Theorem spansncvi 30592

Description: Hilbert space has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (Contributed by NM, 7-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spansncv.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
spansncv.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
spansncv.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spansncvi	⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))

Proof of Theorem spansncvi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))
2		pssss 4055	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3	2	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		pssnel 4430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
5		ssel2 3939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))
6		spansncv.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
7		spansncv.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
8	6, 7	spansnji 30586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐶})) = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))
9	8	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))
10	7	spansnchi 30502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (span‘{𝐶}) ∈ Cℋ
11	6, 10	chseli 30399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
12	9, 11	bitr3i 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
13		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵))
14	13	biimpac 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
15	2	sselda 3944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		spansncv.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
17	16	chshii 30167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
18		shsubcl 30160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
19	17, 18	mp3an1 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
20	14, 15, 19	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
21	20	exp43 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵))))
22	21	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵))))
23	22	imp45 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
24	6	cheli 30172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
25	10	cheli 30172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑧 ∈ ℋ)
26		hvpncan2 29980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) = 𝑧)
27	24, 25, 26	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) = 𝑧)
28	27	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ 𝐵))
29	23, 28	imbitrid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))) → 𝑧 ∈ 𝐵))
30	29	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
31	30	anandis 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
32	31	exp45 439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵))))
33	32	imp41 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
34	33	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
35		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 = 0ℎ → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑦 +ℎ 0ℎ))
36		ax-hvaddid 29944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 +ℎ 0ℎ) = 𝑦)
37	24, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 +ℎ 0ℎ) = 𝑦)
38	35, 37	sylan9eqr 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = 𝑦)
39	38	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑦))
40		eleq1a 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝐴))
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝐴))
42	39, 41	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴))
43	42	impancom 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → (𝑧 = 0ℎ → 𝑥 ∈ 𝐴))
44	43	necon3bd 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑧 ≠ 0ℎ))
45	44	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≠ 0ℎ)
46		spansnss 30511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵)
47	17, 46	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵)
48		spansneleq 30510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶})))
49	7, 48	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ≠ 0ℎ → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶})))
50	49	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶}))
51	50	sseq1d 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵 ↔ (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
52	47, 51	imbitrid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
53	52	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
54	45, 53	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
55	54	exp44 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))))
56	55	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))))
57	56	imp41 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
58	57	adantrl 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
59	34, 58	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)
60	59	exp43 437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))))
61	60	rexlimivv 3196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
62	12, 61	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
63	5, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
64	63	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
65	64	anandirs 677	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
66	65	expimpd 454	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
67	66	exlimdv 1936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
68	4, 67	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
69	68	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
70	69	pm2.43d 53	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
71	70	impcom 408	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)
72	6, 10, 16	chlubii 30412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ⊆ 𝐵)
73	3, 71, 72	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ⊆ 𝐵)
74	1, 73	eqssd 3961	1 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910   ⊊ wpss 3911  {csn 4586  ‘cfv 6496  (class class class)co 7356   ℋchba 29859   +_ℎ cva 29860  0_ℎc0v 29864   −_ℎ cmv 29865   S_ℋ csh 29868   C_ℋ cch 29869   +_ℋ cph 29871  spancspn 29872   ∨_ℋ chj 29873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-inf2 9576  ax-cc 10370  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128  ax-addf 11129  ax-mulf 11130  ax-hilex 29939  ax-hfvadd 29940  ax-hvcom 29941  ax-hvass 29942  ax-hv0cl 29943  ax-hvaddid 29944  ax-hfvmul 29945  ax-hvmulid 29946  ax-hvmulass 29947  ax-hvdistr1 29948  ax-hvdistr2 29949  ax-hvmul0 29950  ax-hfi 30019  ax-his1 30022  ax-his2 30023  ax-his3 30024  ax-his4 30025  ax-hcompl 30142

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-supp 8092  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8647  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9305  df-fi 9346  df-sup 9377  df-inf 9378  df-oi 9445  df-card 9874  df-acn 9877  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-q 12873  df-rp 12915  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13267  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-fl 13696  df-seq 13906  df-exp 13967  df-hash 14230  df-cj 14983  df-re 14984  df-im 14985  df-sqrt 15119  df-abs 15120  df-clim 15369  df-rlim 15370  df-sum 15570  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-starv 17147  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-ip 17150  df-tset 17151  df-ple 17152  df-ds 17154  df-unif 17155  df-hom 17156  df-cco 17157  df-rest 17303  df-topn 17304  df-0g 17322  df-gsum 17323  df-topgen 17324  df-pt 17325  df-prds 17328  df-xrs 17383  df-qtop 17388  df-imas 17389  df-xps 17391  df-mre 17465  df-mrc 17466  df-acs 17468  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-submnd 18601  df-mulg 18871  df-cntz 19095  df-cmn 19562  df-psmet 20786  df-xmet 20787  df-met 20788  df-bl 20789  df-mopn 20790  df-fbas 20791  df-fg 20792  df-cnfld 20795  df-top 22241  df-topon 22258  df-topsp 22280  df-bases 22294  df-cld 22368  df-ntr 22369  df-cls 22370  df-nei 22447  df-cn 22576  df-cnp 22577  df-lm 22578  df-haus 22664  df-tx 22911  df-hmeo 23104  df-fil 23195  df-fm 23287  df-flim 23288  df-flf 23289  df-xms 23671  df-ms 23672  df-tms 23673  df-cfil 24617  df-cau 24618  df-cmet 24619  df-grpo 29433  df-gid 29434  df-ginv 29435  df-gdiv 29436  df-ablo 29485  df-vc 29499  df-nv 29532  df-va 29535  df-ba 29536  df-sm 29537  df-0v 29538  df-vs 29539  df-nmcv 29540  df-ims 29541  df-dip 29641  df-ssp 29662  df-ph 29753  df-cbn 29803  df-hnorm 29908  df-hba 29909  df-hvsub 29911  df-hlim 29912  df-hcau 29913  df-sh 30147  df-ch 30161  df-oc 30192  df-ch0 30193  df-shs 30248  df-span 30249  df-chj 30250  df-pjh 30335

This theorem is referenced by:  spansncv  30593