Theorem sumdmdlem2 30781

Description: Lemma for sumdmdi 30782. (Contributed by NM, 23-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
sumdmdi.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
sumdmdlem2	⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem sumdmdlem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdmdi.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		sumdmdi.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3	1, 2	chjcli 29819	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
4	3	cheli 29594	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℋ)
5		spansnsh 29923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ Sℋ )
6	2	chshii 29589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
7		shsub2 29687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((span‘{𝑦}) ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (span‘{𝑦}) ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
9		spansnid 29925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
10	8, 9	sseldd 3922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
11	10	ad2antrl 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
12		elin 3903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
13		df-ne 2944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ≠ 0ℎ ↔ ¬ 𝑦 = 0ℎ)
14		spansna 30712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
15	13, 14	sylan2br 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
16		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
17	16	ineq1d 4145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
18	16	ineq1d 4145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴))
19	18	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
20	17, 19	sseq12d 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
21	20	rspcv 3557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((span‘{𝑦}) ∈ HAtoms → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
22	15, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
23		spansnj 30009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = (𝐵 ∨ℋ (span‘{𝑦})))
24		spansnch 29922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ Cℋ )
25		chjcom 29868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (span‘{𝑦}) ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
26	24, 25	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 ∨ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
27	23, 26	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
28	2, 27	mpan 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
29	28	ineq1d 4145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
30	28	ineq1d 4145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴))
31	30	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
32	29, 31	sseq12d 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
34	22, 33	sylibrd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
35	34	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
36	35	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (¬ 𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
37		ssid 3943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
38		sneq 4571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → {𝑦} = {0ℎ})
39	38	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (span‘{𝑦}) = (span‘{0ℎ}))
40		spansn0 29903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (span‘{0ℎ}) = 0ℋ
41	39, 40	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (span‘{𝑦}) = 0ℋ)
42	41	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = (𝐵 +ℋ 0ℋ))
43	6	shs0i 29811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 +ℋ 0ℋ) = 𝐵
44	42, 43	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = 𝐵)
45	44	ineq1d 4145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
46		inss1 4162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐵
47	2, 1	chub2i 29832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
48	37, 47	ssini 4165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
49	46, 48	eqssi 3937	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵
50	45, 49	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵)
51	44	ineq1d 4145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))
52	51	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
53	2, 1	chincli 29822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ
54	53, 2	chjcomi 29830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))
55	2, 1	chabs1i 29880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)) = 𝐵
56	54, 55	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = 𝐵
57	52, 56	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = 𝐵)
58	50, 57	sseq12d 3954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ 𝐵))
59	37, 58	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
60	36, 59	pm2.61d2 181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
61	60	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
62	1, 2	sumdmdlem 30780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))
63	62	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
64	63, 56	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = 𝐵)
65	1	chshii 29589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
66	6, 65	shsub2i 29735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
67	64, 66	eqsstrdi 3975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
69	61, 68	sstrd 3931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
70	69	sseld 3920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
71	12, 70	syl5bir 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → ((𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
72	11, 71	mpand 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
73	72	exp32 421	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
74	73	com34 91	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
75		pm2.18 128	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
76	74, 75	syl8 76	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
77	4, 76	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
78	77	pm2.43d 53	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
79	78	ssrdv 3927	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
80	1, 2	chsleji 29820	. . 3 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
81	79, 80	jctil 520	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
82		eqss 3936	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
83	81, 82	sylibr 233	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ℋchba 29281  0_ℎc0v 29286   S_ℋ csh 29290   C_ℋ cch 29291   +_ℋ cph 29293  spancspn 29294   ∨_ℋ chj 29295  0_ℋc0h 29297  HAtomscat 29327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvmulass 29369  ax-hvdistr1 29370  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his2 29445  ax-his3 29446  ax-his4 29447  ax-hcompl 29564

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-lm 22380  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cfil 24419  df-cau 24420  df-cmet 24421  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962  df-ims 28963  df-dip 29063  df-ssp 29084  df-ph 29175  df-cbn 29225  df-hnorm 29330  df-hba 29331  df-hvsub 29333  df-hlim 29334  df-hcau 29335  df-sh 29569  df-ch 29583  df-oc 29614  df-ch0 29615  df-shs 29670  df-span 29671  df-chj 29672  df-pjh 29757  df-cv 30641  df-at 30700

This theorem is referenced by:  sumdmdi  30782  dmdbr4ati  30783  dmdbr5ati  30784