Theorem pjjsi 29145

Description: A sufficient condition for subspace join to be equal to subspace sum. (Contributed by NM, 29-May-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjjs.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjjs.2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
pjjsi	⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝐺 ∨ℋ 𝐻) = (𝐺 +ℋ 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻

Proof of Theorem pjjsi

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))
2	1	eleq1d 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻))
3	2	rspcv 3506	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) → (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻))
4		pjjs.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
5	4	chshii 28670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
6		pjjs.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
7	5, 6	shjcli 28820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ∈ Cℋ
8	7	cheli 28675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) → 𝑤 ∈ ℋ)
9	4	pjcli 28862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺)
10	9	anim1i 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻))
11		axpjpj 28865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤)))
12	4, 11	mpan 680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤)))
13	12	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤)))
14	10, 13	jca 507	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → ((((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) ∧ 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))))
15	8, 14	sylan 575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → ((((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) ∧ 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))))
16		rspceov 6968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻 ∧ 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))) → ∃𝑦 ∈ 𝐺 ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑤 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
17	16	3expa 1108	. . . . . . . 8 ⊢ (((((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) ∧ 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))) → ∃𝑦 ∈ 𝐺 ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑤 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
18	15, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → ∃𝑦 ∈ 𝐺 ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑤 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
19	5, 6	shseli 28761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐺 +ℋ 𝐻) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐺 ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑤 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
20	18, 19	sylibr 226	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → 𝑤 ∈ (𝐺 +ℋ 𝐻))
21	20	ex 403	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) → (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻 → 𝑤 ∈ (𝐺 +ℋ 𝐻)))
22	3, 21	syldc 48	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) → 𝑤 ∈ (𝐺 +ℋ 𝐻)))
23	22	ssrdv 3826	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 +ℋ 𝐻))
24	5, 6	shsleji 28815	. . 3 ⊢ (𝐺 +ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)
25	23, 24	jctir 516	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → ((𝐺 ∨ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 +ℋ 𝐻) ∧ (𝐺 +ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)))
26		eqss 3835	. 2 ⊢ ((𝐺 ∨ℋ 𝐻) = (𝐺 +ℋ 𝐻) ↔ ((𝐺 ∨ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 +ℋ 𝐻) ∧ (𝐺 +ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)))
27	25, 26	sylibr 226	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝐺 ∨ℋ 𝐻) = (𝐺 +ℋ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∀wral 3089  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3791  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ℋchba 28362   +_ℎ cva 28363   S_ℋ csh 28371   C_ℋ cch 28372  ⊥cort 28373   +_ℋ cph 28374   ∨_ℋ chj 28376  proj_ℎcpjh 28380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cc 9592  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352  ax-hilex 28442  ax-hfvadd 28443  ax-hvcom 28444  ax-hvass 28445  ax-hv0cl 28446  ax-hvaddid 28447  ax-hfvmul 28448  ax-hvmulid 28449  ax-hvmulass 28450  ax-hvdistr1 28451  ax-hvdistr2 28452  ax-hvmul0 28453  ax-hfi 28522  ax-his1 28525  ax-his2 28526  ax-his3 28527  ax-his4 28528  ax-hcompl 28645

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-lm 21441  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cfil 23461  df-cau 23462  df-cmet 23463  df-grpo 27934  df-gid 27935  df-ginv 27936  df-gdiv 27937  df-ablo 27986  df-vc 28000  df-nv 28033  df-va 28036  df-ba 28037  df-sm 28038  df-0v 28039  df-vs 28040  df-nmcv 28041  df-ims 28042  df-dip 28142  df-ssp 28163  df-ph 28254  df-cbn 28305  df-hnorm 28411  df-hba 28412  df-hvsub 28414  df-hlim 28415  df-hcau 28416  df-sh 28650  df-ch 28664  df-oc 28695  df-ch0 28696  df-shs 28753  df-chj 28755  df-pjh 28840

This theorem is referenced by: (None)