HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjclem4 32081
Description: Lemma for projection commutation theorem. (Contributed by NM, 26-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjclem1.1 𝐺C
pjclem1.2 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjclem4 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) → ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘(𝐺𝐻)))

Proof of Theorem pjclem4
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjclem1.1 . . . . . . . 8 𝐺C
2 pjclem1.2 . . . . . . . 8 𝐻C
31, 2pjcocli 32041 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺)
43adantl 480 . . . . . 6 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺)
52, 1pjcocli 32041 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻)
6 fveq1 6895 . . . . . . . . 9 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥))
76eleq1d 2810 . . . . . . . 8 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻))
85, 7imbitrrid 245 . . . . . . 7 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) → (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻))
98imp 405 . . . . . 6 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻)
104, 9elind 4192 . . . . 5 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐺𝐻))
111, 2pjcohcli 32042 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
12 hvsubcl 30899 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
1311, 12mpdan 685 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
1413adantl 480 . . . . . 6 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
15 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻)) → 𝑥 ∈ ℋ)
1611adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻)) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
171, 2chincli 31342 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺𝐻) ∈ C
1817cheli 31114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐺𝐻) → 𝑦 ∈ ℋ)
1918adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻)) → 𝑦 ∈ ℋ)
2015, 16, 193jca 1125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
2120adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻))) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
22 his2sub 30974 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻))) → ((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
246oveq1d 7434 . . . . . . . . . . 11 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦))
252, 1pjadjcoi 32043 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
2618, 25sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻)) → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
271, 2pjclem4a 32080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐺𝐻) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦) = 𝑦)
2827oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐺𝐻) → (𝑥 ·ih (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
2928adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻)) → (𝑥 ·ih (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
3026, 29eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻)) → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
3124, 30sylan9eq 2785 . . . . . . . . . 10 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻))) → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
3231oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻))) → (((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
3311, 18anim12i 611 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻)) → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
3433adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻))) → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
35 hicl 30962 . . . . . . . . . . 11 (((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻))) → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
3736subidd 11591 . . . . . . . . 9 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻))) → (((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = 0)
3823, 32, 373eqtr2d 2771 . . . . . . . 8 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ (𝐺𝐻))) → ((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
3938expr 455 . . . . . . 7 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ (𝐺𝐻) → ((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
4039ralrimiv 3134 . . . . . 6 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ∀𝑦 ∈ (𝐺𝐻)((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
4117chshii 31109 . . . . . . 7 (𝐺𝐻) ∈ S
42 shocel 31164 . . . . . . 7 ((𝐺𝐻) ∈ S → ((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘(𝐺𝐻)) ↔ ((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐺𝐻)((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘(𝐺𝐻)) ↔ ((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐺𝐻)((𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
4414, 40, 43sylanbrc 581 . . . . 5 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘(𝐺𝐻)))
4517pjvi 31587 . . . . 5 (((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐺𝐻) ∧ (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘(𝐺𝐻))) → ((proj‘(𝐺𝐻))‘((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))
4610, 44, 45syl2anc 582 . . . 4 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((proj‘(𝐺𝐻))‘((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))
47 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
48 hvaddsub12 30920 . . . . . . . 8 (((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))))
4911, 47, 11, 48syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))))
50 hvsubid 30908 . . . . . . . . 9 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) = 0)
5111, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) = 0)
5251oveq2d 7435 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + 0))
53 ax-hvaddid 30886 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
5449, 52, 533eqtrd 2769 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = 𝑥)
5554fveq2d 6900 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj‘(𝐺𝐻))‘((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((proj‘(𝐺𝐻))‘𝑥))
5655adantl 480 . . . 4 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((proj‘(𝐺𝐻))‘((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((proj‘(𝐺𝐻))‘𝑥))
5746, 56eqtr3d 2767 . . 3 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘(𝐺𝐻))‘𝑥))
5857ralrimiva 3135 . 2 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) → ∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘(𝐺𝐻))‘𝑥))
591pjfi 31586 . . . 4 (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ
602pjfi 31586 . . . 4 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
6159, 60hocofi 31648 . . 3 ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)): ℋ⟶ ℋ
6217pjfi 31586 . . 3 (proj‘(𝐺𝐻)): ℋ⟶ ℋ
6361, 62hoeqi 31643 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘(𝐺𝐻))‘𝑥) ↔ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘(𝐺𝐻)))
6458, 63sylib 217 1 (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) → ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘(𝐺𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  cin 3943  ccom 5682  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  cmin 11476  chba 30801   + cva 30802   ·ih csp 30804  0c0v 30806   cmv 30807   S csh 30810   C cch 30811  cort 30812  projcpjh 30819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cc 10460  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220  ax-hilex 30881  ax-hfvadd 30882  ax-hvcom 30883  ax-hvass 30884  ax-hv0cl 30885  ax-hvaddid 30886  ax-hfvmul 30887  ax-hvmulid 30888  ax-hvmulass 30889  ax-hvdistr1 30890  ax-hvdistr2 30891  ax-hvmul0 30892  ax-hfi 30961  ax-his1 30964  ax-his2 30965  ax-his3 30966  ax-his4 30967  ax-hcompl 31084
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-acn 9967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-lm 23177  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cfil 25227  df-cau 25228  df-cmet 25229  df-grpo 30375  df-gid 30376  df-ginv 30377  df-gdiv 30378  df-ablo 30427  df-vc 30441  df-nv 30474  df-va 30477  df-ba 30478  df-sm 30479  df-0v 30480  df-vs 30481  df-nmcv 30482  df-ims 30483  df-dip 30583  df-ssp 30604  df-ph 30695  df-cbn 30745  df-hnorm 30850  df-hba 30851  df-hvsub 30853  df-hlim 30854  df-hcau 30855  df-sh 31089  df-ch 31103  df-oc 31134  df-ch0 31135  df-shs 31190  df-pjh 31277
This theorem is referenced by:  pjci  32082  pjcmul1i  32083  pjcmul2i  32084
  Copyright terms: Public domain W3C validator