Theorem spansncvi 31684

Description: Hilbert space has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (Contributed by NM, 7-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spansncv.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
spansncv.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
spansncv.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spansncvi	⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))

Proof of Theorem spansncvi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))
2		pssss 4121	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		pssnel 4494	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
5		ssel2 4003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))
6		spansncv.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
7		spansncv.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
8	6, 7	spansnji 31678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐶})) = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))
9	8	eleq2i 2836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))
10	7	spansnchi 31594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (span‘{𝐶}) ∈ Cℋ
11	6, 10	chseli 31491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
12	9, 11	bitr3i 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
13		eleq1 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵))
14	13	biimpac 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
15	2	sselda 4008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		spansncv.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
17	16	chshii 31259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
18		shsubcl 31252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
19	17, 18	mp3an1 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
20	14, 15, 19	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
21	20	exp43 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵))))
22	21	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵))))
23	22	imp45 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
24	6	cheli 31264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
25	10	cheli 31264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑧 ∈ ℋ)
26		hvpncan2 31072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) = 𝑧)
27	24, 25, 26	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) = 𝑧)
28	27	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ 𝐵))
29	23, 28	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))) → 𝑧 ∈ 𝐵))
30	29	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
31	30	anandis 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
32	31	exp45 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵))))
33	32	imp41 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
34	33	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
35		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 = 0ℎ → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑦 +ℎ 0ℎ))
36		ax-hvaddid 31036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 +ℎ 0ℎ) = 𝑦)
37	24, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 +ℎ 0ℎ) = 𝑦)
38	35, 37	sylan9eqr 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = 𝑦)
39	38	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑦))
40		eleq1a 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝐴))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝐴))
42	39, 41	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴))
43	42	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → (𝑧 = 0ℎ → 𝑥 ∈ 𝐴))
44	43	necon3bd 2960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑧 ≠ 0ℎ))
45	44	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≠ 0ℎ)
46		spansnss 31603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵)
47	17, 46	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵)
48		spansneleq 31602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶})))
49	7, 48	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ≠ 0ℎ → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶})))
50	49	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶}))
51	50	sseq1d 4040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵 ↔ (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
52	47, 51	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
53	52	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
54	45, 53	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
55	54	exp44 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))))
56	55	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))))
57	56	imp41 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
58	57	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
59	34, 58	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)
60	59	exp43 436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))))
61	60	rexlimivv 3207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
62	12, 61	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
63	5, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
64	63	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
65	64	anandirs 678	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
66	65	expimpd 453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
67	66	exlimdv 1932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
68	4, 67	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
69	68	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
70	69	pm2.43d 53	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
71	70	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)
72	6, 10, 16	chlubii 31504	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ⊆ 𝐵)
73	3, 71, 72	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ⊆ 𝐵)
74	1, 73	eqssd 4026	1 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976   ⊊ wpss 3977  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ℋchba 30951   +_ℎ cva 30952  0_ℎc0v 30956   −_ℎ cmv 30957   S_ℋ csh 30960   C_ℋ cch 30961   +_ℋ cph 30963  spancspn 30964   ∨_ℋ chj 30965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hvcom 31033  ax-hvass 31034  ax-hv0cl 31035  ax-hvaddid 31036  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulid 31038  ax-hvmulass 31039  ax-hvdistr1 31040  ax-hvdistr2 31041  ax-hvmul0 31042  ax-hfi 31111  ax-his1 31114  ax-his2 31115  ax-his3 31116  ax-his4 31117  ax-hcompl 31234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-lm 23258  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cfil 25308  df-cau 25309  df-cmet 25310  df-grpo 30525  df-gid 30526  df-ginv 30527  df-gdiv 30528  df-ablo 30577  df-vc 30591  df-nv 30624  df-va 30627  df-ba 30628  df-sm 30629  df-0v 30630  df-vs 30631  df-nmcv 30632  df-ims 30633  df-dip 30733  df-ssp 30754  df-ph 30845  df-cbn 30895  df-hnorm 31000  df-hba 31001  df-hvsub 31003  df-hlim 31004  df-hcau 31005  df-sh 31239  df-ch 31253  df-oc 31284  df-ch0 31285  df-shs 31340  df-span 31341  df-chj 31342  df-pjh 31427

This theorem is referenced by:  spansncv  31685