HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  sumdmdlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem sumdmdlem2 31710
Description: Lemma for sumdmdi 31711. (Contributed by NM, 23-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1 𝐴 ∈ Cβ„‹
sumdmdi.2 𝐡 ∈ Cβ„‹
Assertion
Ref Expression
sumdmdlem2 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝐴 +β„‹ 𝐡) = (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡
Proof of Theorem sumdmdlem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumdmdi.1 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ Cβ„‹
2 sumdmdi.2 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ Cβ„‹
31, 2chjcli 30748 . . . . . . 7 (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∈ Cβ„‹
43cheli 30523 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ β„‹)
5 spansnsh 30852 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ Sβ„‹ )
62chshii 30518 . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 ∈ Sβ„‹
7 shsub2 30616 . . . . . . . . . . . . 13 (((spanβ€˜{𝑦}) ∈ Sβ„‹ ∧ 𝐡 ∈ Sβ„‹ ) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})))
85, 6, 7sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{𝑦}) βŠ† (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})))
9 spansnid 30854 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ 𝑦 ∈ (spanβ€˜{𝑦}))
108, 9sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})))
1110ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})))
12 elin 3964 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
13 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 β‰  0β„Ž ↔ Β¬ 𝑦 = 0β„Ž)
14 spansna 31641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑦 β‰  0β„Ž) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ HAtoms)
1513, 14sylan2br 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 = 0β„Ž) β†’ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ HAtoms)
16 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) = ((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡))
1716ineq1d 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) = (((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
1816ineq1d 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) = (((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴))
1918oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) = ((((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡))
2017, 19sseq12d 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = (spanβ€˜{𝑦}) β†’ (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ↔ (((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† ((((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡)))
2120rspcv 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((spanβ€˜{𝑦}) ∈ HAtoms β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† ((((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡)))
2215, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 = 0β„Ž) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† ((((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡)))
23 spansnj 30938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐡 ∈ Cβ„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) = (𝐡 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝑦})))
24 spansnch 30851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ Cβ„‹ )
25 chjcom 30797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐡 ∈ Cβ„‹ ∧ (spanβ€˜{𝑦}) ∈ Cβ„‹ ) β†’ (𝐡 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) = ((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡))
2624, 25sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐡 ∈ Cβ„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (𝐡 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) = ((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡))
2723, 26eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐡 ∈ Cβ„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) = ((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡))
282, 27mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) = ((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡))
2928ineq1d 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) = (((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
3028ineq1d 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) = (((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴))
3130oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) = ((((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡))
3229, 31sseq12d 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ↔ (((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† ((((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡)))
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 = 0β„Ž) β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ↔ (((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† ((((spanβ€˜{𝑦}) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡)))
3422, 33sylibrd 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 = 0β„Ž) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡)))
3534com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 = 0β„Ž) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡)))
3635expdimp 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (Β¬ 𝑦 = 0β„Ž β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡)))
37 ssid 4004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐡 βŠ† 𝐡
38 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 0β„Ž β†’ {𝑦} = {0β„Ž})
3938fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = (spanβ€˜{0β„Ž}))
40 spansn0 30832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (spanβ€˜{0β„Ž}) = 0β„‹
4139, 40eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (spanβ€˜{𝑦}) = 0β„‹)
