Theorem pjjsi 31523

Description: A sufficient condition for subspace join to be equal to subspace sum. (Contributed by NM, 29-May-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjjs.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjjs.2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
pjjsi	⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝐺 ∨ℋ 𝐻) = (𝐺 +ℋ 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻

Proof of Theorem pjjsi

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6897	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))
2	1	eleq1d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻))
3	2	rspcv 3605	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) → (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻))
4		pjjs.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
5	4	chshii 31050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
6		pjjs.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
7	5, 6	shjcli 31198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ∈ Cℋ
8	7	cheli 31055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) → 𝑤 ∈ ℋ)
9	4	pjcli 31240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺)
10	9	anim1i 614	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻))
11		axpjpj 31243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤)))
12	4, 11	mpan 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤)))
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤)))
14	10, 13	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → ((((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) ∧ 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))))
15	8, 14	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → ((((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) ∧ 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))))
16		rspceov 7467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻 ∧ 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))) → ∃𝑦 ∈ 𝐺 ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑤 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
17	16	3expa 1116	. . . . . . . 8 ⊢ (((((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) ∧ 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))) → ∃𝑦 ∈ 𝐺 ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑤 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
18	15, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → ∃𝑦 ∈ 𝐺 ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑤 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
19	5, 6	shseli 31139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐺 +ℋ 𝐻) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐺 ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑤 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
20	18, 19	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → 𝑤 ∈ (𝐺 +ℋ 𝐻))
21	20	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) → (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻 → 𝑤 ∈ (𝐺 +ℋ 𝐻)))
22	3, 21	syldc 48	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) → 𝑤 ∈ (𝐺 +ℋ 𝐻)))
23	22	ssrdv 3986	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 +ℋ 𝐻))
24	5, 6	shsleji 31193	. . 3 ⊢ (𝐺 +ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)
25	23, 24	jctir 520	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → ((𝐺 ∨ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 +ℋ 𝐻) ∧ (𝐺 +ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)))
26		eqss 3995	. 2 ⊢ ((𝐺 ∨ℋ 𝐻) = (𝐺 +ℋ 𝐻) ↔ ((𝐺 ∨ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 +ℋ 𝐻) ∧ (𝐺 +ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)))
27	25, 26	sylibr 233	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝐺 ∨ℋ 𝐻) = (𝐺 +ℋ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ℋchba 30742   +_ℎ cva 30743   S_ℋ csh 30751   C_ℋ cch 30752  ⊥cort 30753   +_ℋ cph 30754   ∨_ℋ chj 30756  proj_ℎcpjh 30760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cc 10459  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219  ax-hilex 30822  ax-hfvadd 30823  ax-hvcom 30824  ax-hvass 30825  ax-hv0cl 30826  ax-hvaddid 30827  ax-hfvmul 30828  ax-hvmulid 30829  ax-hvmulass 30830  ax-hvdistr1 30831  ax-hvdistr2 30832  ax-hvmul0 30833  ax-hfi 30902  ax-his1 30905  ax-his2 30906  ax-his3 30907  ax-his4 30908  ax-hcompl 31025

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-acn 9966  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-lm 23146  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cfil 25196  df-cau 25197  df-cmet 25198  df-grpo 30316  df-gid 30317  df-ginv 30318  df-gdiv 30319  df-ablo 30368  df-vc 30382  df-nv 30415  df-va 30418  df-ba 30419  df-sm 30420  df-0v 30421  df-vs 30422  df-nmcv 30423  df-ims 30424  df-dip 30524  df-ssp 30545  df-ph 30636  df-cbn 30686  df-hnorm 30791  df-hba 30792  df-hvsub 30794  df-hlim 30795  df-hcau 30796  df-sh 31030  df-ch 31044  df-oc 31075  df-ch0 31076  df-shs 31131  df-chj 31133  df-pjh 31218

This theorem is referenced by: (None)