Theorem pjclem4a 32207

Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 2-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjclem1.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjclem4a	⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem pjclem4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3966	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻) ↔ (𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ 𝐻))
2		pjclem1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3	2	cheli 31241	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 ∈ ℋ)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
5		pjclem1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
6	5, 2	pjcoi 32167	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
8		pjid 31704	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐴)
9	2, 8	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐴)
10		eleq1 2828	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐴 → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐺 ↔ 𝐴 ∈ 𝐺))
11		pjid 31704	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Cℋ ∧ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐺) → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
12	5, 11	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐺 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
13	10, 12	biimtrrdi 254	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐺 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
14		eqeq2 2748	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐴 → (((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ↔ ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = 𝐴))
15	13, 14	sylibd 239	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐺 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = 𝐴))
16	9, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → (𝐴 ∈ 𝐺 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = 𝐴))
17	16	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = 𝐴)
18	7, 17	eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴)
19	1, 18	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3949   ∘ ccom 5687  ‘cfv 6559   ℋchba 30928   C_ℋ cch 30938  proj_ℎcpjh 30946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-inf2 9677  ax-cc 10471  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-pre-sup 11229  ax-addf 11230  ax-mulf 11231  ax-hilex 31008  ax-hfvadd 31009  ax-hvcom 31010  ax-hvass 31011  ax-hv0cl 31012  ax-hvaddid 31013  ax-hfvmul 31014  ax-hvmulid 31015  ax-hvmulass 31016  ax-hvdistr1 31017  ax-hvdistr2 31018  ax-hvmul0 31019  ax-hfi 31088  ax-his1 31091  ax-his2 31092  ax-his3 31093  ax-his4 31094  ax-hcompl 31211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-isom 6568  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-of 7694  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-supp 8182  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-2o 8503  df-oadd 8506  df-omul 8507  df-er 8741  df-map 8864  df-pm 8865  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9398  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-card 9975  df-acn 9978  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12987  df-rp 13031  df-xneg 13150  df-xadd 13151  df-xmul 13152  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ress 17271  df-plusg 17306  df-mulr 17307  df-starv 17308  df-sca 17309  df-vsca 17310  df-ip 17311  df-tset 17312  df-ple 17313  df-ds 17315  df-unif 17316  df-hom 17317  df-cco 17318  df-rest 17463  df-topn 17464  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-topgen 17484  df-pt 17485  df-prds 17488  df-xrs 17543  df-qtop 17548  df-imas 17549  df-xps 17551  df-mre 17625  df-mrc 17626  df-acs 17628  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-submnd 18793  df-mulg 19082  df-cntz 19331  df-cmn 19796  df-psmet 21348  df-xmet 21349  df-met 21350  df-bl 21351  df-mopn 21352  df-fbas 21353  df-fg 21354  df-cnfld 21357  df-top 22890  df-topon 22907  df-topsp 22929  df-bases 22943  df-cld 23017  df-ntr 23018  df-cls 23019  df-nei 23096  df-cn 23225  df-cnp 23226  df-lm 23227  df-haus 23313  df-tx 23560  df-hmeo 23753  df-fil 23844  df-fm 23936  df-flim 23937  df-flf 23938  df-xms 24320  df-ms 24321  df-tms 24322  df-cfil 25279  df-cau 25280  df-cmet 25281  df-grpo 30502  df-gid 30503  df-ginv 30504  df-gdiv 30505  df-ablo 30554  df-vc 30568  df-nv 30601  df-va 30604  df-ba 30605  df-sm 30606  df-0v 30607  df-vs 30608  df-nmcv 30609  df-ims 30610  df-dip 30710  df-ssp 30731  df-ph 30822  df-cbn 30872  df-hnorm 30977  df-hba 30978  df-hvsub 30980  df-hlim 30981  df-hcau 30982  df-sh 31216  df-ch 31230  df-oc 31261  df-ch0 31262  df-shs 31317  df-pjh 31404

This theorem is referenced by:  pjclem4  32208  pj3lem1  32215