HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  sumdmdlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumdmdlem2 32438
Description: Lemma for sumdmdi 32439. (Contributed by NM, 23-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1 𝐴C
sumdmdi.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
sumdmdlem2 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem sumdmdlem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumdmdi.1 . . . . . . . 8 𝐴C
2 sumdmdi.2 . . . . . . . 8 𝐵C
31, 2chjcli 31476 . . . . . . 7 (𝐴 𝐵) ∈ C
43cheli 31251 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ ℋ)
5 spansnsh 31580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ S )
62chshii 31246 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵S
7 shsub2 31344 . . . . . . . . . . . . 13 (((span‘{𝑦}) ∈ S𝐵S ) → (span‘{𝑦}) ⊆ (𝐵 + (span‘{𝑦})))
85, 6, 7sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ⊆ (𝐵 + (span‘{𝑦})))
9 spansnid 31582 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
108, 9sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝑦})))
1110ad2antrl 728 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝑦})))
12 elin 3967 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 𝐵)))
13 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑦 = 0)
14 spansna 32369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
1513, 14sylan2br 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
16 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (𝑥 𝐵) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
1716ineq1d 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) = (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
1816ineq1d 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴))
1918oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
2017, 19sseq12d 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
2120rspcv 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((span‘{𝑦}) ∈ HAtoms → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
2215, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
23 spansnj 31666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵C𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = (𝐵 (span‘{𝑦})))
24 spansnch 31579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ C )
25 chjcom 31525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵C ∧ (span‘{𝑦}) ∈ C ) → (𝐵 (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
2624, 25sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵C𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
2723, 26eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵C𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
282, 27mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℋ → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
2928ineq1d 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) = (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
3028ineq1d 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴))
3130oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℋ → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
3229, 31sseq12d 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℋ → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3422, 33sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3534com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3635expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (¬ 𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
37 ssid 4006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵𝐵
38 sneq 4636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 0 → {𝑦} = {0})
3938fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 0 → (span‘{𝑦}) = (span‘{0}))
40 spansn0 31560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (span‘{0}) = 0
4139, 40eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 0 → (span‘{𝑦}) = 0)
4241oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = (𝐵 + 0))
436shs0i 31468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 + 0) = 𝐵
4442, 43eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 0 → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = 𝐵)
4544ineq1d 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)))
46 inss1 4237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐵
472, 1chub2i 31489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)
4837, 47ssini 4240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵 ⊆ (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵))
4946, 48eqssi 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐵
5045, 49eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐵)
5144ineq1d 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐵𝐴))
5251oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 0 → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((𝐵𝐴) ∨ 𝐵))
532, 1chincli 31479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵𝐴) ∈ C
5453, 2chjcomi 31487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵𝐴) ∨ 𝐵) = (𝐵 (𝐵𝐴))
552, 1chabs1i 31537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 (𝐵𝐴)) = 𝐵
5654, 55eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵𝐴) ∨ 𝐵) = 𝐵
5752, 56eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 0 → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = 𝐵)
5850, 57sseq12d 4017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 0 → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ 𝐵𝐵))
5937, 58mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
6036, 59pm2.61d2 181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
6160adantrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
621, 2sumdmdlem 32437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐵𝐴))
6362oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((𝐵𝐴) ∨ 𝐵))
6463, 56eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = 𝐵)
651chshii 31246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴S
666, 65shsub2i 31392 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 ⊆ (𝐴 + 𝐵)
6764, 66eqsstrdi 4028 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵))
6867adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵))
6961, 68sstrd 3994 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝐴 + 𝐵))
7069sseld 3982 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑦 ∈ ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
7112, 70biimtrrid 243 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → ((𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
7211, 71mpand 695 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
7372exp32 420 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))))
7473com34 91 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))))
75 pm2.18 128 . . . . . . 7 ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))
7674, 75syl8 76 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))))
774, 76syl5 34 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))))
7877pm2.43d 53 . . . 4 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
7978ssrdv 3989 . . 3 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵))
801, 2chsleji 31477 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵)
8179, 80jctil 519 . 2 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)))
82 eqss 3999 . 2 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)))
8381, 82sylibr 234 1 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  cin 3950  wss 3951  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431  chba 30938  0c0v 30943   S csh 30947   C cch 30948   + cph 30950  spancspn 30951   chj 30952  0c0h 30954  HAtomscat 30984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ssp 30741  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-shs 31327  df-span 31328  df-chj 31329  df-pjh 31414  df-cv 32298  df-at 32357
This theorem is referenced by:  sumdmdi  32439  dmdbr4ati  32440  dmdbr5ati  32441
  Copyright terms: Public domain W3C validator