Theorem pjjsi 29479

Description: A sufficient condition for subspace join to be equal to subspace sum. (Contributed by NM, 29-May-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjjs.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjjs.2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
pjjsi	⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝐺 ∨ℋ 𝐻) = (𝐺 +ℋ 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻

Proof of Theorem pjjsi

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) = ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))
2	1	eleq1d 2899	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻))
3	2	rspcv 3620	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) → (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻))
4		pjjs.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
5	4	chshii 29006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
6		pjjs.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
7	5, 6	shjcli 29154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ∈ Cℋ
8	7	cheli 29011	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) → 𝑤 ∈ ℋ)
9	4	pjcli 29196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺)
10	9	anim1i 616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻))
11		axpjpj 29199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Cℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤)))
12	4, 11	mpan 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ℋ → 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤)))
13	12	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤)))
14	10, 13	jca 514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → ((((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) ∧ 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))))
15	8, 14	sylan 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → ((((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) ∧ 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))))
16		rspceov 7205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻 ∧ 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))) → ∃𝑦 ∈ 𝐺 ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑤 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
17	16	3expa 1114	. . . . . . . 8 ⊢ (((((projℎ‘𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) ∧ 𝑤 = (((projℎ‘𝐺)‘𝑤) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))) → ∃𝑦 ∈ 𝐺 ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑤 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
18	15, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → ∃𝑦 ∈ 𝐺 ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑤 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
19	5, 6	shseli 29095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐺 +ℋ 𝐻) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐺 ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑤 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
20	18, 19	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → 𝑤 ∈ (𝐺 +ℋ 𝐻))
21	20	ex 415	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) → (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻 → 𝑤 ∈ (𝐺 +ℋ 𝐻)))
22	3, 21	syldc 48	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝑤 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻) → 𝑤 ∈ (𝐺 +ℋ 𝐻)))
23	22	ssrdv 3975	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝐺 ∨ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 +ℋ 𝐻))
24	5, 6	shsleji 29149	. . 3 ⊢ (𝐺 +ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)
25	23, 24	jctir 523	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → ((𝐺 ∨ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 +ℋ 𝐻) ∧ (𝐺 +ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)))
26		eqss 3984	. 2 ⊢ ((𝐺 ∨ℋ 𝐻) = (𝐺 +ℋ 𝐻) ↔ ((𝐺 ∨ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 +ℋ 𝐻) ∧ (𝐺 +ℋ 𝐻) ⊆ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)))
27	25, 26	sylibr 236	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐺 ∨ℋ 𝐻)((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝐺 ∨ℋ 𝐻) = (𝐺 +ℋ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∃wrex 3141   ⊆ wss 3938  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ℋchba 28698   +_ℎ cva 28699   S_ℋ csh 28707   C_ℋ cch 28708  ⊥cort 28709   +_ℋ cph 28710   ∨_ℋ chj 28712  proj_ℎcpjh 28716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cc 9859  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619  ax-hilex 28778  ax-hfvadd 28779  ax-hvcom 28780  ax-hvass 28781  ax-hv0cl 28782  ax-hvaddid 28783  ax-hfvmul 28784  ax-hvmulid 28785  ax-hvmulass 28786  ax-hvdistr1 28787  ax-hvdistr2 28788  ax-hvmul0 28789  ax-hfi 28858  ax-his1 28861  ax-his2 28862  ax-his3 28863  ax-his4 28864  ax-hcompl 28981

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-omul 8109  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-acn 9373  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-lm 21839  df-haus 21925  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-cfil 23860  df-cau 23861  df-cmet 23862  df-grpo 28272  df-gid 28273  df-ginv 28274  df-gdiv 28275  df-ablo 28324  df-vc 28338  df-nv 28371  df-va 28374  df-ba 28375  df-sm 28376  df-0v 28377  df-vs 28378  df-nmcv 28379  df-ims 28380  df-dip 28480  df-ssp 28501  df-ph 28592  df-cbn 28642  df-hnorm 28747  df-hba 28748  df-hvsub 28750  df-hlim 28751  df-hcau 28752  df-sh 28986  df-ch 29000  df-oc 29031  df-ch0 29032  df-shs 29087  df-chj 29089  df-pjh 29174

This theorem is referenced by: (None)