4241oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) = (𝐡 +β„‹ 0β„‹))
436shs0i 30740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐡 +β„‹ 0β„‹) = 𝐡
4442, 43eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) = 𝐡)
4544ineq1d 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 0β„Ž β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) = (𝐡 ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)))
46 inss1 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐡 ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† 𝐡
472, 1chub2i 30761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)
4837, 47ssini 4231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐡 βŠ† (𝐡 ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
4946, 48eqssi 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐡 ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) = 𝐡
5045, 49eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 0β„Ž β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) = 𝐡)
5144ineq1d 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 0β„Ž β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐡 ∩ 𝐴))
5251oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) = ((𝐡 ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡))
532, 1chincli 30751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐡 ∩ 𝐴) ∈ Cβ„‹
5453, 2chjcomi 30759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐡 ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) = (𝐡 βˆ¨β„‹ (𝐡 ∩ 𝐴))
552, 1chabs1i 30809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐡 βˆ¨β„‹ (𝐡 ∩ 𝐴)) = 𝐡
5654, 55eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐡 ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) = 𝐡
5752, 56eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) = 𝐡)
5850, 57sseq12d 4015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 0β„Ž β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ↔ 𝐡 βŠ† 𝐡))
5937, 58mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0β„Ž β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡))
6036, 59pm2.61d2 181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡))
6160adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡))
621, 2sumdmdlem 31709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐡 ∩ 𝐴))
6362oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) = ((𝐡 ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡))
6463, 56eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) = 𝐡)
651chshii 30518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴 ∈ Sβ„‹
666, 65shsub2i 30664 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐡 βŠ† (𝐴 +β„‹ 𝐡)
6764, 66eqsstrdi 4036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) βŠ† (𝐴 +β„‹ 𝐡))
6867adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) βŠ† (𝐴 +β„‹ 𝐡))
6961, 68sstrd 3992 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (𝐴 +β„‹ 𝐡))
7069sseld 3981 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (𝑦 ∈ ((𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
7112, 70biimtrrid 242 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ ((𝑦 ∈ (𝐡 +β„‹ (spanβ€˜{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
7211, 71mpand 693 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ β„‹ ∧ Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
7372exp32 421 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))))
7473com34 91 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))))
75 pm2.18 128 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))
7674, 75syl8 76 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))))
774, 76syl5 34 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡))))
7877pm2.43d 53 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
7978ssrdv 3988 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) βŠ† (𝐴 +β„‹ 𝐡))
801, 2chsleji 30749 . . 3 (𝐴 +β„‹ 𝐡) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)
8179, 80jctil 520 . 2 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ ((𝐴 +β„‹ 𝐡) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) βŠ† (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
82 eqss 3997 . 2 ((𝐴 +β„‹ 𝐡) = (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ↔ ((𝐴 +β„‹ 𝐡) βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) ∧ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡) βŠ† (𝐴 +β„‹ 𝐡)))
8381, 82sylibr 233 1 (βˆ€π‘₯ ∈ HAtoms ((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡)) βŠ† (((π‘₯ βˆ¨β„‹ 𝐡) ∩ 𝐴) βˆ¨β„‹ 𝐡) β†’ (𝐴 +β„‹ 𝐡) = (𝐴 βˆ¨β„‹ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   β„‹chba 30210  0β„Žc0v 30215   Sβ„‹ csh 30219   Cβ„‹ cch 30220   +β„‹ cph 30222  spancspn 30223   βˆ¨β„‹ chj 30224  0β„‹c0h 30226  HAtomscat 30256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30290  ax-hfvadd 30291  ax-hvcom 30292  ax-hvass 30293  ax-hv0cl 30294  ax-hvaddid 30295  ax-hfvmul 30296  ax-hvmulid 30297  ax-hvmulass 30298  ax-hvdistr1 30299  ax-hvdistr2 30300  ax-hvmul0 30301  ax-hfi 30370  ax-his1 30373  ax-his2 30374  ax-his3 30375  ax-his4 30376  ax-hcompl 30493
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-lm 22740  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cfil 24779  df-cau 24780  df-cmet 24781  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ginv 29786  df-gdiv 29787  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-vs 29890  df-nmcv 29891  df-ims 29892  df-dip 29992  df-ssp 30013  df-ph 30104  df-cbn 30154  df-hnorm 30259  df-hba 30260  df-hvsub 30262  df-hlim 30263  df-hcau 30264  df-sh 30498  df-ch 30512  df-oc 30543  df-ch0 30544  df-shs 30599  df-span 30600  df-chj 30601  df-pjh 30686  df-cv 31570  df-at 31629
This theorem is referenced by:  sumdmdi  31711  dmdbr4ati  31712  dmdbr5ati  31713
  Copyright terms: Public domain W3C validator