Theorem pjimai 32494

Description: The image of a projection. Lemma 5 in Daniel Lehmann, "A presentation of Quantum Logic based on an and then connective", https://doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/0701113. (Contributed by NM, 20-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjima.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
pjima.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjimai	⊢ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) = ((𝐴 +ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵)

Proof of Theorem pjimai

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjima.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
2		pjima.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3	2	sheli 31532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → 𝑣 ∈ ℋ)
4		pjeq 31717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤))))
5	1, 3, 4	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → (((projℎ‘𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤))))
6		ibar 537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → (∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤))))
7	6	bicomd 226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤)) ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤)))
8	5, 7	sylan9bbr 519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (((projℎ‘𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤)))
9	1	cheli 31550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → 𝑢 ∈ ℋ)
10	1	choccli 31625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
11	10	cheli 31550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (⊥‘𝐵) → 𝑤 ∈ ℋ)
12		hvsubadd 31395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑣 −ℎ 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑤 +ℎ 𝑢) = 𝑣))
13	12	3comr 1141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑣 −ℎ 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑤 +ℎ 𝑢) = 𝑣))
14		ax-hvcom 31319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑢 +ℎ 𝑤) = (𝑤 +ℎ 𝑢))
15	14	3adant2 1147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑢 +ℎ 𝑤) = (𝑤 +ℎ 𝑢))
16	15	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑢 +ℎ 𝑤) = 𝑣 ↔ (𝑤 +ℎ 𝑢) = 𝑣))
17	13, 16	bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑣 −ℎ 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑢 +ℎ 𝑤) = 𝑣))
18	9, 3, 11, 17	syl3an 1176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)) → ((𝑣 −ℎ 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑢 +ℎ 𝑤) = 𝑣))
19		eqcom 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑣 −ℎ 𝑤) ↔ (𝑣 −ℎ 𝑤) = 𝑢)
20		eqcom 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑢 +ℎ 𝑤) = 𝑣)
21	18, 19, 20	3bitr4g 317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)) → (𝑢 = (𝑣 −ℎ 𝑤) ↔ 𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤)))
22	21	3expa 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)) → (𝑢 = (𝑣 −ℎ 𝑤) ↔ 𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤)))
23	22	rexbidva 3185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 −ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤)))
24	8, 23	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (((projℎ‘𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 −ℎ 𝑤)))
25	24	rexbidva 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ((projℎ‘𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 −ℎ 𝑤)))
26	1	pjfni 32019	. . . . . 6 ⊢ (projℎ‘𝐵) Fn ℋ
27	2	shssii 31531	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
28		fvelimab 6953	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐵) Fn ℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → (𝑢 ∈ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ((projℎ‘𝐵)‘𝑣) = 𝑢))
29	26, 27, 28	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ((projℎ‘𝐵)‘𝑣) = 𝑢)
30	10	chshii 31545	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Sℋ
31		shsel3 31633	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Sℋ ) → (𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 −ℎ 𝑤)))
32	2, 30, 31	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 −ℎ 𝑤))
33	25, 29, 32	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → (𝑢 ∈ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) ↔ 𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐵))))
34	33	pm5.32ri 585	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ↔ (𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵))
35		imassrn 6073	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) ⊆ ran (projℎ‘𝐵)
36	1	pjrni 32020	. . . . . 6 ⊢ ran (projℎ‘𝐵) = 𝐵
37	35, 36	sseqtri 3984	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) ⊆ 𝐵
38	37	sseli 3932	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) → 𝑢 ∈ 𝐵)
39	38	pm4.71i 568	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) ↔ (𝑢 ∈ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵))
40		elin 3920	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ ((𝐴 +ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵) ↔ (𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵))
41	34, 39, 40	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) ↔ 𝑢 ∈ ((𝐴 +ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵))
42	41	eqriv 2758	1 ⊢ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) = ((𝐴 +ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3087   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ran crn 5662   “ cima 5664   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ℋchba 31237   +_ℎ cva 31238   −_ℎ cmv 31243   S_ℋ csh 31246   C_ℋ cch 31247  ⊥cort 31248   +_ℋ cph 31249  proj_ℎcpjh 31255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cc 10418  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178  ax-mulf 11179  ax-hilex 31317  ax-hfvadd 31318  ax-hvcom 31319  ax-hvass 31320  ax-hv0cl 31321  ax-hvaddid 31322  ax-hfvmul 31323  ax-hvmulid 31324  ax-hvmulass 31325  ax-hvdistr1 31326  ax-hvdistr2 31327  ax-hvmul0 31328  ax-hfi 31397  ax-his1 31400  ax-his2 31401  ax-his3 31402  ax-his4 31403  ax-hcompl 31520

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-acn 9927  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-lm 23365  df-haus 23451  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-cfil 25393  df-cau 25394  df-cmet 25395  df-grpo 30811  df-gid 30812  df-ginv 30813  df-gdiv 30814  df-ablo 30863  df-vc 30877  df-nv 30910  df-va 30913  df-ba 30914  df-sm 30915  df-0v 30916  df-vs 30917  df-nmcv 30918  df-ims 30919  df-dip 31019  df-ssp 31040  df-ph 31131  df-cbn 31181  df-hnorm 31286  df-hba 31287  df-hvsub 31289  df-hlim 31290  df-hcau 31291  df-sh 31525  df-ch 31539  df-oc 31570  df-ch0 31571  df-shs 31626  df-pjh 31713

This theorem is referenced by: (None)