Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjjsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjjsi 29462
 Description: A sufficient condition for subspace join to be equal to subspace sum. (Contributed by NM, 29-May-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjjs.1 𝐺C
pjjs.2 𝐻S
Assertion
Ref Expression
pjjsi (∀𝑥 ∈ (𝐺 𝐻)((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝐺 𝐻) = (𝐺 + 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻

Proof of Theorem pjjsi
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6646 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) = ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))
21eleq1d 2895 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻))
32rspcv 3597 . . . . 5 (𝑤 ∈ (𝐺 𝐻) → (∀𝑥 ∈ (𝐺 𝐻)((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻))
4 pjjs.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐺C
54chshii 28989 . . . . . . . . . . 11 𝐺S
6 pjjs.2 . . . . . . . . . . 11 𝐻S
75, 6shjcli 29137 . . . . . . . . . 10 (𝐺 𝐻) ∈ C
87cheli 28994 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (𝐺 𝐻) → 𝑤 ∈ ℋ)
94pjcli 29179 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℋ → ((proj𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺)
109anim1i 616 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → (((proj𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻))
11 axpjpj 29182 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺C𝑤 ∈ ℋ) → 𝑤 = (((proj𝐺)‘𝑤) + ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤)))
124, 11mpan 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℋ → 𝑤 = (((proj𝐺)‘𝑤) + ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤)))
1312adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → 𝑤 = (((proj𝐺)‘𝑤) + ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤)))
1410, 13jca 514 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → ((((proj𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) ∧ 𝑤 = (((proj𝐺)‘𝑤) + ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))))
158, 14sylan 582 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ (𝐺 𝐻) ∧ ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → ((((proj𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) ∧ 𝑤 = (((proj𝐺)‘𝑤) + ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))))
16 rspceov 7180 . . . . . . . . 9 ((((proj𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻𝑤 = (((proj𝐺)‘𝑤) + ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))) → ∃𝑦𝐺𝑧𝐻 𝑤 = (𝑦 + 𝑧))
17163expa 1114 . . . . . . . 8 (((((proj𝐺)‘𝑤) ∈ 𝐺 ∧ ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) ∧ 𝑤 = (((proj𝐺)‘𝑤) + ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤))) → ∃𝑦𝐺𝑧𝐻 𝑤 = (𝑦 + 𝑧))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ (𝐺 𝐻) ∧ ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → ∃𝑦𝐺𝑧𝐻 𝑤 = (𝑦 + 𝑧))
195, 6shseli 29078 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (𝐺 + 𝐻) ↔ ∃𝑦𝐺𝑧𝐻 𝑤 = (𝑦 + 𝑧))
2018, 19sylibr 236 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ (𝐺 𝐻) ∧ ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻) → 𝑤 ∈ (𝐺 + 𝐻))
2120ex 415 . . . . 5 (𝑤 ∈ (𝐺 𝐻) → (((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑤) ∈ 𝐻𝑤 ∈ (𝐺 + 𝐻)))
223, 21syldc 48 . . . 4 (∀𝑥 ∈ (𝐺 𝐻)((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝑤 ∈ (𝐺 𝐻) → 𝑤 ∈ (𝐺 + 𝐻)))
2322ssrdv 3952 . . 3 (∀𝑥 ∈ (𝐺 𝐻)((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝐺 𝐻) ⊆ (𝐺 + 𝐻))
245, 6shsleji 29132 . . 3 (𝐺 + 𝐻) ⊆ (𝐺 𝐻)
2523, 24jctir 523 . 2 (∀𝑥 ∈ (𝐺 𝐻)((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → ((𝐺 𝐻) ⊆ (𝐺 + 𝐻) ∧ (𝐺 + 𝐻) ⊆ (𝐺 𝐻)))
26 eqss 3961 . 2 ((𝐺 𝐻) = (𝐺 + 𝐻) ↔ ((𝐺 𝐻) ⊆ (𝐺 + 𝐻) ∧ (𝐺 + 𝐻) ⊆ (𝐺 𝐻)))
2725, 26sylibr 236 1 (∀𝑥 ∈ (𝐺 𝐻)((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐻 → (𝐺 𝐻) = (𝐺 + 𝐻))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3125  ∃wrex 3126   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133   ℋchba 28681   +ℎ cva 28682   Sℋ csh 28690   Cℋ cch 28691  ⊥cort 28692   +ℋ cph 28693   ∨ℋ chj 28695  projℎcpjh 28699 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cc 9835  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595  ax-hilex 28761  ax-hfvadd 28762  ax-hvcom 28763  ax-hvass 28764  ax-hv0cl 28765  ax-hvaddid 28766  ax-hfvmul 28767  ax-hvmulid 28768  ax-hvmulass 28769  ax-hvdistr1 28770  ax-hvdistr2 28771  ax-hvmul0 28772  ax-hfi 28841  ax-his1 28844  ax-his2 28845  ax-his3 28846  ax-his4 28847  ax-hcompl 28964 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-omul 8085  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-fi 8853  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-card 9346  df-acn 9349  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ioo 12721  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-seq 13354  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-rlim 14826  df-sum 15023  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-lm 21813  df-haus 21899  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cfil 23838  df-cau 23839  df-cmet 23840  df-grpo 28255  df-gid 28256  df-ginv 28257  df-gdiv 28258  df-ablo 28307  df-vc 28321  df-nv 28354  df-va 28357  df-ba 28358  df-sm 28359  df-0v 28360  df-vs 28361  df-nmcv 28362  df-ims 28363  df-dip 28463  df-ssp 28484  df-ph 28575  df-cbn 28625  df-hnorm 28730  df-hba 28731  df-hvsub 28733  df-hlim 28734  df-hcau 28735  df-sh 28969  df-ch 28983  df-oc 29014  df-ch0 29015  df-shs 29070  df-chj 29072  df-pjh 29157 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator