HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  strlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strlem1 31192
Description: Lemma for strong state theorem: if closed subspace 𝐴 is not contained in 𝐵, there is a unit vector 𝑢 in their difference. (Contributed by NM, 25-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
strlem1.1 𝐴C
strlem1.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
strlem1 𝐴𝐵 → ∃𝑢 ∈ (𝐴𝐵)(norm𝑢) = 1)
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵

Proof of Theorem strlem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neq0 4305 . . 3 (¬ (𝐴𝐵) = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
2 ssdif0 4323 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵) = ∅)
31, 2xchnxbir 332 . 2 𝐴𝐵 ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
4 eldifi 4086 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑥𝐴)
5 strlem1.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴C
65cheli 30174 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ)
7 normcl 30067 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
84, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (norm𝑥) ∈ ℝ)
9 strlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵C
10 ch0 30170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵C → 0𝐵)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 0𝐵
12 eldifn 4087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ (𝐴𝐵) → ¬ 0𝐵)
1311, 12mt2 199 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 0 ∈ (𝐴𝐵)
14 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴𝐵)))
1513, 14mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
1615con2i 139 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ¬ 𝑥 = 0)
17 norm-i 30071 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
184, 6, 173syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ((norm𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
1916, 18mtbird 324 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ¬ (norm𝑥) = 0)
2019neqned 2950 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (norm𝑥) ≠ 0)
218, 20rereccld 11982 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (1 / (norm𝑥)) ∈ ℝ)
2221recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ)
235chshii 30169 . . . . . . . . . 10 𝐴S
24 shmulcl 30160 . . . . . . . . . 10 ((𝐴S ∧ (1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐴) → ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐴)
2523, 24mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 (((1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐴) → ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐴)
2625ex 413 . . . . . . . 8 ((1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ → (𝑥𝐴 → ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐴))
2722, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (𝑥𝐴 → ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐴))
288recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (norm𝑥) ∈ ℂ)
299chshii 30169 . . . . . . . . . . . 12 𝐵S
30 shmulcl 30160 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵S ∧ (norm𝑥) ∈ ℂ ∧ ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐵) → ((norm𝑥) · ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ∈ 𝐵)
3129, 30mp3an1 1448 . . . . . . . . . . 11 (((norm𝑥) ∈ ℂ ∧ ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐵) → ((norm𝑥) · ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ∈ 𝐵)
3231ex 413 . . . . . . . . . 10 ((norm𝑥) ∈ ℂ → (((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐵 → ((norm𝑥) · ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ∈ 𝐵))
3328, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐵 → ((norm𝑥) · ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ∈ 𝐵))
3428, 20recidd 11926 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ((norm𝑥) · (1 / (norm𝑥))) = 1)
3534oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (((norm𝑥) · (1 / (norm𝑥))) · 𝑥) = (1 · 𝑥))
364, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑥 ∈ ℋ)
37 ax-hvmulass 29949 . . . . . . . . . . . 12 (((norm𝑥) ∈ ℂ ∧ (1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((norm𝑥) · (1 / (norm𝑥))) · 𝑥) = ((norm𝑥) · ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)))
3828, 22, 36, 37syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (((norm𝑥) · (1 / (norm𝑥))) · 𝑥) = ((norm𝑥) · ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)))
39 ax-hvmulid 29948 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
404, 6, 393syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
4135, 38, 403eqtr3d 2784 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ((norm𝑥) · ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = 𝑥)
4241eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (((norm𝑥) · ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ∈ 𝐵𝑥𝐵))
4333, 42sylibd 238 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐵𝑥𝐵))
4443con3d 152 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (¬ 𝑥𝐵 → ¬ ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐵))
4527, 44anim12d 609 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵) → (((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐵)))
46 eldif 3920 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵))
47 eldif 3920 . . . . . 6 (((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ (𝐴𝐵) ↔ (((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ 𝐵))
4845, 46, 473imtr4g 295 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ (𝐴𝐵)))
4948pm2.43i 52 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ (𝐴𝐵))
50 norm-iii 30082 . . . . . 6 (((1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = ((abs‘(1 / (norm𝑥))) · (norm𝑥)))
5122, 36, 50syl2anc 584 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = ((abs‘(1 / (norm𝑥))) · (norm𝑥)))
5215necon2ai 2973 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑥 ≠ 0)
53 normgt0 30069 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ≠ 0 ↔ 0 < (norm𝑥)))
544, 6, 533syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (𝑥 ≠ 0 ↔ 0 < (norm𝑥)))
5552, 54mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 0 < (norm𝑥))
56 1re 11155 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
57 0le1 11678 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
58 divge0 12024 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (norm𝑥))) → 0 ≤ (1 / (norm𝑥)))
5956, 57, 58mpanl12 700 . . . . . . . 8 (((norm𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (norm𝑥)) → 0 ≤ (1 / (norm𝑥)))
608, 55, 59syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 0 ≤ (1 / (norm𝑥)))
6121, 60absidd 15307 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (abs‘(1 / (norm𝑥))) = (1 / (norm𝑥)))
6261oveq1d 7372 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ((abs‘(1 / (norm𝑥))) · (norm𝑥)) = ((1 / (norm𝑥)) · (norm𝑥)))
6328, 20recid2d 11927 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ((1 / (norm𝑥)) · (norm𝑥)) = 1)
6451, 62, 633eqtrd 2780 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = 1)
65 fveqeq2 6851 . . . . 5 (𝑢 = ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) → ((norm𝑢) = 1 ↔ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = 1))
6665rspcev 3581 . . . 4 ((((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ (𝐴𝐵) ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = 1) → ∃𝑢 ∈ (𝐴𝐵)(norm𝑢) = 1)
6749, 64, 66syl2anc 584 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ∃𝑢 ∈ (𝐴𝐵)(norm𝑢) = 1)
6867exlimiv 1933 . 2 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ∃𝑢 ∈ (𝐴𝐵)(norm𝑢) = 1)
693, 68sylbi 216 1 𝐴𝐵 → ∃𝑢 ∈ (𝐴𝐵)(norm𝑢) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  cdif 3907  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190   / cdiv 11812  abscabs 15119  chba 29861   · csm 29863  normcno 29865  0c0v 29866   S csh 29870   C cch 29871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hv0cl 29945  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his3 30026  ax-his4 30027
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-hnorm 29910  df-sh 30149  df-ch 30163
This theorem is referenced by:  stri  31199  hstri  31207
  Copyright terms: Public domain W3C validator