Theorem pjclem4 31452

Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 26-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjclem1.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjclem4	⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))

Proof of Theorem pjclem4

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjclem1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
2		pjclem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
3	1, 2	pjcocli 31412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺)
4	3	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺)
5	2, 1	pjcocli 31412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻)
6		fveq1 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥))
7	6	eleq1d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻))
8	5, 7	imbitrrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻))
9	8	imp 408	. . . . . 6 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻)
10	4, 9	elind 4195	. . . . 5 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐺 ∩ 𝐻))
11	1, 2	pjcohcli 31413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
12		hvsubcl 30270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
13	11, 12	mpdan 686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
14	13	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
15		simpl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)) → 𝑥 ∈ ℋ)
16	11	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
17	1, 2	chincli 30713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ∈ Cℋ
18	17	cheli 30485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻) → 𝑦 ∈ ℋ)
19	18	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)) → 𝑦 ∈ ℋ)
20	15, 16, 19	3jca 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
21	20	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻))) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
22		his2sub 30345	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻))) → ((𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
24	6	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦))
25	2, 1	pjadjcoi 31414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
26	18, 25	sylan2 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)) → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)))
27	1, 2	pjclem4a 31451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦) = 𝑦)
28	27	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻) → (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
29	28	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)) → (𝑥 ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
30	26, 29	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)) → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
31	24, 30	sylan9eq 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻))) → ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
32	31	oveq1d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻))) → (((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
33	11, 18	anim12i 614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)) → ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
34	33	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻))) → ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
35		hicl 30333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻))) → ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
37	36	subidd 11559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻))) → (((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = 0)
38	23, 32, 37	3eqtr2d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻))) → ((𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
39	38	expr 458	. . . . . . 7 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻) → ((𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
40	39	ralrimiv 3146	. . . . . 6 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ∀𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)((𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
41	17	chshii 30480	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∩ 𝐻) ∈ Sℋ
42		shocel 30535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∩ 𝐻) ∈ Sℋ → ((𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘(𝐺 ∩ 𝐻)) ↔ ((𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)((𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘(𝐺 ∩ 𝐻)) ↔ ((𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)((𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
44	14, 40, 43	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
45	17	pjvi 30958	. . . . 5 ⊢ (((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐺 ∩ 𝐻) ∧ (𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘(𝐺 ∩ 𝐻))) → ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))‘((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)))) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))
46	10, 44, 45	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))‘((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)))) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))
47		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
48		hvaddsub12 30291	. . . . . . . 8 ⊢ (((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 +ℎ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))))
49	11, 47, 11, 48	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 +ℎ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))))
50		hvsubid 30279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) = 0ℎ)
51	11, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)) = 0ℎ)
52	51	oveq2d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 +ℎ 0ℎ))
53		ax-hvaddid 30257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 +ℎ 0ℎ) = 𝑥)
54	49, 52, 53	3eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥))) = 𝑥)
55	54	fveq2d 6896	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))‘((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)))) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))‘𝑥))
56	55	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))‘((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥)))) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))‘𝑥))
57	46, 56	eqtr3d 2775	. . 3 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))‘𝑥))
58	57	ralrimiva 3147	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))‘𝑥))
59	1	pjfi 30957	. . . 4 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
60	2	pjfi 30957	. . . 4 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
61	59, 60	hocofi 31019	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ
62	17	pjfi 30957	. . 3 ⊢ (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
63	61, 62	hoeqi 31014	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝑥) = ((projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻))‘𝑥) ↔ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))
64	58, 63	sylib 217	1 ⊢ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) → ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)) = (projℎ‘(𝐺 ∩ 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ∩ cin 3948   ∘ ccom 5681  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110   − cmin 11444   ℋchba 30172   +_ℎ cva 30173   ·_ih csp 30175  0_ℎc0v 30177   −_ℎ cmv 30178   S_ℋ csh 30181   C_ℋ cch 30182  ⊥cort 30183  proj_ℎcpjh 30190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338  ax-hcompl 30455

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-ssp 29975  df-ph 30066  df-cbn 30116  df-hnorm 30221  df-hba 30222  df-hvsub 30224  df-hlim 30225  df-hcau 30226  df-sh 30460  df-ch 30474  df-oc 30505  df-ch0 30506  df-shs 30561  df-pjh 30648

This theorem is referenced by:  pjci  31453  pjcmul1i  31454  pjcmul2i  31455