HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spansncvi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spansncvi 30055
Description: Hilbert space has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (Contributed by NM, 7-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spansncv.1 𝐴 ∈ Cβ„‹
spansncv.2 𝐡 ∈ Cβ„‹
spansncv.3 𝐢 ∈ β„‹
Assertion
Ref Expression
spansncvi ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ 𝐡 = (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})))

Proof of Theorem spansncvi
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . 2 ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})))
2 pssss 4036 . . . 4 (𝐴 ⊊ 𝐡 β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
32adantr 482 . . 3 ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
4 pssnel 4410 . . . . . . 7 (𝐴 ⊊ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴))
5 ssel2 3921 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})))
6 spansncv.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴 ∈ Cβ„‹
7 spansncv.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐢 ∈ β„‹
86, 7spansnji 30049 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) = (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢}))
98eleq2i 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (𝐴 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ↔ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})))
107spansnchi 29965 . . . . . . . . . . . . . . 15 (spanβ€˜{𝐢}) ∈ Cβ„‹
116, 10chseli 29862 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (𝐴 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ (spanβ€˜{𝐢})π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧))
129, 11bitr3i 278 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ (spanβ€˜{𝐢})π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧))
13 eleq1 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ 𝐡))
1413biimpac 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ 𝐡)
152sselda 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
16 spansncv.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐡 ∈ Cβ„‹
1716chshii 29630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐡 ∈ Sβ„‹
18 shsubcl 29623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐡 ∈ Sβ„‹ ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ 𝐡)
1917, 18mp3an1 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ 𝐡)
2014, 15, 19syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ 𝐡)
2120exp43 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) β†’ (𝐴 ⊊ 𝐡 β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ 𝐡))))
2221com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) β†’ (𝐴 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ 𝐡))))
2322imp45 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ 𝐡)
246cheli 29635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ β„‹)
2510cheli 29635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑧 ∈ β„‹)
26 hvpncan2 29443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑦) = 𝑧)
2724, 25, 26syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑦) = 𝑧)
2827eleq1d 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (((𝑦 +β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ 𝐡 ↔ 𝑧 ∈ 𝐡))
2923, 28syl5ib 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡))
3029imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
3130anandis 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) ∧ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
3231exp45 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) β†’ ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡))))
3332imp41 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
3433adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
35 oveq2 7311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 = 0β„Ž β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑦 +β„Ž 0β„Ž))
36 ax-hvaddid 29407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (𝑦 +β„Ž 0β„Ž) = 𝑦)
3724, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (𝑦 +β„Ž 0β„Ž) = 𝑦)
3835, 37sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0β„Ž) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = 𝑦)
3938eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0β„Ž) β†’ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) ↔ π‘₯ = 𝑦))
40 eleq1a 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ = 𝑦 β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4140adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0β„Ž) β†’ (π‘₯ = 𝑦 β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4239, 41sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0β„Ž) β†’ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4342impancom 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) β†’ (𝑧 = 0β„Ž β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4443necon3bd 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ 𝑧 β‰  0β„Ž))
4544imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 β‰  0β„Ž)
46 spansnss 29974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐡 ∈ Sβ„‹ ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (spanβ€˜{𝑧}) βŠ† 𝐡)
4717, 46mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝑧}) βŠ† 𝐡)
48 spansneleq 29973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) β†’ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (spanβ€˜{𝑧}) = (spanβ€˜{𝐢})))
497, 48mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 β‰  0β„Ž β†’ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (spanβ€˜{𝑧}) = (spanβ€˜{𝐢})))
5049imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (spanβ€˜{𝑧}) = (spanβ€˜{𝐢}))
