Theorem spansncvi 32281

Description: Hilbert space has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (Contributed by NM, 7-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spansncv.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
spansncv.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
spansncv.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spansncvi	⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))

Proof of Theorem spansncvi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))
2		pssss 4028	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		pssnel 4427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
5		ssel2 3908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))
6		spansncv.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
7		spansncv.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
8	6, 7	spansnji 32275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐶})) = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))
9	8	eleq2i 2856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))
10	7	spansnchi 32191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (span‘{𝐶}) ∈ Cℋ
11	6, 10	chseli 32088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
12	9, 11	bitr3i 280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
13		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵))
14	13	biimpac 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
15	2	sselda 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		spansncv.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
17	16	chshii 31856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
18		shsubcl 31849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
19	17, 18	mp3an1 1478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
20	14, 15, 19	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
21	20	exp43 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵))))
22	21	com14 97	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵))))
23	22	imp45 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
24	6	cheli 31861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
25	10	cheli 31861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑧 ∈ ℋ)
26		hvpncan2 31669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) = 𝑧)
27	24, 25, 26	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) = 𝑧)
28	27	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ 𝐵))
29	23, 28	imbitrid 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))) → 𝑧 ∈ 𝐵))
30	29	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
31	30	anandis 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
32	31	exp45 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵))))
33	32	imp41 431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
34	33	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
35		oveq2 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 = 0ℎ → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑦 +ℎ 0ℎ))
36		ax-hvaddid 31633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 +ℎ 0ℎ) = 𝑦)
37	24, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 +ℎ 0ℎ) = 𝑦)
38	35, 37	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = 𝑦)
39	38	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑦))
40		eleq1a 2859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝐴))
41	40	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝐴))
42	39, 41	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴))
43	42	impancom 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → (𝑧 = 0ℎ → 𝑥 ∈ 𝐴))
44	43	necon3bd 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑧 ≠ 0ℎ))
45	44	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≠ 0ℎ)
46		spansnss 32200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵)
47	17, 46	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵)
48		spansneleq 32199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶})))
49	7, 48	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ≠ 0ℎ → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶})))
50	49	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶}))
51	50	sseq1d 3944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵 ↔ (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
52	47, 51	imbitrid 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
53	52	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
54	45, 53	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
55	54	exp44 443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))))
56	55	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))))
57	56	imp41 431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
58	57	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
59	34, 58	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)
60	59	exp43 442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))))
61	60	rexlimivv 3208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
62	12, 61	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
63	5, 62	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
64	63	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
65	64	anandirs 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
66	65	expimpd 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
67	66	exlimdv 1968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
68	4, 67	syl5 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
69	68	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
70	69	pm2.43d 54	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
71	70	impcom 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)
72	6, 10, 16	chlubii 32101	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ⊆ 𝐵)
73	3, 71, 72	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ⊆ 𝐵)
74	1, 73	eqssd 3930	1 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 4016  {csn 4588  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ℋchba 31548   +_ℎ cva 31549  0_ℎc0v 31553   −_ℎ cmv 31554   S_ℋ csh 31557   C_ℋ cch 31558   +_ℋ cph 31560  spancspn 31561   ∨_ℋ chj 31562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cc 10537  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303  ax-mulf 11304  ax-hilex 31628  ax-hfvadd 31629  ax-hvcom 31630  ax-hvass 31631  ax-hv0cl 31632  ax-hvaddid 31633  ax-hfvmul 31634  ax-hvmulid 31635  ax-hvmulass 31636  ax-hvdistr1 31637  ax-hvdistr2 31638  ax-hvmul0 31639  ax-hfi 31708  ax-his1 31711  ax-his2 31712  ax-his3 31713  ax-his4 31714  ax-hcompl 31831

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-omul 8506  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-acn 10047  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-mulg 19304  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-nei 23443  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-lm 23574  df-haus 23660  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-fil 24192  df-fm 24284  df-flim 24285  df-flf 24286  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-cfil 25603  df-cau 25604  df-cmet 25605  df-grpo 31122  df-gid 31123  df-ginv 31124  df-gdiv 31125  df-ablo 31174  df-vc 31188  df-nv 31221  df-va 31224  df-ba 31225  df-sm 31226  df-0v 31227  df-vs 31228  df-nmcv 31229  df-ims 31230  df-dip 31330  df-ssp 31351  df-ph 31442  df-cbn 31492  df-hnorm 31597  df-hba 31598  df-hvsub 31600  df-hlim 31601  df-hcau 31602  df-sh 31836  df-ch 31850  df-oc 31881  df-ch0 31882  df-shs 31937  df-span 31938  df-chj 31939  df-pjh 32024

This theorem is used by:  spansncv  32282