HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spansncvi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spansncvi 28837
Description: Hilbert space has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (Contributed by NM, 7-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spansncv.1 𝐴C
spansncv.2 𝐵C
spansncv.3 𝐶 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
spansncvi ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 (span‘{𝐶})))

Proof of Theorem spansncvi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 473 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶}))) → 𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})))
2 pssss 3898 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
32adantr 468 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶}))) → 𝐴𝐵)
4 pssnel 4233 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴))
5 ssel2 3791 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 (span‘{𝐶})))
6 spansncv.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴C
7 spansncv.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 ∈ ℋ
86, 7spansnji 28831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 + (span‘{𝐶})) = (𝐴 (span‘{𝐶}))
98eleq2i 2875 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐶})) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 (span‘{𝐶})))
107spansnchi 28747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (span‘{𝐶}) ∈ C
116, 10chseli 28644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐴 + (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
129, 11bitr3i 268 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴 (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
13 eleq1 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝑥𝐵 ↔ (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝐵))
1413biimpac 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥𝐵𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝐵)
152sselda 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴𝐵𝑦𝐴) → 𝑦𝐵)
16 spansncv.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝐵C
1716chshii 28410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐵S
18 shsubcl 28403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵S ∧ (𝑦 + 𝑧) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → ((𝑦 + 𝑧) − 𝑦) ∈ 𝐵)
1917, 18mp3an1 1565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 + 𝑧) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → ((𝑦 + 𝑧) − 𝑦) ∈ 𝐵)
2014, 15, 19syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥𝐵𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ∧ (𝐴𝐵𝑦𝐴)) → ((𝑦 + 𝑧) − 𝑦) ∈ 𝐵)
2120exp43 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥𝐵 → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴𝐵 → (𝑦𝐴 → ((𝑦 + 𝑧) − 𝑦) ∈ 𝐵))))
2221com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝐴 → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝐴𝐵 → (𝑥𝐵 → ((𝑦 + 𝑧) − 𝑦) ∈ 𝐵))))
2322imp45 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ∧ (𝐴𝐵𝑥𝐵))) → ((𝑦 + 𝑧) − 𝑦) ∈ 𝐵)
246cheli 28415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℋ)
2510cheli 28415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑧 ∈ ℋ)
26 hvpncan2 28223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) − 𝑦) = 𝑧)
2724, 25, 26syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((𝑦 + 𝑧) − 𝑦) = 𝑧)
2827eleq1d 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (((𝑦 + 𝑧) − 𝑦) ∈ 𝐵𝑧𝐵))
2923, 28syl5ib 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((𝑦𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ∧ (𝐴𝐵𝑥𝐵))) → 𝑧𝐵))
3029imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ∧ (𝐴𝐵𝑥𝐵)))) → 𝑧𝐵)
3130anandis 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦𝐴 ∧ (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ∧ (𝐴𝐵𝑥𝐵)))) → 𝑧𝐵)
3231exp45 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → ((𝐴𝐵𝑥𝐵) → 𝑧𝐵))))
3332imp41 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ∧ (𝐴𝐵𝑥𝐵)) → 𝑧𝐵)
3433adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ∧ ((𝐴𝐵𝑥𝐵) ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → 𝑧𝐵)
35 oveq2 6880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 = 0 → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + 0))
36 ax-hvaddid 28187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 + 0) = 𝑦)
3724, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦𝐴 → (𝑦 + 0) = 𝑦)
3835, 37sylan9eqr 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦𝐴𝑧 = 0) → (𝑦 + 𝑧) = 𝑦)
