Theorem sumdmdlem2 32579

Description: Lemma for sumdmdi 32580. (Contributed by NM, 23-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
sumdmdi.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
sumdmdlem2	⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem sumdmdlem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdmdi.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		sumdmdi.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3	1, 2	chjcli 31617	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
4	3	cheli 31392	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℋ)
5		spansnsh 31721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ Sℋ )
6	2	chshii 31387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
7		shsub2 31485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((span‘{𝑦}) ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (span‘{𝑦}) ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
8	5, 6, 7	sylancl 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
9		spansnid 31723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
10	8, 9	sseldd 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
11	10	ad2antrl 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
12		elin 3918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
13		df-ne 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ≠ 0ℎ ↔ ¬ 𝑦 = 0ℎ)
14		spansna 32510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
15	13, 14	sylan2br 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
16		oveq1 7398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
17	16	ineq1d 4169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
18	16	ineq1d 4169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴))
19	18	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
20	17, 19	sseq12d 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
21	20	rspcv 3576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((span‘{𝑦}) ∈ HAtoms → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
22	15, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
23		spansnj 31807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = (𝐵 ∨ℋ (span‘{𝑦})))
24		spansnch 31720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ Cℋ )
25		chjcom 31666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (span‘{𝑦}) ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
26	24, 25	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 ∨ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
27	23, 26	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
28	2, 27	mpan 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
29	28	ineq1d 4169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
30	28	ineq1d 4169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴))
31	30	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
32	29, 31	sseq12d 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
33	32	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
34	22, 33	sylibrd 261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
35	34	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
36	35	expdimp 456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (¬ 𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
37		ssid 3956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
38		sneq 4589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → {𝑦} = {0ℎ})
39	38	fveq2d 6866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (span‘{𝑦}) = (span‘{0ℎ}))
40		spansn0 31701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (span‘{0ℎ}) = 0ℋ
41	39, 40	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (span‘{𝑦}) = 0ℋ)
42	41	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = (𝐵 +ℋ 0ℋ))
43	6	shs0i 31609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 +ℋ 0ℋ) = 𝐵
44	42, 43	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = 𝐵)
45	44	ineq1d 4169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
46		inss1 4186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐵
47	2, 1	chub2i 31630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
48	37, 47	ssini 4189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
49	46, 48	eqssi 3950	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵
50	45, 49	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵)
51	44	ineq1d 4169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))
52	51	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
53	2, 1	chincli 31620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ
54	53, 2	chjcomi 31628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))
55	2, 1	chabs1i 31678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)) = 𝐵
56	54, 55	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = 𝐵
57	52, 56	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = 𝐵)
58	50, 57	sseq12d 3967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ 𝐵))
59	37, 58	mpbiri 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
60	36, 59	pm2.61d2 182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
61	60	adantrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
62	1, 2	sumdmdlem 32578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))
63	62	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
64	63, 56	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = 𝐵)
65	1	chshii 31387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
66	6, 65	shsub2i 31533	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
67	64, 66	eqsstrdi 3978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
68	67	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
69	61, 68	sstrd 3944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
70	69	sseld 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
71	12, 70	biimtrrid 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → ((𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
72	11, 71	mpand 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
73	72	exp32 424	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
74	73	com34 91	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
75		pm2.18 128	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
76	74, 75	syl8 76	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
77	4, 76	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
78	77	pm2.43d 53	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
79	78	ssrdv 3940	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
80	1, 2	chsleji 31618	. . 3 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
81	79, 80	jctil 527	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
82		eqss 3949	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
83	81, 82	sylibr 236	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  {csn 4579  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ℋchba 31079  0_ℎc0v 31084   S_ℋ csh 31088   C_ℋ cch 31089   +_ℋ cph 31091  spancspn 31092   ∨_ℋ chj 31093  0_ℋc0h 31095  HAtomscat 31125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cc 10386  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146  ax-mulf 11147  ax-hilex 31159  ax-hfvadd 31160  ax-hvcom 31161  ax-hvass 31162  ax-hv0cl 31163  ax-hvaddid 31164  ax-hfvmul 31165  ax-hvmulid 31166  ax-hvmulass 31167  ax-hvdistr1 31168  ax-hvdistr2 31169  ax-hvmul0 31170  ax-hfi 31239  ax-his1 31242  ax-his2 31243  ax-his3 31244  ax-his4 31245  ax-hcompl 31362

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-oadd 8435  df-omul 8436  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-acn 9894  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14338  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17442  df-topn 17443  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-topgen 17463  df-pt 17464  df-prds 17467  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19101  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-fbas 21409  df-fg 21410  df-cnfld 21413  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-cld 23067  df-ntr 23068  df-cls 23069  df-nei 23146  df-cn 23275  df-cnp 23276  df-lm 23277  df-haus 23363  df-tx 23610  df-hmeo 23803  df-fil 23894  df-fm 23986  df-flim 23987  df-flf 23988  df-xms 24368  df-ms 24369  df-tms 24370  df-cfil 25305  df-cau 25306  df-cmet 25307  df-grpo 30653  df-gid 30654  df-ginv 30655  df-gdiv 30656  df-ablo 30705  df-vc 30719  df-nv 30752  df-va 30755  df-ba 30756  df-sm 30757  df-0v 30758  df-vs 30759  df-nmcv 30760  df-ims 30761  df-dip 30861  df-ssp 30882  df-ph 30973  df-cbn 31023  df-hnorm 31128  df-hba 31129  df-hvsub 31131  df-hlim 31132  df-hcau 31133  df-sh 31367  df-ch 31381  df-oc 31412  df-ch0 31413  df-shs 31468  df-span 31469  df-chj 31470  df-pjh 31555  df-cv 32439  df-at 32498

This theorem is referenced by:  sumdmdi  32580  dmdbr4ati  32581  dmdbr5ati  32582