HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spansncvi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spansncvi 31585
Description: Hilbert space has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (Contributed by NM, 7-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spansncv.1 𝐴C
spansncv.2 𝐵C
spansncv.3 𝐶 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
spansncvi ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 (span‘{𝐶})))

Proof of Theorem spansncvi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶}))) → 𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})))
2 pssss 4094 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
32adantr 479 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶}))) → 𝐴𝐵)
4 pssnel 4475 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴))
5 ssel2 3974 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 (span‘{𝐶})))
6 spansncv.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴C
7 spansncv.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 ∈ ℋ
86, 7spansnji 31579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 + (span‘{𝐶})) = (𝐴 (span‘{𝐶}))
98eleq2i 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐶})) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 (span‘{𝐶})))
107spansnchi 31495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (span‘{𝐶}) ∈ C
116, 10chseli 31392 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
129, 11bitr3i 276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴 (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
13 eleq1 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝑥𝐵 ↔ (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝐵))
1413biimpac 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥𝐵𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝐵)
152sselda 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴𝐵𝑦𝐴) → 𝑦𝐵)
16 spansncv.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐵C
1716chshii 31160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐵S
18 shsubcl 31153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵S ∧ (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → ((𝑦 + 𝑧) − 𝑦) ∈ 𝐵)
1917, 18mp3an1 1445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 + 𝑧) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → ((𝑦 + 𝑧) − 𝑦) ∈ 𝐵)
2014, 15, 19syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥𝐵𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ∧ (𝐴𝐵𝑦𝐴)) → ((𝑦 + 𝑧) − 𝑦) ∈ 𝐵)
2120exp43 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥𝐵 → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴𝐵 → (𝑦𝐴 → ((𝑦 + 𝑧) − 𝑦) ∈ 𝐵))))
2221com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝐴 → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴𝐵 → (𝑥𝐵 → ((𝑦 + 𝑧) − 𝑦) ∈ 𝐵))))
2322imp45 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ∧ (𝐴𝐵𝑥𝐵))) → ((𝑦 + 𝑧) − 𝑦) ∈ 𝐵)
246cheli 31165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℋ)
2510cheli 31165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑧 ∈ ℋ)
26 hvpncan2 30973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) − 𝑦) = 𝑧)
2724, 25, 26syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((𝑦 + 𝑧) − 𝑦) = 𝑧)
2827eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (((𝑦 + 𝑧) − 𝑦) ∈ 𝐵𝑧𝐵))
2923, 28imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((𝑦𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ∧ (𝐴𝐵𝑥𝐵))) → 𝑧𝐵))
3029imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ∧ (𝐴𝐵𝑥𝐵)))) → 𝑧𝐵)
3130anandis 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦𝐴 ∧ (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ∧ (𝐴𝐵𝑥𝐵)))) → 𝑧𝐵)
3231exp45 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → ((𝐴𝐵𝑥𝐵) → 𝑧𝐵))))
3332imp41 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ∧ (𝐴𝐵𝑥𝐵)) → 𝑧𝐵)
3433adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ∧ ((𝐴𝐵𝑥𝐵) ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → 𝑧𝐵)
35 oveq2 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 = 0 → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + 0))
36 ax-hvaddid 30937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 + 0) = 𝑦)
3724, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦𝐴 → (𝑦 + 0) = 𝑦)
3835, 37sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦𝐴𝑧 = 0) → (𝑦 + 𝑧) = 𝑦)
3938eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦𝐴𝑧 = 0) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑦))
40 eleq1a 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦𝐴 → (𝑥 = 𝑦𝑥𝐴))
4140adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦𝐴𝑧 = 0) → (𝑥 = 𝑦𝑥𝐴))
4239, 41sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦𝐴𝑧 = 0) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴))
4342impancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) → (𝑧 = 0𝑥𝐴))
4443necon3bd 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) → (¬ 𝑥𝐴𝑧 ≠ 0))
4544imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑧 ≠ 0)
46 spansnss 31504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵S𝑧𝐵) → (span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵)
4717, 46mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧𝐵 → (span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵)
