Theorem sumdmdlem2 31424

Description: Lemma for sumdmdi 31425. (Contributed by NM, 23-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdmdi.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
sumdmdi.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
sumdmdlem2	⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem sumdmdlem2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumdmdi.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		sumdmdi.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
3	1, 2	chjcli 30462	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
4	3	cheli 30237	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℋ)
5		spansnsh 30566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ Sℋ )
6	2	chshii 30232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
7		shsub2 30330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((span‘{𝑦}) ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (span‘{𝑦}) ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ⊆ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
9		spansnid 30568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
10	8, 9	sseldd 3948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
11	10	ad2antrl 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})))
12		elin 3929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
13		df-ne 2940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ≠ 0ℎ ↔ ¬ 𝑦 = 0ℎ)
14		spansna 31355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
15	13, 14	sylan2br 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
16		oveq1 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (𝑥 ∨ℋ 𝐵) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
17	16	ineq1d 4176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
18	16	ineq1d 4176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴))
19	18	oveq1d 7377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
20	17, 19	sseq12d 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
21	20	rspcv 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((span‘{𝑦}) ∈ HAtoms → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
22	15, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
23		spansnj 30652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = (𝐵 ∨ℋ (span‘{𝑦})))
24		spansnch 30565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ Cℋ )
25		chjcom 30511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ (span‘{𝑦}) ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
26	24, 25	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 ∨ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
27	23, 26	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
28	2, 27	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵))
29	28	ineq1d 4176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
30	28	ineq1d 4176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴))
31	30	oveq1d 7377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
32	29, 31	sseq12d 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
34	22, 33	sylibrd 258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
35	34	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0ℎ) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
36	35	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (¬ 𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵)))
37		ssid 3969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
38		sneq 4601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → {𝑦} = {0ℎ})
39	38	fveq2d 6851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (span‘{𝑦}) = (span‘{0ℎ}))
40		spansn0 30546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (span‘{0ℎ}) = 0ℋ
41	39, 40	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (span‘{𝑦}) = 0ℋ)
42	41	oveq2d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = (𝐵 +ℋ 0ℋ))
43	6	shs0i 30454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 +ℋ 0ℋ) = 𝐵
44	42, 43	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) = 𝐵)
45	44	ineq1d 4176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)))
46		inss1 4193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ 𝐵
47	2, 1	chub2i 30475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
48	37, 47	ssini 4196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
49	46, 48	eqssi 3963	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵
50	45, 49	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) = 𝐵)
51	44	ineq1d 4176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))
52	51	oveq1d 7377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
53	2, 1	chincli 30465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) ∈ Cℋ
54	53, 2	chjcomi 30473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴))
55	2, 1	chabs1i 30523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∨ℋ (𝐵 ∩ 𝐴)) = 𝐵
56	54, 55	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = 𝐵
57	52, 56	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = 𝐵)
58	50, 57	sseq12d 3980	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ 𝐵))
59	37, 58	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
60	36, 59	pm2.61d2 181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
61	60	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
62	1, 2	sumdmdlem 31423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))
63	62	oveq1d 7377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = ((𝐵 ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵))
64	63, 56	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) = 𝐵)
65	1	chshii 30232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
66	6, 65	shsub2i 30378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
67	64, 66	eqsstrdi 4001	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
69	61, 68	sstrd 3957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
70	69	sseld 3946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑦 ∈ ((𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
71	12, 70	biimtrrid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → ((𝑦 ∈ (𝐵 +ℋ (span‘{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
72	11, 71	mpand 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
73	72	exp32 421	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
74	73	com34 91	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))))
75		pm2.18 128	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
76	74, 75	syl8 76	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
77	4, 76	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
78	77	pm2.43d 53	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
79	78	ssrdv 3953	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵))
80	1, 2	chsleji 30463	. . 3 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
81	79, 80	jctil 520	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
82		eqss 3962	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ↔ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
83	81, 82	sylibr 233	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (((𝑥 ∨ℋ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ℋ 𝐵) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐴 ∨ℋ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  {csn 4591  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362   ℋchba 29924  0_ℎc0v 29929   S_ℋ csh 29933   C_ℋ cch 29934   +_ℋ cph 29936  spancspn 29937   ∨_ℋ chj 29938  0_ℋc0h 29940  HAtomscat 29970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cc 10380  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139  ax-mulf 11140  ax-hilex 30004  ax-hfvadd 30005  ax-hvcom 30006  ax-hvass 30007  ax-hv0cl 30008  ax-hvaddid 30009  ax-hfvmul 30010  ax-hvmulid 30011  ax-hvmulass 30012  ax-hvdistr1 30013  ax-hvdistr2 30014  ax-hvmul0 30015  ax-hfi 30084  ax-his1 30087  ax-his2 30088  ax-his3 30089  ax-his4 30090  ax-hcompl 30207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-acn 9887  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-ioo 13278  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15583  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-hom 17171  df-cco 17172  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616  df-mulg 18887  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-fbas 20830  df-fg 20831  df-cnfld 20834  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-cld 22407  df-ntr 22408  df-cls 22409  df-nei 22486  df-cn 22615  df-cnp 22616  df-lm 22617  df-haus 22703  df-tx 22950  df-hmeo 23143  df-fil 23234  df-fm 23326  df-flim 23327  df-flf 23328  df-xms 23710  df-ms 23711  df-tms 23712  df-cfil 24656  df-cau 24657  df-cmet 24658  df-grpo 29498  df-gid 29499  df-ginv 29500  df-gdiv 29501  df-ablo 29550  df-vc 29564  df-nv 29597  df-va 29600  df-ba 29601  df-sm 29602  df-0v 29603  df-vs 29604  df-nmcv 29605  df-ims 29606  df-dip 29706  df-ssp 29727  df-ph 29818  df-cbn 29868  df-hnorm 29973  df-hba 29974  df-hvsub 29976  df-hlim 29977  df-hcau 29978  df-sh 30212  df-ch 30226  df-oc 30257  df-ch0 30258  df-shs 30313  df-span 30314  df-chj 30315  df-pjh 30400  df-cv 31284  df-at 31343

This theorem is referenced by:  sumdmdi  31425  dmdbr4ati  31426  dmdbr5ati  31427