Theorem sumdmdlem2 32400

Description: Lemma for sumdmdi 32401. (Contributed by NM, 23-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
sumdmdi.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
sumdmdlem2	⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem sumdmdlem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdmdi.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		sumdmdi.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3	1, 2	chjcli 31438	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
4	3	cheli 31213	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℋ)
5		spansnsh 31542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ Sℋ )
6	2	chshii 31208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
7		shsub2 31306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((span‘{𝑦}) ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (span‘{𝑦}) ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
9		spansnid 31544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
10	8, 9	sseldd 3959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
11	10	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
12		elin 3942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
13		df-ne 2933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ≠ 0ℎ ↔ ¬ 𝑦 = 0ℎ)
14		spansna 32331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
15	13, 14	sylan2br 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
16		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
17	16	ineq1d 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
18	16	ineq1d 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴))
19	18	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
20	17, 19	sseq12d 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
21	20	rspcv 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((span‘{𝑦}) ∈ HAtoms → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
22	15, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
23		spansnj 31628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = (𝐵 ∨ℋ (span‘{𝑦})))
24		spansnch 31541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ Cℋ )
25		chjcom 31487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (span‘{𝑦}) ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
26	24, 25	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 ∨ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
27	23, 26	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
28	2, 27	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
29	28	ineq1d 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
30	28	ineq1d 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴))
31	30	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
32	29, 31	sseq12d 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
34	22, 33	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
35	34	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
36	35	expdimp 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (¬ 𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
37		ssid 3981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
38		sneq 4611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → {𝑦} = {0ℎ})
39	38	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (span‘{𝑦}) = (span‘{0ℎ}))
40		spansn0 31522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (span‘{0ℎ}) = 0ℋ
41	39, 40	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (span‘{𝑦}) = 0ℋ)
42	41	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = (𝐵 +ℋ 0ℋ))
43	6	shs0i 31430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 +ℋ 0ℋ) = 𝐵
44	42, 43	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = 𝐵)
45	44	ineq1d 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
46		inss1 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐵
47	2, 1	chub2i 31451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
48	37, 47	ssini 4215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
49	46, 48	eqssi 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵
50	45, 49	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵)
51	44	ineq1d 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))
52	51	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
53	2, 1	chincli 31441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ
54	53, 2	chjcomi 31449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))
55	2, 1	chabs1i 31499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)) = 𝐵
56	54, 55	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = 𝐵
57	52, 56	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = 𝐵)
58	50, 57	sseq12d 3992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ 𝐵))
59	37, 58	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
60	36, 59	pm2.61d2 181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
61	60	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
62	1, 2	sumdmdlem 32399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))
63	62	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
64	63, 56	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = 𝐵)
65	1	chshii 31208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
66	6, 65	shsub2i 31354	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
67	64, 66	eqsstrdi 4003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
69	61, 68	sstrd 3969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
70	69	sseld 3957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
71	12, 70	biimtrrid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → ((𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
72	11, 71	mpand 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
73	72	exp32 420	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
74	73	com34 91	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
75		pm2.18 128	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
76	74, 75	syl8 76	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
77	4, 76	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
78	77	pm2.43d 53	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
79	78	ssrdv 3964	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
80	1, 2	chsleji 31439	. . 3 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
81	79, 80	jctil 519	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
82		eqss 3974	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
83	81, 82	sylibr 234	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  {csn 4601  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ℋchba 30900  0_ℎc0v 30905   S_ℋ csh 30909   C_ℋ cch 30910   +_ℋ cph 30912  spancspn 30913   ∨_ℋ chj 30914  0_ℋc0h 30916  HAtomscat 30946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cc 10449  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208  ax-mulf 11209  ax-hilex 30980  ax-hfvadd 30981  ax-hvcom 30982  ax-hvass 30983  ax-hv0cl 30984  ax-hvaddid 30985  ax-hfvmul 30986  ax-hvmulid 30987  ax-hvmulass 30988  ax-hvdistr1 30989  ax-hvdistr2 30990  ax-hvmul0 30991  ax-hfi 31060  ax-his1 31063  ax-his2 31064  ax-his3 31065  ax-his4 31066  ax-hcompl 31183

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-acn 9956  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-lm 23167  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cfil 25207  df-cau 25208  df-cmet 25209  df-grpo 30474  df-gid 30475  df-ginv 30476  df-gdiv 30477  df-ablo 30526  df-vc 30540  df-nv 30573  df-va 30576  df-ba 30577  df-sm 30578  df-0v 30579  df-vs 30580  df-nmcv 30581  df-ims 30582  df-dip 30682  df-ssp 30703  df-ph 30794  df-cbn 30844  df-hnorm 30949  df-hba 30950  df-hvsub 30952  df-hlim 30953  df-hcau 30954  df-sh 31188  df-ch 31202  df-oc 31233  df-ch0 31234  df-shs 31289  df-span 31290  df-chj 31291  df-pjh 31376  df-cv 32260  df-at 32319

This theorem is referenced by:  sumdmdi  32401  dmdbr4ati  32402  dmdbr5ati  32403