48 spansneleq 31503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0) → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶})))
497, 48mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ≠ 0 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶})))
5049imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ≠ 0𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶}))
5150sseq1d 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ≠ 0𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵 ↔ (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
5247, 51imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ≠ 0𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑧𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
5352ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (𝑧𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
5445, 53sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ ((𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → (𝑧𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
5554exp44 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦𝐴 → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (¬ 𝑥𝐴 → (𝑧𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))))
5655com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (¬ 𝑥𝐴 → (𝑧𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))))
5756imp41 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑧𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
5857adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ∧ ((𝐴𝐵𝑥𝐵) ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → (𝑧𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
5934, 58mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ∧ ((𝐴𝐵𝑥𝐵) ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)
6059exp43 435 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → ((𝐴𝐵𝑥𝐵) → (¬ 𝑥𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))))
6160rexlimivv 3190 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → ((𝐴𝐵𝑥𝐵) → (¬ 𝑥𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
6212, 61sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴 (span‘{𝐶})) → ((𝐴𝐵𝑥𝐵) → (¬ 𝑥𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
635, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐴𝐵𝑥𝐵) → (¬ 𝑥𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
6463imp 405 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥𝐵) ∧ (𝐴𝐵𝑥𝐵)) → (¬ 𝑥𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
6564anandirs 677 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (¬ 𝑥𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
6665expimpd 452 . . . . . . . 8 ((𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
6766exlimdv 1929 . . . . . . 7 ((𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴𝐵) → (∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
684, 67syl5 34 . . . . . 6 ((𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
6968ex 411 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})) → (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
7069pm2.43d 53 . . . 4 (𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})) → (𝐴𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
7170impcom 406 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶}))) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)
726, 10, 16chlubii 31405 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵) → (𝐴 (span‘{𝐶})) ⊆ 𝐵)
733, 71, 72syl2anc 582 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶}))) → (𝐴 (span‘{𝐶})) ⊆ 𝐵)
741, 73eqssd 3997 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 (span‘{𝐶})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2930  wrex 3060  wss 3947  wpss 3948  {csn 4633  cfv 6554  (class class class)co 7424  chba 30852   + cva 30853  0c0v 30857   cmv 30858   S csh 30861   C cch 30862   + cph 30864  spancspn 30865   chj 30866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cc 10478  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237  ax-mulf 11238  ax-hilex 30932  ax-hfvadd 30933  ax-hvcom 30934  ax-hvass 30935  ax-hv0cl 30936  ax-hvaddid 30937  ax-hfvmul 30938  ax-hvmulid 30939  ax-hvmulass 30940  ax-hvdistr1 30941  ax-hvdistr2 30942  ax-hvmul0 30943  ax-hfi 31012  ax-his1 31015  ax-his2 31016  ax-his3 31017  ax-his4 31018  ax-hcompl 31135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-omul 8501  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-acn 9985  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-lm 23224  df-haus 23310  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cfil 25274  df-cau 25275  df-cmet 25276  df-grpo 30426  df-gid 30427  df-ginv 30428  df-gdiv 30429  df-ablo 30478  df-vc 30492  df-nv 30525  df-va 30528  df-ba 30529  df-sm 30530  df-0v 30531  df-vs 30532  df-nmcv 30533  df-ims 30534  df-dip 30634  df-ssp 30655  df-ph 30746  df-cbn 30796  df-hnorm 30901  df-hba 30902  df-hvsub 30904  df-hlim 30905  df-hcau 30906  df-sh 31140  df-ch 31154  df-oc 31185  df-ch0 31186  df-shs 31241  df-span 31242  df-chj 31243  df-pjh 31328
This theorem is referenced by:  spansncv  31586
  Copyright terms: Public domain W3C validator