3938eqeq2d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦𝐴𝑧 = 0) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑦))
40 eleq1a 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦𝐴 → (𝑥 = 𝑦𝑥𝐴))
4140adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦𝐴𝑧 = 0) → (𝑥 = 𝑦𝑥𝐴))
4239, 41sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦𝐴𝑧 = 0) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴))
4342impancom 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) → (𝑧 = 0𝑥𝐴))
4443necon3bd 2990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) → (¬ 𝑥𝐴𝑧 ≠ 0))
4544imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑧 ≠ 0)
46 spansnss 28756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵S𝑧𝐵) → (span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵)
4717, 46mpan 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧𝐵 → (span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵)
48 spansneleq 28755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0) → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶})))
497, 48mpan 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ≠ 0 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶})))
5049imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ≠ 0𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶}))
5150sseq1d 3827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ≠ 0𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵 ↔ (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
5247, 51syl5ib 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ≠ 0𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑧𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
5352ancoms 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (𝑧𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
5445, 53sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ ((𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → (𝑧𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
5554exp44 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦𝐴 → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (¬ 𝑥𝐴 → (𝑧𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))))
5655com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (¬ 𝑥𝐴 → (𝑧𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))))
5756imp41 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝑧𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
5857adantrl 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ∧ ((𝐴𝐵𝑥𝐵) ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → (𝑧𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
5934, 58mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ∧ ((𝐴𝐵𝑥𝐵) ∧ ¬ 𝑥𝐴)) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)
6059exp43 425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → ((𝐴𝐵𝑥𝐵) → (¬ 𝑥𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))))
6160rexlimivv 3222 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → ((𝐴𝐵𝑥𝐵) → (¬ 𝑥𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
6212, 61sylbi 208 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴 (span‘{𝐶})) → ((𝐴𝐵𝑥𝐵) → (¬ 𝑥𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
635, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐴𝐵𝑥𝐵) → (¬ 𝑥𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
6463imp 395 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥𝐵) ∧ (𝐴𝐵𝑥𝐵)) → (¬ 𝑥𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
6564anandirs 661 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (¬ 𝑥𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
6665expimpd 443 . . . . . . . 8 ((𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
6766exlimdv 2024 . . . . . . 7 ((𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴𝐵) → (∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
684, 67syl5 34 . . . . . 6 ((𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
6968ex 399 . . . . 5 (𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})) → (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
7069pm2.43d 53 . . . 4 (𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})) → (𝐴𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
7170impcom 396 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶}))) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)
726, 10, 16chlubii 28657 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵) → (𝐴 (span‘{𝐶})) ⊆ 𝐵)
