HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjclem4 31183
Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 26-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjclem1.1 ๐บ โˆˆ Cโ„‹
pjclem1.2 ๐ป โˆˆ Cโ„‹
Assertion
Ref Expression
pjclem4 (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜(๐บ โˆฉ ๐ป)))

Proof of Theorem pjclem4
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjclem1.1 . . . . . . . 8 ๐บ โˆˆ Cโ„‹
2 pjclem1.2 . . . . . . . 8 ๐ป โˆˆ Cโ„‹
31, 2pjcocli 31143 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐บ)
43adantl 483 . . . . . 6 ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐บ)
52, 1pjcocli 31143 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ป)
6 fveq1 6846 . . . . . . . . 9 (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) = (((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ))
76eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ป โ†” (((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ป))
85, 7syl5ibr 246 . . . . . . 7 (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ป))
98imp 408 . . . . . 6 ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ป)
104, 9elind 4159 . . . . 5 ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป))
111, 2pjcohcli 31144 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
12 hvsubcl 30001 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
1311, 12mpdan 686 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
1413adantl 483 . . . . . 6 ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
15 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
1611adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป)) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
171, 2chincli 30444 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐บ โˆฉ ๐ป) โˆˆ Cโ„‹
1817cheli 30216 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
1918adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹)
2015, 16, 193jca 1129 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹))
2120adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹))
22 his2sub 30076 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โˆ’ ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โˆ’ ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
246oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ))
252, 1pjadjcoi 31145 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฆ)))
2618, 25sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป)) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฆ)))
271, 2pjclem4a 31182 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
2827oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
2928adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
3026, 29eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป)) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
3124, 30sylan9eq 2797 . . . . . . . . . 10 ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป))) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ))
3231oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป))) โ†’ (((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆ’ ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) = ((๐‘ฅ ยทih ๐‘ฆ) โˆ’ ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)))
3311, 18anim12i 614 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป)) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹))
3433adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป))) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹))
35 hicl 30064 . . . . . . . . . . 11 (((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป))) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
3736subidd 11507 . . . . . . . . 9 ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป))) โ†’ (((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) โˆ’ ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ)) = 0)
3823, 32, 373eqtr2d 2783 . . . . . . . 8 ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = 0)
3938expr 458 . . . . . . 7 ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = 0))
4039ralrimiv 3143 . . . . . 6 ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป)((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = 0)
4117chshii 30211 . . . . . . 7 (๐บ โˆฉ ๐ป) โˆˆ Sโ„‹
42 shocel 30266 . . . . . . 7 ((๐บ โˆฉ ๐ป) โˆˆ Sโ„‹ โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (โŠฅโ€˜(๐บ โˆฉ ๐ป)) โ†” ((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป)((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = 0)))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (โŠฅโ€˜(๐บ โˆฉ ๐ป)) โ†” ((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป)((๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = 0))
4414, 40, 43sylanbrc 584 . . . . 5 ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (โŠฅโ€˜(๐บ โˆฉ ๐ป)))
4517pjvi 30689 . . . . 5 (((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (๐บ โˆฉ ๐ป) โˆง (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (โŠฅโ€˜(๐บ โˆฉ ๐ป))) โ†’ ((projโ„Žโ€˜(๐บ โˆฉ ๐ป))โ€˜((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)))) = (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ))
4610, 44, 45syl2anc 585 . . . 4 ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((projโ„Žโ€˜(๐บ โˆฉ ๐ป))โ€˜((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)))) = (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ))
47 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
48 hvaddsub12 30022 . . . . . . . 8 (((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ))))
4911, 47, 11, 48syl3anc 1372 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ))))
50 hvsubid 30010 . . . . . . . . 9 ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)) = 0โ„Ž)
5111, 50syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)) = 0โ„Ž)
5251oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ +โ„Ž 0โ„Ž))
53 ax-hvaddid 29988 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž 0โ„Ž) = ๐‘ฅ)
5449, 52, 533eqtrd 2781 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ))) = ๐‘ฅ)
5554fveq2d 6851 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((projโ„Žโ€˜(๐บ โˆฉ ๐ป))โ€˜((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)))) = ((projโ„Žโ€˜(๐บ โˆฉ ๐ป))โ€˜๐‘ฅ))
5655adantl 483 . . . 4 ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((projโ„Žโ€˜(๐บ โˆฉ ๐ป))โ€˜((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ฅ โˆ’โ„Ž (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ)))) = ((projโ„Žโ€˜(๐บ โˆฉ ๐ป))โ€˜๐‘ฅ))
5746, 56eqtr3d 2779 . . 3 ((((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜(๐บ โˆฉ ๐ป))โ€˜๐‘ฅ))
5857ralrimiva 3144 . 2 (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜(๐บ โˆฉ ๐ป))โ€˜๐‘ฅ))
591pjfi 30688 . . . 4 (projโ„Žโ€˜๐บ): โ„‹โŸถ โ„‹
602pjfi 30688 . . . 4 (projโ„Žโ€˜๐ป): โ„‹โŸถ โ„‹
6159, 60hocofi 30750 . . 3 ((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)): โ„‹โŸถ โ„‹
6217pjfi 30688 . . 3 (projโ„Žโ€˜(๐บ โˆฉ ๐ป)): โ„‹โŸถ โ„‹
6361, 62hoeqi 30745 . 2 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป))โ€˜๐‘ฅ) = ((projโ„Žโ€˜(๐บ โˆฉ ๐ป))โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜(๐บ โˆฉ ๐ป)))
6458, 63sylib 217 1 (((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = ((projโ„Žโ€˜๐ป) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐บ)) โ†’ ((projโ„Žโ€˜๐บ) โˆ˜ (projโ„Žโ€˜๐ป)) = (projโ„Žโ€˜(๐บ โˆฉ ๐ป)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065   โˆฉ cin 3914   โˆ˜ ccom 5642  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058   โˆ’ cmin 11392   โ„‹chba 29903   +โ„Ž cva 29904   ยทih csp 29906  0โ„Žc0v 29908   โˆ’โ„Ž cmv 29909   Sโ„‹ csh 29912   Cโ„‹ cch 29913  โŠฅcort 29914  projโ„Žcpjh 29921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr1 29992  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069  ax-hcompl 30186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-lm 22596  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-dip 29685  df-ssp 29706  df-ph 29797  df-cbn 29847  df-hnorm 29952  df-hba 29953  df-hvsub 29955  df-hlim 29956  df-hcau 29957  df-sh 30191  df-ch 30205  df-oc 30236  df-ch0 30237  df-shs 30292  df-pjh 30379
This theorem is referenced by:  pjci  31184  pjcmul1i  31185  pjcmul2i  31186
  Copyright terms: Public domain W3C validator