl8 76	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
77	4, 76	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
78	77	pm2.43d 53	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
79	78	ssrdv 3923	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
80	1, 2	chsleji 29721	. . 3 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
81	79, 80	jctil 519	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
82		eqss 3932	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
83	81, 82	sylibr 233	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ℋchba 29182  0_ℎc0v 29187   S_ℋ csh 29191   C_ℋ cch 29192   +_ℋ cph 29194  spancspn 29195   ∨_ℋ chj 29196  0_ℋc0h 29198  HAtomscat 29228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvmulass 29270  ax-hvdistr1 29271  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273  ax-hfi 29342  ax-his1 29345  ax-his2 29346  ax-his3 29347  ax-his4 29348  ax-hcompl 29465

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-lm 22288  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cfil 24324  df-cau 24325  df-cmet 24326  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864  df-dip 28964  df-ssp 28985  df-ph 29076  df-cbn 29126  df-hnorm 29231  df-hba 29232  df-hvsub 29234  df-hlim 29235  df-hcau 29236  df-sh 29470  df-ch 29484  df-oc 29515  df-ch0 29516  df-shs 29571  df-span 29572  df-chj 29573  df-pjh 29658  df-cv 30542  df-at 30601

This theorem is referenced by:  sumdmdi  30683  dmdbr4ati  30684  dmdbr5ati  30685