HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  sumdmdlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumdmdlem2 30181
Description: Lemma for sumdmdi 30182. (Contributed by NM, 23-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1 𝐴C
sumdmdi.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
sumdmdlem2 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem sumdmdlem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumdmdi.1 . . . . . . . 8 𝐴C
2 sumdmdi.2 . . . . . . . 8 𝐵C
31, 2chjcli 29219 . . . . . . 7 (𝐴 𝐵) ∈ C
43cheli 28994 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ ℋ)
5 spansnsh 29323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ S )
62chshii 28989 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵S
7 shsub2 29087 . . . . . . . . . . . . 13 (((span‘{𝑦}) ∈ S𝐵S ) → (span‘{𝑦}) ⊆ (𝐵 + (span‘{𝑦})))
85, 6, 7sylancl 588 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ⊆ (𝐵 + (span‘{𝑦})))
9 spansnid 29325 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
108, 9sseldd 3947 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝑦})))
1110ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝑦})))
12 elin 3929 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 𝐵)))
13 df-ne 3007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑦 = 0)
14 spansna 30112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
1513, 14sylan2br 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
16 oveq1 7140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (𝑥 𝐵) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
1716ineq1d 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) = (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
1816ineq1d 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴))
1918oveq1d 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
2017, 19sseq12d 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
2120rspcv 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((span‘{𝑦}) ∈ HAtoms → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
2215, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
23 spansnj 29409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵C𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = (𝐵 (span‘{𝑦})))
24 spansnch 29322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ C )
25 chjcom 29268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵C ∧ (span‘{𝑦}) ∈ C ) → (𝐵 (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
2624, 25sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵C𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
2723, 26eqtrd 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵C𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
282, 27mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℋ → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
2928ineq1d 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) = (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
3028ineq1d 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴))
3130oveq1d 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℋ → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
3229, 31sseq12d 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℋ → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3332adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3422, 33sylibrd 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3534com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3635expdimp 455 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (¬ 𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
37 ssid 3968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵𝐵
38 sneq 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 0 → {𝑦} = {0})
3938fveq2d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 0 → (span‘{𝑦}) = (span‘{0}))
40 spansn0 29303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (span‘{0}) = 0
4139, 40syl6eq 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 0 → (span‘{𝑦}) = 0)
4241oveq2d 7149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = (𝐵 + 0))
436shs0i 29211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 + 0) = 𝐵
4442, 43syl6eq 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 0 → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = 𝐵)
4544ineq1d 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)))
46 inss1 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐵
472, 1chub2i 29232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)
4837, 47ssini 4186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵 ⊆ (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵))
4946, 48eqssi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐵
5045, 49syl6eq 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐵)
5144ineq1d 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐵𝐴))
5251oveq1d 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 0 → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((𝐵𝐴) ∨ 𝐵))
532, 1chincli 29222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵𝐴) ∈ C
5453, 2chjcomi 29230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵𝐴) ∨ 𝐵) = (𝐵 (𝐵𝐴))
552, 1chabs1i 29280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 (𝐵𝐴)) = 𝐵
5654, 55eqtri 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵𝐴) ∨ 𝐵) = 𝐵
5752, 56syl6eq 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 0 → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = 𝐵)
5850, 57sseq12d 3979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 0 → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ 𝐵𝐵))
5937, 58mpbiri 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
6036, 59pm2.61d2 183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
6160adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
621, 2sumdmdlem 30180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐵𝐴))
6362oveq1d 7148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((𝐵𝐴) ∨ 𝐵))
6463, 56syl6eq 2871 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = 𝐵)
651chshii 28989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴S
666, 65shsub2i 29135 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 ⊆ (𝐴 + 𝐵)
6764, 66eqsstrdi 4000 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵))
6867adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵))
6961, 68sstrd 3956 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝐴 + 𝐵))
7069sseld 3945 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑦 ∈ ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
7112, 70syl5bir 245 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → ((𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
7211, 71mpand 693 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
7372exp32 423 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))))
7473com34 91 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))))
75 pm2.18 128 . . . . . . 7 ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))
7674, 75syl8 76 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))))
774, 76syl5 34 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))))
7877pm2.43d 53 . . . 4 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
7978ssrdv 3952 . . 3 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵))
801, 2chsleji 29220 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵)
8179, 80jctil 522 . 2 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)))
82 eqss 3961 . 2 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)))
8381, 82sylibr 236 1 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  wral 3125  cin 3912  wss 3913  {csn 4543  cfv 6331  (class class class)co 7133  chba 28681  0c0v 28686   S csh 28690   C cch 28691   + cph 28693  spancspn 28694   chj 28695  0c0h 28697  HAtomscat 28727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cc 9835  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595  ax-hilex 28761  ax-hfvadd 28762  ax-hvcom 28763  ax-hvass 28764  ax-hv0cl 28765  ax-hvaddid 28766  ax-hfvmul 28767  ax-hvmulid 28768  ax-hvmulass 28769  ax-hvdistr1 28770  ax-hvdistr2 28771  ax-hvmul0 28772  ax-hfi 28841  ax-his1 28844  ax-his2 28845  ax-his3 28846  ax-his4 28847  ax-hcompl 28964
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-omul 8085  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-fi 8853  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-card 9346  df-acn 9349  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ioo 12721  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-seq 13354  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-rlim 14826  df-sum 15023  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-lm 21813  df-haus 21899  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cfil 23838  df-cau 23839  df-cmet 23840  df-grpo 28255  df-gid 28256  df-ginv 28257  df-gdiv 28258  df-ablo 28307  df-vc 28321  df-nv 28354  df-va 28357  df-ba 28358  df-sm 28359  df-0v 28360  df-vs 28361  df-nmcv 28362  df-ims 28363  df-dip 28463  df-ssp 28484  df-ph 28575  df-cbn 28625  df-hnorm 28730  df-hba 28731  df-hvsub 28733  df-hlim 28734  df-hcau 28735  df-sh 28969  df-ch 28983  df-oc 29014  df-ch0 29015  df-shs 29070  df-span 29071  df-chj 29072  df-pjh 29157  df-cv 30041  df-at 30100
This theorem is referenced by:  sumdmdi  30182  dmdbr4ati  30183  dmdbr5ati  30184
  Copyright terms: Public domain W3C validator