5150sseq1d 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ ((spanβ€˜{𝑧}) βŠ† 𝐡 ↔ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
5247, 51syl5ib 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
5352ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
5445, 53sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
5554exp44 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡)))))
5655com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡)))))
5756imp41 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
5857adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
5934, 58mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡)
6059exp43 438 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) β†’ ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))))
6160rexlimivv 3193 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ (spanβ€˜{𝐢})π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) β†’ ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡)))
6212, 61sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡)))
635, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡)))
6463imp 408 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
6564anandirs 677 . . . . . . . . 9 (((𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
6665expimpd 455 . . . . . . . 8 ((𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
6766exlimdv 1934 . . . . . . 7 ((𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
684, 67syl5 34 . . . . . 6 ((𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐡) β†’ (𝐴 ⊊ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
6968ex 414 . . . . 5 (𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (𝐴 ⊊ 𝐡 β†’ (𝐴 ⊊ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡)))
7069pm2.43d 53 . . . 4 (𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (𝐴 ⊊ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
7170impcom 409 . . 3 ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡)
726, 10, 16chlubii 29875 . . 3 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡) β†’ (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) βŠ† 𝐡)
733, 71, 72syl2anc 585 . 2 ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) βŠ† 𝐡)
741, 73eqssd 3943 1 ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ 𝐡 = (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3892   ⊊ wpss 3893  {csn 4565  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303   β„‹chba 29322   +β„Ž cva 29323  0β„Žc0v 29327   βˆ’β„Ž cmv 29328   Sβ„‹ csh 29331   Cβ„‹ cch 29332   +β„‹ cph 29334  spancspn 29335   βˆ¨β„‹ chj 29336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-inf2 9439  ax-cc 10233  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990  ax-pre-sup 10991  ax-addf 10992  ax-mulf 10993  ax-hilex 29402  ax-hfvadd 29403  ax-hvcom 29404  ax-hvass 29405  ax-hv0cl 29406  ax-hvaddid 29407  ax-hfvmul 29408  ax-hvmulid 29409  ax-hvmulass 29410  ax-hvdistr1 29411  ax-hvdistr2 29412  ax-hvmul0 29413  ax-hfi 29482  ax-his1 29485  ax-his2 29486  ax-his3 29487  ax-his4 29488  ax-hcompl 29605
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-se 5552  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-isom 6463  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-of 7561  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-supp 8005  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-2o 8325  df-oadd 8328  df-omul 8329  df-er 8525  df-map 8644  df-pm 8645  df-ixp 8713  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-fsupp 9169  df-fi 9210  df-sup 9241  df-inf 9242  df-oi 9309  df-card 9737  df-acn 9740  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-div 11675  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-4 12080  df-5 12081  df-6 12082  df-7 12083  df-8 12084  df-9 12085  df-n0 12276  df-z 12362  df-dec 12480  df-uz 12625  df-q 12731  df-rp 12773  df-xneg 12890  df-xadd 12891  df-xmul 12892  df-ioo 13125  df-ico 13127  df-icc 13128  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-fl 13554  df-seq 13764  df-exp 13825  df-hash 14087  df-cj 14851  df-re 14852  df-im 14853  df-sqrt 14987  df-abs 14988  df-clim 15238  df-rlim 15239  df-sum 15439  df-struct 16889  df-sets 16906  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-ress 16983  df-plusg 17016  df-mulr 17017  df-starv 17018  df-sca 17019  df-vsca 17020  df-ip 17021  df-tset 17022  df-ple 17023  df-ds 17025  df-unif 17026  df-hom 17027  df-cco 17028  df-rest 17174  df-topn 17175  df-0g 17193  df-gsum 17194  df-topgen 17195  df-pt 17196  df-prds 17199  df-xrs 17254  df-qtop 17259  df-imas 17260  df-xps 17262  df-mre 17336  df-mrc 17337  df-acs 17339  df-mgm 18367  df-sgrp 18416  df-mnd 18427  df-submnd 18472  df-mulg 18742  df-cntz 18964  df-cmn 19429  df-psmet 20630  df-xmet 20631  df-met 20632  df-bl 20633  df-mopn 20634  df-fbas 20635  df-fg 20636  df-cnfld 20639  df-top 22084  df-topon 22101  df-topsp 22123  df-bases 22137  df-cld 22211  df-ntr 22212  df-cls 22213  df-nei 22290  df-cn 22419  df-cnp 22420  df-lm 22421  df-haus 22507  df-tx 22754  df-hmeo 22947  df-fil 23038  df-fm 23130  df-flim 23131  df-flf 23132  df-xms 23514  df-ms 23515  df-tms 23516  df-cfil 24460  df-cau 24461  df-cmet 24462  df-grpo 28896  df-gid 28897  df-ginv 28898  df-gdiv 28899  df-ablo 28948  df-vc 28962  df-nv 28995  df-va 28998  df-ba 28999  df-sm 29000  df-0v 29001  df-vs 29002  df-nmcv 29003  df-ims 29004  df-dip 29104  df-ssp 29125  df-ph 29216  df-cbn 29266  df-hnorm 29371  df-hba 29372  df-hvsub 29374  df-hlim 29375  df-hcau 29376  df-sh 29610  df-ch 29624  df-oc 29655  df-ch0 29656  df-shs 29711  df-span 29712  df-chj 29713  df-pjh 29798
This theorem is referenced by:  spansncv  30056
  Copyright terms: Public domain W3C validator