733, 71, 72syl2anc 575 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶}))) → (𝐴 (span‘{𝐶})) ⊆ 𝐵)
741, 73eqssd 3813 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 (span‘{𝐶})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2156  wne 2976  wrex 3095  wss 3767  wpss 3768  {csn 4368  cfv 6099  (class class class)co 6872  chil 28102   + cva 28103  0c0v 28107   cmv 28108   S csh 28111   C cch 28112   + cph 28114  spancspn 28115   chj 28116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2782  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5094  ax-un 7177  ax-inf2 8783  ax-cc 9540  ax-cnex 10275  ax-resscn 10276  ax-1cn 10277  ax-icn 10278  ax-addcl 10279  ax-addrcl 10280  ax-mulcl 10281  ax-mulrcl 10282  ax-mulcom 10283  ax-addass 10284  ax-mulass 10285  ax-distr 10286  ax-i2m1 10287  ax-1ne0 10288  ax-1rid 10289  ax-rnegex 10290  ax-rrecex 10291  ax-cnre 10292  ax-pre-lttri 10293  ax-pre-lttrn 10294  ax-pre-ltadd 10295  ax-pre-mulgt0 10296  ax-pre-sup 10297  ax-addf 10298  ax-mulf 10299  ax-hilex 28182  ax-hfvadd 28183  ax-hvcom 28184  ax-hvass 28185  ax-hv0cl 28186  ax-hvaddid 28187  ax-hfvmul 28188  ax-hvmulid 28189  ax-hvmulass 28190  ax-hvdistr1 28191  ax-hvdistr2 28192  ax-hvmul0 28193  ax-hfi 28262  ax-his1 28265  ax-his2 28266  ax-his3 28267  ax-his4 28268  ax-hcompl 28385
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2791  df-cleq 2797  df-clel 2800  df-nfc 2935  df-ne 2977  df-nel 3080  df-ral 3099  df-rex 3100  df-reu 3101  df-rmo 3102  df-rab 3103  df-v 3391  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4115  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5217  df-eprel 5222  df-po 5230  df-so 5231  df-fr 5268  df-se 5269  df-we 5270  df-xp 5315  df-rel 5316  df-cnv 5317  df-co 5318  df-dm 5319  df-rn 5320  df-res 5321  df-ima 5322  df-pred 5891  df-ord 5937  df-on 5938  df-lim 5939  df-suc 5940  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6833  df-ov 6875  df-oprab 6876  df-mpt2 6877  df-of 7125  df-om 7294  df-1st 7396  df-2nd 7397  df-supp 7528  df-wrecs 7640  df-recs 7702  df-rdg 7740  df-1o 7794  df-2o 7795  df-oadd 7798  df-omul 7799  df-er 7977  df-map 8092  df-pm 8093  df-ixp 8144  df-en 8191  df-dom 8192  df-sdom 8193  df-fin 8194  df-fsupp 8513  df-fi 8554  df-sup 8585  df-inf 8586  df-oi 8652  df-card 9046  df-acn 9049  df-cda 9273  df-pnf 10359  df-mnf 10360  df-xr 10361  df-ltxr 10362  df-le 10363  df-sub 10551  df-neg 10552  df-div 10968  df-nn 11304  df-2 11362  df-3 11363  df-4 11364  df-5 11365  df-6 11366  df-7 11367  df-8 11368  df-9 11369  df-n0 11558  df-z 11642  df-dec 11758  df-uz 11903  df-q 12006  df-rp 12045  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ioo 12395  df-ico 12397  df-icc 12398  df-fz 12548  df-fzo 12688  df-fl 12815  df-seq 13023  df-exp 13082  df-hash 13336  df-cj 14060  df-re 14061  df-im 14062  df-sqrt 14196  df-abs 14197  df-clim 14440  df-rlim 14441  df-sum 14638  df-struct 16068  df-ndx 16069  df-slot 16070  df-base 16072  df-sets 16073  df-ress 16074  df-plusg 16164  df-mulr 16165  df-starv 16166  df-sca 16167  df-vsca 16168  df-ip 16169  df-tset 16170  df-ple 16171  df-ds 16173  df-unif 16174  df-hom 16175  df-cco 16176  df-rest 16286  df-topn 16287  df-0g 16305  df-gsum 16306  df-topgen 16307  df-pt 16308  df-prds 16311  df-xrs 16365  df-qtop 16370  df-imas 16371  df-xps 16373  df-mre 16449  df-mrc 16450  df-acs 16452  df-mgm 17445  df-sgrp 17487  df-mnd 17498  df-submnd 17539  df-mulg 17744  df-cntz 17949  df-cmn 18394  df-psmet 19944  df-xmet 19945  df-met 19946  df-bl 19947  df-mopn 19948  df-fbas 19949  df-fg 19950  df-cnfld 19953  df-top 20910  df-topon 20927  df-topsp 20949  df-bases 20962  df-cld 21035  df-ntr 21036  df-cls 21037  df-nei 21114  df-cn 21243  df-cnp 21244  df-lm 21245  df-haus 21331  df-tx 21577  df-hmeo 21770  df-fil 21861  df-fm 21953  df-flim 21954  df-flf 21955  df-xms 22336  df-ms 22337  df-tms 22338  df-cfil 23263  df-cau 23264  df-cmet 23265  df-grpo 27674  df-gid 27675  df-ginv 27676  df-gdiv 27677  df-ablo 27726  df-vc 27740  df-nv 27773  df-va 27776  df-ba 27777  df-sm 27778  df-0v 27779  df-vs 27780  df-nmcv 27781  df-ims 27782  df-dip 27882  df-ssp 27903  df-ph 27994  df-cbn 28045  df-hnorm 28151  df-hba 28152  df-hvsub 28154  df-hlim 28155  df-hcau 28156  df-sh 28390  df-ch 28404  df-oc 28435  df-ch0 28436  df-shs 28493  df-span 28494  df-chj 28495  df-pjh 28580
This theorem is referenced by:  spansncv  28838
  Copyright terms: Public domain W3C validator