Theorem pjclem4a 32208

Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 2-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjclem1.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjclem4a	⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem pjclem4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3979	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻) ↔ (𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ 𝐻))
2		pjclem1.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3	2	cheli 31242	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 ∈ ℋ)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
5		pjclem1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
6	5, 2	pjcoi 32168	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
8		pjid 31705	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐴)
9	2, 8	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐴)
10		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐴 → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐺 ↔ 𝐴 ∈ 𝐺))
11		pjid 31705	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Cℋ ∧ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐺) → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
12	5, 11	mpan 689	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐺 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))
13	10, 12	biimtrrdi 254	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐺 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
14		eqeq2 2745	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐴 → (((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ↔ ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = 𝐴))
15	13, 14	sylibd 239	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐺 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = 𝐴))
16	9, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → (𝐴 ∈ 𝐺 → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = 𝐴))
17	16	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) → ((projℎ‘𝐺)‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = 𝐴)
18	7, 17	eqtrd 2773	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐺 ∧ 𝐴 ∈ 𝐻) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴)
19	1, 18	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1535   ∈ wcel 2104   ∩ cin 3962   ∘ ccom 5687  ‘cfv 6558   ℋchba 30929   C_ℋ cch 30939  proj_ℎcpjh 30947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-inf2 9672  ax-cc 10466  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226  ax-hilex 31009  ax-hfvadd 31010  ax-hvcom 31011  ax-hvass 31012  ax-hv0cl 31013  ax-hvaddid 31014  ax-hfvmul 31015  ax-hvmulid 31016  ax-hvmulass 31017  ax-hvdistr1 31018  ax-hvdistr2 31019  ax-hvmul0 31020  ax-hfi 31089  ax-his1 31092  ax-his2 31093  ax-his3 31094  ax-his4 31095  ax-hcompl 31212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4915  df-int 4954  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-of 7691  df-om 7881  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-supp 8179  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8499  df-2o 8500  df-oadd 8503  df-omul 8504  df-er 8738  df-map 8861  df-pm 8862  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11912  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-z 12605  df-dec 12725  df-uz 12870  df-q 12982  df-rp 13026  df-xneg 13145  df-xadd 13146  df-xmul 13147  df-ioo 13381  df-ico 13383  df-icc 13384  df-fz 13538  df-fzo 13682  df-fl 13818  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14356  df-cj 15124  df-re 15125  df-im 15126  df-sqrt 15260  df-abs 15261  df-clim 15510  df-rlim 15511  df-sum 15709  df-struct 17170  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-ress 17264  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-hom 17311  df-cco 17312  df-rest 17458  df-topn 17459  df-0g 17477  df-gsum 17478  df-topgen 17479  df-pt 17480  df-prds 17483  df-xrs 17538  df-qtop 17543  df-imas 17544  df-xps 17546  df-mre 17620  df-mrc 17621  df-acs 17623  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18795  df-mulg 19084  df-cntz 19333  df-cmn 19800  df-psmet 21355  df-xmet 21356  df-met 21357  df-bl 21358  df-mopn 21359  df-fbas 21360  df-fg 21361  df-cnfld 21364  df-top 22897  df-topon 22914  df-topsp 22936  df-bases 22950  df-cld 23024  df-ntr 23025  df-cls 23026  df-nei 23103  df-cn 23232  df-cnp 23233  df-lm 23234  df-haus 23320  df-tx 23567  df-hmeo 23760  df-fil 23851  df-fm 23943  df-flim 23944  df-flf 23945  df-xms 24327  df-ms 24328  df-tms 24329  df-cfil 25284  df-cau 25285  df-cmet 25286  df-grpo 30503  df-gid 30504  df-ginv 30505  df-gdiv 30506  df-ablo 30555  df-vc 30569  df-nv 30602  df-va 30605  df-ba 30606  df-sm 30607  df-0v 30608  df-vs 30609  df-nmcv 30610  df-ims 30611  df-dip 30711  df-ssp 30732  df-ph 30823  df-cbn 30873  df-hnorm 30978  df-hba 30979  df-hvsub 30981  df-hlim 30982  df-hcau 30983  df-sh 31217  df-ch 31231  df-oc 31262  df-ch0 31263  df-shs 31318  df-pjh 31405

This theorem is referenced by:  pjclem4  32209  pj3lem1  32216