HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjnormssi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjnormssi 29955
Description: Theorem 4.5(i)<->(vi) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 26-Sep-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1 𝐺C
pjco.2 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjnormssi (𝐺𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐺

Proof of Theorem pjnormssi
StepHypRef Expression
1 pjco.2 . . . . . . 7 𝐻C
2 pjco.1 . . . . . . 7 𝐺C
31, 2pjssmi 29952 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺𝐻 → (((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥)))
41, 2pjssge0i 29953 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) → 0 ≤ ((((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
53, 4syld 47 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺𝐻 → 0 ≤ ((((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
61, 2pjdifnormi 29954 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (0 ≤ ((((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥) ↔ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))))
75, 6sylibd 242 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺𝐻 → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))))
87com12 32 . . 3 (𝐺𝐻 → (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))))
98ralrimiv 3151 . 2 (𝐺𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)))
101choccli 29094 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐻) ∈ C
1110cheli 29019 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ ℋ)
12 breq2 5037 . . . . . . . . . . . . 13 ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0 → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) ↔ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0))
1312biimpac 482 . . . . . . . . . . . 12 (((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) ∧ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0) → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0)
142pjhcli 29205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
15 normge0 28913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)))
17 normcl 28912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
1814, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
19 0re 10636 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
20 letri3 10719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)))))
2120biimprd 251 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥))) → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0))
2218, 19, 21sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥))) → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0))
2316, 22sylan2i 608 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0))
2423anabsi6 669 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0) → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0)
2513, 24sylan2 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) ∧ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0)) → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0)
2625expr 460 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0 → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0))
271pjhcli 29205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ)
28 norm-i 28916 . . . . . . . . . . . . 13 (((proj𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0 ↔ ((proj𝐻)‘𝑥) = 0))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0 ↔ ((proj𝐻)‘𝑥) = 0))
30 pjoc2 29226 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐻C𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((proj𝐻)‘𝑥) = 0))
311, 30mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((proj𝐻)‘𝑥) = 0))
3229, 31bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0 ↔ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)))
3332adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0 ↔ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)))
34 norm-i 28916 . . . . . . . . . . . . 13 (((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((proj𝐺)‘𝑥) = 0))
3514, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((proj𝐺)‘𝑥) = 0))
36 pjoc2 29226 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺C𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐺) ↔ ((proj𝐺)‘𝑥) = 0))
372, 36mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐺) ↔ ((proj𝐺)‘𝑥) = 0))
3835, 37bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
3938adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
4026, 33, 393imtr3d 296 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
4140ex 416 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺))))
4241a2i 14 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺))))
4311, 42syl5 34 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺))))
4443pm2.43d 53 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
4544alimi 1813 . . . 4 (∀𝑥(𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → ∀𝑥(𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
46 df-ral 3114 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))))
47 dfss2 3904 . . . 4 ((⊥‘𝐻) ⊆ (⊥‘𝐺) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
4845, 46, 473imtr4i 295 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) → (⊥‘𝐻) ⊆ (⊥‘𝐺))
492, 1chsscon3i 29248 . . 3 (𝐺𝐻 ↔ (⊥‘𝐻) ⊆ (⊥‘𝐺))
5048, 49sylibr 237 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) → 𝐺𝐻)
519, 50impbii 212 1 (𝐺𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wal 1536   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  cin 3883  wss 3884   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cr 10529  0cc0 10530  cle 10669  chba 28706   ·ih csp 28709  normcno 28710  0c0v 28711   cmv 28712   C cch 28716  cort 28717  projcpjh 28724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cc 9850  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610  ax-hilex 28786  ax-hfvadd 28787  ax-hvcom 28788  ax-hvass 28789  ax-hv0cl 28790  ax-hvaddid 28791  ax-hfvmul 28792  ax-hvmulid 28793  ax-hvmulass 28794  ax-hvdistr1 28795  ax-hvdistr2 28796  ax-hvmul0 28797  ax-hfi 28866  ax-his1 28869  ax-his2 28870  ax-his3 28871  ax-his4 28872  ax-hcompl 28989
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-lm 21838  df-haus 21924  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cfil 23863  df-cau 23864  df-cmet 23865  df-grpo 28280  df-gid 28281  df-ginv 28282  df-gdiv 28283  df-ablo 28332  df-vc 28346  df-nv 28379  df-va 28382  df-ba 28383  df-sm 28384  df-0v 28385  df-vs 28386  df-nmcv 28387  df-ims 28388  df-dip 28488  df-ssp 28509  df-ph 28600  df-cbn 28650  df-hnorm 28755  df-hba 28756  df-hvsub 28758  df-hlim 28759  df-hcau 28760  df-sh 28994  df-ch 29008  df-oc 29039  df-ch0 29040  df-shs 29095  df-pjh 29182
This theorem is referenced by:  pjssposi  29959
  Copyright terms: Public domain W3C validator