Theorem pjimai 32437

Description: The image of a projection. Lemma 5 in Daniel Lehmann, "A presentation of Quantum Logic based on an and then connective", https://doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/0701113. (Contributed by NM, 20-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjima.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
pjima.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjimai	⊢ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) = ((𝐴 +ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵)

Proof of Theorem pjimai

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjima.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
2		pjima.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3	2	sheli 31475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → 𝑣 ∈ ℋ)
4		pjeq 31660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤))))
5	1, 3, 4	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 → (((projℎ‘𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤))))
6		ibar 537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → (∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑢 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤))))
7	6	bicomd 226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤)) ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤)))
8	5, 7	sylan9bbr 519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (((projℎ‘𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤)))
9	1	cheli 31493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → 𝑢 ∈ ℋ)
10	1	choccli 31568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
11	10	cheli 31493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ (⊥‘𝐵) → 𝑤 ∈ ℋ)
12		hvsubadd 31338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑣 −ℎ 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑤 +ℎ 𝑢) = 𝑣))
13	12	3comr 1141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑣 −ℎ 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑤 +ℎ 𝑢) = 𝑣))
14		ax-hvcom 31262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑢 +ℎ 𝑤) = (𝑤 +ℎ 𝑢))
15	14	3adant2 1147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑢 +ℎ 𝑤) = (𝑤 +ℎ 𝑢))
16	15	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑢 +ℎ 𝑤) = 𝑣 ↔ (𝑤 +ℎ 𝑢) = 𝑣))
17	13, 16	bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑣 −ℎ 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑢 +ℎ 𝑤) = 𝑣))
18	9, 3, 11, 17	syl3an 1176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)) → ((𝑣 −ℎ 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑢 +ℎ 𝑤) = 𝑣))
19		eqcom 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑣 −ℎ 𝑤) ↔ (𝑣 −ℎ 𝑤) = 𝑢)
20		eqcom 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤) ↔ (𝑢 +ℎ 𝑤) = 𝑣)
21	18, 19, 20	3bitr4g 317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)) → (𝑢 = (𝑣 −ℎ 𝑤) ↔ 𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤)))
22	21	3expa 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)) → (𝑢 = (𝑣 −ℎ 𝑤) ↔ 𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤)))
23	22	rexbidva 3187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 −ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 +ℎ 𝑤)))
24	8, 23	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (((projℎ‘𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 −ℎ 𝑤)))
25	24	rexbidva 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → (∃𝑣 ∈ 𝐴 ((projℎ‘𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 −ℎ 𝑤)))
26	1	pjfni 31962	. . . . . 6 ⊢ (projℎ‘𝐵) Fn ℋ
27	2	shssii 31474	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
28		fvelimab 6943	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐵) Fn ℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → (𝑢 ∈ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ((projℎ‘𝐵)‘𝑣) = 𝑢))
29	26, 27, 28	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ((projℎ‘𝐵)‘𝑣) = 𝑢)
30	10	chshii 31488	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Sℋ
31		shsel3 31576	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Sℋ ) → (𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 −ℎ 𝑤)))
32	2, 30, 31	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 −ℎ 𝑤))
33	25, 29, 32	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐵 → (𝑢 ∈ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) ↔ 𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐵))))
34	33	pm5.32ri 585	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ↔ (𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵))
35		imassrn 6064	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) ⊆ ran (projℎ‘𝐵)
36	1	pjrni 31963	. . . . . 6 ⊢ ran (projℎ‘𝐵) = 𝐵
37	35, 36	sseqtri 3987	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) ⊆ 𝐵
38	37	sseli 3935	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) → 𝑢 ∈ 𝐵)
39	38	pm4.71i 568	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) ↔ (𝑢 ∈ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵))
40		elin 3923	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ ((𝐴 +ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵) ↔ (𝑢 ∈ (𝐴 +ℋ (⊥‘𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵))
41	34, 39, 40	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) ↔ 𝑢 ∈ ((𝐴 +ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵))
42	41	eqriv 2762	1 ⊢ ((projℎ‘𝐵) “ 𝐴) = ((𝐴 +ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ran crn 5653   “ cima 5655   Fn wfn 6520  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ℋchba 31180   +_ℎ cva 31181   −_ℎ cmv 31186   S_ℋ csh 31189   C_ℋ cch 31190  ⊥cort 31191   +_ℋ cph 31192  proj_ℎcpjh 31198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cc 10407  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167  ax-mulf 11168  ax-hilex 31260  ax-hfvadd 31261  ax-hvcom 31262  ax-hvass 31263  ax-hv0cl 31264  ax-hvaddid 31265  ax-hfvmul 31266  ax-hvmulid 31267  ax-hvmulass 31268  ax-hvdistr1 31269  ax-hvdistr2 31270  ax-hvmul0 31271  ax-hfi 31340  ax-his1 31343  ax-his2 31344  ax-his3 31345  ax-his4 31346  ax-hcompl 31463

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-acn 9916  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-cnfld 21483  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-lm 23347  df-haus 23433  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-fil 23964  df-fm 24056  df-flim 24057  df-flf 24058  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-cfil 25375  df-cau 25376  df-cmet 25377  df-grpo 30754  df-gid 30755  df-ginv 30756  df-gdiv 30757  df-ablo 30806  df-vc 30820  df-nv 30853  df-va 30856  df-ba 30857  df-sm 30858  df-0v 30859  df-vs 30860  df-nmcv 30861  df-ims 30862  df-dip 30962  df-ssp 30983  df-ph 31074  df-cbn 31124  df-hnorm 31229  df-hba 31230  df-hvsub 31232  df-hlim 31233  df-hcau 31234  df-sh 31468  df-ch 31482  df-oc 31513  df-ch0 31514  df-shs 31569  df-pjh 31656

This theorem is referenced by: (None)