HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  sumdmdlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumdmdlem2 29605
Description: Lemma for sumdmdi 29606. (Contributed by NM, 23-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1 𝐴C
sumdmdi.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
sumdmdlem2 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem sumdmdlem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumdmdi.1 . . . . . . . 8 𝐴C
2 sumdmdi.2 . . . . . . . 8 𝐵C
31, 2chjcli 28643 . . . . . . 7 (𝐴 𝐵) ∈ C
43cheli 28416 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ ℋ)
5 spansnsh 28747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ S )
62chshii 28411 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵S
7 shsub2 28511 . . . . . . . . . . . . 13 (((span‘{𝑦}) ∈ S𝐵S ) → (span‘{𝑦}) ⊆ (𝐵 + (span‘{𝑦})))
85, 6, 7sylancl 576 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ⊆ (𝐵 + (span‘{𝑦})))
9 spansnid 28749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
108, 9sseldd 3799 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝑦})))
1110ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝑦})))
12 elin 3995 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 𝐵)))
13 df-ne 2979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑦 = 0)
14 spansna 29536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
1513, 14sylan2br 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
16 oveq1 6877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (𝑥 𝐵) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
1716ineq1d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) = (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
1816ineq1d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴))
1918oveq1d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
2017, 19sseq12d 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
2120rspcv 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((span‘{𝑦}) ∈ HAtoms → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
2215, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
23 spansnj 28833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵C𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = (𝐵 (span‘{𝑦})))
24 spansnch 28746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ C )
25 chjcom 28692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵C ∧ (span‘{𝑦}) ∈ C ) → (𝐵 (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
2624, 25sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵C𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
2723, 26eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵C𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
282, 27mpan 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℋ → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
2928ineq1d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) = (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
3028ineq1d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴))
3130oveq1d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℋ → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
3229, 31sseq12d 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℋ → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3332adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3422, 33sylibrd 250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3534com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3635expdimp 442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (¬ 𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
37 ssid 3820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵𝐵
38 sneq 4380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 0 → {𝑦} = {0})
3938fveq2d 6408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 0 → (span‘{𝑦}) = (span‘{0}))
40 spansn0 28727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (span‘{0}) = 0
4139, 40syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 0 → (span‘{𝑦}) = 0)
4241oveq2d 6886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = (𝐵 + 0))
436shs0i 28635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 + 0) = 𝐵
4442, 43syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 0 → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = 𝐵)
4544ineq1d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)))
46 inss1 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐵
472, 1chub2i 28656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)
4837, 47ssini 4032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵 ⊆ (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵))
4946, 48eqssi 3814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐵
5045, 49syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐵)
5144ineq1d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐵𝐴))
5251oveq1d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 0 → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((𝐵𝐴) ∨ 𝐵))
532, 1chincli 28646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵𝐴) ∈ C
5453, 2chjcomi 28654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵𝐴) ∨ 𝐵) = (𝐵 (𝐵𝐴))
552, 1chabs1i 28704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 (𝐵𝐴)) = 𝐵
5654, 55eqtri 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵𝐴) ∨ 𝐵) = 𝐵
5752, 56syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 0 → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = 𝐵)
5850, 57sseq12d 3831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 0 → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ 𝐵𝐵))
5937, 58mpbiri 249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
6036, 59pm2.61d2 173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
6160adantrr 699 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
621, 2sumdmdlem 29604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐵𝐴))
6362oveq1d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((𝐵𝐴) ∨ 𝐵))
6463, 56syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = 𝐵)
651chshii 28411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴S
666, 65shsub2i 28559 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 ⊆ (𝐴 + 𝐵)
6764, 66syl6eqss 3852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵))
6867adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵))
6961, 68sstrd 3808 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝐴 + 𝐵))
7069sseld 3797 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑦 ∈ ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
7112, 70syl5bir 234 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → ((𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
7211, 71mpand 678 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
7372exp32 409 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))))
7473com34 91 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))))
75 pm2.18 125 . . . . . . 7 ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))
7674, 75syl8 76 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))))
774, 76syl5 34 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))))
7877pm2.43d 53 . . . 4 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
7978ssrdv 3804 . . 3 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵))
801, 2chsleji 28644 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵)
8179, 80jctil 511 . 2 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)))
82 eqss 3813 . 2 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)))
8381, 82sylibr 225 1 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  cin 3768  wss 3769  {csn 4370  cfv 6097  (class class class)co 6870  chil 28103  0c0v 28108   S csh 28112   C cch 28113   + cph 28115  spancspn 28116   chj 28117  0c0h 28119  HAtomscat 28149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-cc 9538  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295  ax-addf 10296  ax-mulf 10297  ax-hilex 28183  ax-hfvadd 28184  ax-hvcom 28185  ax-hvass 28186  ax-hv0cl 28187  ax-hvaddid 28188  ax-hfvmul 28189  ax-hvmulid 28190  ax-hvmulass 28191  ax-hvdistr1 28192  ax-hvdistr2 28193  ax-hvmul0 28194  ax-hfi 28263  ax-his1 28266  ax-his2 28267  ax-his3 28268  ax-his4 28269  ax-hcompl 28386
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-of 7123  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-supp 7526  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-2o 7793  df-oadd 7796  df-omul 7797  df-er 7975  df-map 8090  df-pm 8091  df-ixp 8142  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-fsupp 8511  df-fi 8552  df-sup 8583  df-inf 8584  df-oi 8650  df-card 9044  df-acn 9047  df-cda 9271  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-xneg 12158  df-xadd 12159  df-xmul 12160  df-ioo 12393  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-fl 12813  df-seq 13021  df-exp 13080  df-hash 13334  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17947  df-cmn 18392  df-psmet 19942  df-xmet 19943  df-met 19944  df-bl 19945  df-mopn 19946  df-fbas 19947  df-fg 19948  df-cnfld 19951  df-top 20909  df-topon 20926  df-topsp 20948  df-bases 20961  df-cld 21034  df-ntr 21035  df-cls 21036  df-nei 21113  df-cn 21242  df-cnp 21243  df-lm 21244  df-haus 21330  df-tx 21576  df-hmeo 21769  df-fil 21860  df-fm 21952  df-flim 21953  df-flf 21954  df-xms 22335  df-ms 22336  df-tms 22337  df-cfil 23263  df-cau 23264  df-cmet 23265  df-grpo 27675  df-gid 27676  df-ginv 27677  df-gdiv 27678  df-ablo 27727  df-vc 27741  df-nv 27774  df-va 27777  df-ba 27778  df-sm 27779  df-0v 27780  df-vs 27781  df-nmcv 27782  df-ims 27783  df-dip 27883  df-ssp 27904  df-ph 27995  df-cbn 28046  df-hnorm 28152  df-hba 28153  df-hvsub 28155  df-hlim 28156  df-hcau 28157  df-sh 28391  df-ch 28405  df-oc 28436  df-ch0 28437  df-shs 28494  df-span 28495  df-chj 28496  df-pjh 28581  df-cv 29465  df-at 29524
This theorem is referenced by:  sumdmdi  29606  dmdbr4ati  29607  dmdbr5ati  29608
  Copyright terms: Public domain W3C validator