Theorem pjnormssi 31408

Description: Theorem 4.5(i)<->(vi) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 26-Sep-2001.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjco.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjco.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjnormssi	⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐺

Proof of Theorem pjnormssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjco.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2		pjco.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
3	1, 2	pjssmi 31405	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺 ⊆ 𝐻 → (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥)))
4	1, 2	pjssge0i 31406	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = ((projℎ‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) → 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
5	3, 4	syld 47	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺 ⊆ 𝐻 → 0 ≤ ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
6	1, 2	pjdifnormi 31407	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (0 ≤ ((((projℎ‘𝐻)‘𝑥) −ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥) ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))))
7	5, 6	sylibd 238	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺 ⊆ 𝐻 → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))))
8	7	com12 32	. . 3 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))))
9	8	ralrimiv 3145	. 2 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))
10	1	choccli 30547	. . . . . . . 8 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
11	10	cheli 30472	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ ℋ)
12		breq2 5151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = 0 → ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 0))
13	12	biimpac 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) ∧ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = 0) → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 0)
14	2	pjhcli 30658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
15		normge0 30366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))
17		normcl 30365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
19		0re 11212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
20		letri3 11295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)))))
21	20	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = 0))
22	18, 19, 21	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥))) → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = 0))
23	16, 22	sylan2i 606	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = 0))
24	23	anabsi6 668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ 0) → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = 0)
25	13, 24	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) ∧ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = 0)) → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = 0)
26	25	expr 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))) → ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = 0 → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = 0))
27	1	pjhcli 30658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ)
28		norm-i 30369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = 0 ↔ ((projℎ‘𝐻)‘𝑥) = 0ℎ))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = 0 ↔ ((projℎ‘𝐻)‘𝑥) = 0ℎ))
30		pjoc2 30679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((projℎ‘𝐻)‘𝑥) = 0ℎ))
31	1, 30	mpan 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((projℎ‘𝐻)‘𝑥) = 0ℎ))
32	29, 31	bitr4d 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = 0 ↔ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)))
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))) → ((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) = 0 ↔ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)))
34		norm-i 30369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((projℎ‘𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) = 0ℎ))
35	14, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) = 0ℎ))
36		pjoc2 30679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐺) ↔ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) = 0ℎ))
37	2, 36	mpan 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐺) ↔ ((projℎ‘𝐺)‘𝑥) = 0ℎ))
38	35, 37	bitr4d 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))) → ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
40	26, 33, 39	3imtr3d 292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
41	40	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺))))
42	41	a2i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺))))
43	11, 42	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺))))
44	43	pm2.43d 53	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
45	44	alimi 1813	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))) → ∀𝑥(𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
46		df-ral 3062	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥))))
47		dfss2 3967	. . . 4 ⊢ ((⊥‘𝐻) ⊆ (⊥‘𝐺) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
48	45, 46, 47	3imtr4i 291	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) → (⊥‘𝐻) ⊆ (⊥‘𝐺))
49	2, 1	chsscon3i 30701	. . 3 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ (⊥‘𝐻) ⊆ (⊥‘𝐺))
50	48, 49	sylibr 233	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)) → 𝐺 ⊆ 𝐻)
51	9, 50	impbii 208	1 ⊢ (𝐺 ⊆ 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘((projℎ‘𝐺)‘𝑥)) ≤ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106   ≤ cle 11245   ℋchba 30159   ·_ih csp 30162  norm_ℎcno 30163  0_ℎc0v 30164   −_ℎ cmv 30165   C_ℋ cch 30169  ⊥cort 30170  proj_ℎcpjh 30177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30239  ax-hfvadd 30240  ax-hvcom 30241  ax-hvass 30242  ax-hv0cl 30243  ax-hvaddid 30244  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulid 30246  ax-hvmulass 30247  ax-hvdistr1 30248  ax-hvdistr2 30249  ax-hvmul0 30250  ax-hfi 30319  ax-his1 30322  ax-his2 30323  ax-his3 30324  ax-his4 30325  ax-hcompl 30442

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-lm 22724  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cfil 24763  df-cau 24764  df-cmet 24765  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-dip 29941  df-ssp 29962  df-ph 30053  df-cbn 30103  df-hnorm 30208  df-hba 30209  df-hvsub 30211  df-hlim 30212  df-hcau 30213  df-sh 30447  df-ch 30461  df-oc 30492  df-ch0 30493  df-shs 30548  df-pjh 30635

This theorem is referenced by:  pjssposi  31412