HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjclem4 29630
Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 26-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjclem1.1 𝐺C
pjclem1.2 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjclem4 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) → ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘(𝐺𝐻)))

Proof of Theorem pjclem4
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjclem1.1 . . . . . . . 8 𝐺C
2 pjclem1.2 . . . . . . . 8 𝐻C
31, 2pjcocli 29590 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺)
43adantl 475 . . . . . 6 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺)
52, 1pjcocli 29590 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻)
6 fveq1 6445 . . . . . . . . 9 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥))
76eleq1d 2843 . . . . . . . 8 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻))
85, 7syl5ibr 238 . . . . . . 7 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) → (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻))
98imp 397 . . . . . 6 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻)
104, 9elind 4020 . . . . 5 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐺𝐻))
111, 2pjcohcli 29591 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
12 hvsubcl 28446 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
1311, 12mpdan 677 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
1413adantl 475 . . . . . 6 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
15 simpl 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻)) → 𝑥 ∈ ℋ)
1611adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻)) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
171, 2chincli 28891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺𝐻) ∈ C
1817cheli 28661 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐺𝐻) → 𝑦 ∈ ℋ)
1918adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻)) → 𝑦 ∈ ℋ)
2015, 16, 193jca 1119 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
2120adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻))) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
22 his2sub 28521 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻))) → ((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
246oveq1d 6937 . . . . . . . . . . 11 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦))
252, 1pjadjcoi 29592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
2618, 25sylan2 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻)) → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
271, 2pjclem4a 29629 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐺𝐻) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦) = 𝑦)
2827oveq2d 6938 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐺𝐻) → (𝑥 ·ih (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
2928adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻)) → (𝑥 ·ih (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
3026, 29eqtrd 2813 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻)) → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
3124, 30sylan9eq 2833 . . . . . . . . . 10 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻))) → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
3231oveq1d 6937 . . . . . . . . 9 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻))) → (((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
3311, 18anim12i 606 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻)) → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
3433adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻))) → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
35 hicl 28509 . . . . . . . . . . 11 (((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻))) → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
3736subidd 10722 . . . . . . . . 9 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻))) → (((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = 0)
3823, 32, 373eqtr2d 2819 . . . . . . . 8 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻))) → ((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
3938expr 450 . . . . . . 7 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ (𝐺𝐻) → ((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
4039ralrimiv 3146 . . . . . 6 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ∀𝑦 ∈ (𝐺𝐻)((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
4117chshii 28656 . . . . . . 7 (𝐺𝐻) ∈ S
42 shocel 28713 . . . . . . 7 ((𝐺𝐻) ∈ S → ((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘(𝐺𝐻)) ↔ ((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐺𝐻)((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘(𝐺𝐻)) ↔ ((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐺𝐻)((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
4414, 40, 43sylanbrc 578 . . . . 5 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘(𝐺𝐻)))
4517pjvi 29136 . . . . 5 (((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐺𝐻) ∧ (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘(𝐺𝐻))) → ((proj‘(𝐺𝐻))‘((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))
4610, 44, 45syl2anc 579 . . . 4 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((proj‘(𝐺𝐻))‘((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))
47 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
48 hvaddsub12 28467 . . . . . . . 8 (((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))))
4911, 47, 11, 48syl3anc 1439 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))))
50 hvsubid 28455 . . . . . . . . 9 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) = 0)
5111, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) = 0)
5251oveq2d 6938 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + 0))
53 ax-hvaddid 28433 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
5449, 52, 533eqtrd 2817 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = 𝑥)
5554fveq2d 6450 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj‘(𝐺𝐻))‘((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((proj‘(𝐺𝐻))‘𝑥))
5655adantl 475 . . . 4 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((proj‘(𝐺𝐻))‘((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((proj‘(𝐺𝐻))‘𝑥))
5746, 56eqtr3d 2815 . . 3 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘(𝐺𝐻))‘𝑥))
5857ralrimiva 3147 . 2 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) → ∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘(𝐺𝐻))‘𝑥))
591pjfi 29135 . . . 4 (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ
602pjfi 29135 . . . 4 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
6159, 60hocofi 29197 . . 3 ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)): ℋ⟶ ℋ
6217pjfi 29135 . . 3 (proj‘(𝐺𝐻)): ℋ⟶ ℋ
6361, 62hoeqi 29192 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘(𝐺𝐻))‘𝑥) ↔ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘(𝐺𝐻)))
6458, 63sylib 210 1 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) → ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘(𝐺𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089  cin 3790  ccom 5359  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272  cmin 10606  chba 28348   + cva 28349   ·ih csp 28351  0c0v 28353   cmv 28354   S csh 28357   C cch 28358  cort 28359  projcpjh 28366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cc 9592  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352  ax-hilex 28428  ax-hfvadd 28429  ax-hvcom 28430  ax-hvass 28431  ax-hv0cl 28432  ax-hvaddid 28433  ax-hfvmul 28434  ax-hvmulid 28435  ax-hvmulass 28436  ax-hvdistr1 28437  ax-hvdistr2 28438  ax-hvmul0 28439  ax-hfi 28508  ax-his1 28511  ax-his2 28512  ax-his3 28513  ax-his4 28514  ax-hcompl 28631
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-lm 21441  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cfil 23461  df-cau 23462  df-cmet 23463  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-gdiv 27923  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-vs 28026  df-nmcv 28027  df-ims 28028  df-dip 28128  df-ssp 28149  df-ph 28240  df-cbn 28291  df-hnorm 28397  df-hba 28398  df-hvsub 28400  df-hlim 28401  df-hcau 28402  df-sh 28636  df-ch 28650  df-oc 28681  df-ch0 28682  df-shs 28739  df-pjh 28826
This theorem is referenced by:  pjci  29631  pjcmul1i  29632  pjcmul2i  29633
  Copyright terms: Public domain W3C validator