HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spansncvi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem spansncvi 30943
Description: Hilbert space has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (Contributed by NM, 7-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spansncv.1 𝐴 ∈ Cβ„‹
spansncv.2 𝐡 ∈ Cβ„‹
spansncv.3 𝐢 ∈ β„‹
Assertion
Ref Expression
spansncvi ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ 𝐡 = (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})))
Proof of Theorem spansncvi
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . 2 ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})))
2 pssss 4095 . . . 4 (𝐴 ⊊ 𝐡 β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
32adantr 481 . . 3 ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
4 pssnel 4470 . . . . . . 7 (𝐴 ⊊ 𝐡 β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴))
5 ssel2 3977 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})))
6 spansncv.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴 ∈ Cβ„‹
7 spansncv.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐢 ∈ β„‹
86, 7spansnji 30937 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) = (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢}))
98eleq2i 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (𝐴 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ↔ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})))
107spansnchi 30853 . . . . . . . . . . . . . . 15 (spanβ€˜{𝐢}) ∈ Cβ„‹
116, 10chseli 30750 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (𝐴 +β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ (spanβ€˜{𝐢})π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧))
129, 11bitr3i 276 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ (spanβ€˜{𝐢})π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧))
13 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ 𝐡))
1413biimpac 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ 𝐡)
152sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
16 spansncv.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐡 ∈ Cβ„‹
1716chshii 30518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐡 ∈ Sβ„‹
18 shsubcl 30511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐡 ∈ Sβ„‹ ∧ (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ 𝐡)
1917, 18mp3an1 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 +β„Ž 𝑧) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ 𝐡)
2014, 15, 19syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ 𝐡)
2120exp43 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) β†’ (𝐴 ⊊ 𝐡 β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ 𝐡))))
2221com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) β†’ (𝐴 ⊊ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ 𝐡))))
2322imp45 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ 𝐡)
246cheli 30523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ β„‹)
2510cheli 30523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ 𝑧 ∈ β„‹)
26 hvpncan2 30331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑦) = 𝑧)
2724, 25, 26syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ ((𝑦 +β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑦) = 𝑧)
2827eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (((𝑦 +β„Ž 𝑧) βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ 𝐡 ↔ 𝑧 ∈ 𝐡))
2923, 28imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡))
3029imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
3130anandis 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) ∧ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
3231exp45 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) β†’ ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡))))
3332imp41 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
3433adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
35 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 = 0β„Ž β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = (𝑦 +β„Ž 0β„Ž))
36 ax-hvaddid 30295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (𝑦 +β„Ž 0β„Ž) = 𝑦)
3724, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (𝑦 +β„Ž 0β„Ž) = 𝑦)
3835, 37sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0β„Ž) β†’ (𝑦 +β„Ž 𝑧) = 𝑦)
3938eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0β„Ž) β†’ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) ↔ π‘₯ = 𝑦))
40 eleq1a 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ = 𝑦 β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0β„Ž) β†’ (π‘₯ = 𝑦 β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4239, 41sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0β„Ž) β†’ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4342impancom 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) β†’ (𝑧 = 0β„Ž β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
4443necon3bd 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ 𝑧 β‰  0β„Ž))
4544imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 β‰  0β„Ž)
46 spansnss 30862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐡 ∈ Sβ„‹ ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (spanβ€˜{𝑧}) βŠ† 𝐡)
4717, 46mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝑧}) βŠ† 𝐡)
48 spansneleq 30861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐢 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) β†’ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (spanβ€˜{𝑧}) = (spanβ€˜{𝐢})))
497, 48mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 β‰  0β„Ž β†’ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (spanβ€˜{𝑧}) = (spanβ€˜{𝐢})))
5049imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (spanβ€˜{𝑧}) = (spanβ€˜{𝐢}))
5150sseq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ ((spanβ€˜{𝑧}) βŠ† 𝐡 ↔ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
5247, 51imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 β‰  0β„Ž ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
5352ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) ∧ 𝑧 β‰  0β„Ž) β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
5445, 53sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
5554exp44 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡)))))
5655com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢}) β†’ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡)))))
5756imp41 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
5857adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑧 ∈ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
5934, 58mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡)
6059exp43 437 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) β†’ ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))))
6160rexlimivv 3199 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘§ ∈ (spanβ€˜{𝐢})π‘₯ = (𝑦 +β„Ž 𝑧) β†’ ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡)))
6212, 61sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡)))
635, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡)))
6463imp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
6564anandirs 677 . . . . . . . . 9 (((𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
6665expimpd 454 . . . . . . . 8 ((𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
6766exlimdv 1936 . . . . . . 7 ((𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
684, 67syl5 34 . . . . . 6 ((𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐡) β†’ (𝐴 ⊊ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
6968ex 413 . . . . 5 (𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (𝐴 ⊊ 𝐡 β†’ (𝐴 ⊊ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡)))
7069pm2.43d 53 . . . 4 (𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) β†’ (𝐴 ⊊ 𝐡 β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡))
7170impcom 408 . . 3 ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡)
726, 10, 16chlubii 30763 . . 3 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ (spanβ€˜{𝐢}) βŠ† 𝐡) β†’ (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) βŠ† 𝐡)
733, 71, 72syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})) βŠ† 𝐡)
741, 73eqssd 3999 1 ((𝐴 ⊊ 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢}))) β†’ 𝐡 = (𝐴 βˆ¨β„‹ (spanβ€˜{𝐢})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   β„‹chba 30210   +β„Ž cva 30211  0β„Žc0v 30215   βˆ’β„Ž cmv 30216   Sβ„‹ csh 30219   Cβ„‹ cch 30220   +β„‹ cph 30222  spancspn 30223   βˆ¨β„‹ chj 30224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30290  ax-hfvadd 30291  ax-hvcom 30292  ax-hvass 30293  ax-hv0cl 30294  ax-hvaddid 30295  ax-hfvmul 30296  ax-hvmulid 30297  ax-hvmulass 30298  ax-hvdistr1 30299  ax-hvdistr2 30300  ax-hvmul0 30301  ax-hfi 30370  ax-his1 30373  ax-his2 30374  ax-his3 30375  ax-his4 30376  ax-hcompl 30493
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-lm 22740  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cfil 24779  df-cau 24780  df-cmet 24781  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ginv 29786  df-gdiv 29787  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-vs 29890  df-nmcv 29891  df-ims 29892  df-dip 29992  df-ssp 30013  df-ph 30104  df-cbn 30154  df-hnorm 30259  df-hba 30260  df-hvsub 30262  df-hlim 30263  df-hcau 30264  df-sh 30498  df-ch 30512  df-oc 30543  df-ch0 30544  df-shs 30599  df-span 30600  df-chj 30601  df-pjh 30686
This theorem is referenced by:  spansncv  30944
  Copyright terms: Public domain W3C validator