Theorem spansncvi 29733

Description: Hilbert space has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (Contributed by NM, 7-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spansncv.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
spansncv.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
spansncv.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spansncvi	⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))

Proof of Theorem spansncvi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))
2		pssss 4010	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3	2	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		pssnel 4385	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
5		ssel2 3895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))
6		spansncv.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
7		spansncv.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
8	6, 7	spansnji 29727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐶})) = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))
9	8	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))
10	7	spansnchi 29643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (span‘{𝐶}) ∈ Cℋ
11	6, 10	chseli 29540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
12	9, 11	bitr3i 280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
13		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵))
14	13	biimpac 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
15	2	sselda 3901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		spansncv.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
17	16	chshii 29308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
18		shsubcl 29301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
19	17, 18	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
20	14, 15, 19	syl2an 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
21	20	exp43 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵))))
22	21	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵))))
23	22	imp45 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
24	6	cheli 29313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
25	10	cheli 29313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑧 ∈ ℋ)
26		hvpncan2 29121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) = 𝑧)
27	24, 25, 26	syl2an 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) = 𝑧)
28	27	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ 𝐵))
29	23, 28	syl5ib 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))) → 𝑧 ∈ 𝐵))
30	29	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
31	30	anandis 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
32	31	exp45 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵))))
33	32	imp41 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
34	33	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
35		oveq2 7221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 = 0ℎ → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑦 +ℎ 0ℎ))
36		ax-hvaddid 29085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 +ℎ 0ℎ) = 𝑦)
37	24, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 +ℎ 0ℎ) = 𝑦)
38	35, 37	sylan9eqr 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = 𝑦)
39	38	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑦))
40		eleq1a 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝐴))
41	40	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝐴))
42	39, 41	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴))
43	42	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → (𝑧 = 0ℎ → 𝑥 ∈ 𝐴))
44	43	necon3bd 2954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑧 ≠ 0ℎ))
45	44	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≠ 0ℎ)
46		spansnss 29652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵)
47	17, 46	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵)
48		spansneleq 29651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶})))
49	7, 48	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ≠ 0ℎ → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶})))
50	49	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶}))
51	50	sseq1d 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵 ↔ (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
52	47, 51	syl5ib 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
53	52	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
54	45, 53	sylan2 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
55	54	exp44 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))))
56	55	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))))
57	56	imp41 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
58	57	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
59	34, 58	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)
60	59	exp43 440	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))))
61	60	rexlimivv 3211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
62	12, 61	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
63	5, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
64	63	imp 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
65	64	anandirs 679	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
66	65	expimpd 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
67	66	exlimdv 1941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
68	4, 67	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
69	68	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
70	69	pm2.43d 53	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
71	70	impcom 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)
72	6, 10, 16	chlubii 29553	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ⊆ 𝐵)
73	3, 71, 72	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ⊆ 𝐵)
74	1, 73	eqssd 3918	1 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543  ∃wex 1787   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3866   ⊊ wpss 3867  {csn 4541  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ℋchba 29000   +_ℎ cva 29001  0_ℎc0v 29005   −_ℎ cmv 29006   S_ℋ csh 29009   C_ℋ cch 29010   +_ℋ cph 29012  spancspn 29013   ∨_ℋ chj 29014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cc 10049  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809  ax-hilex 29080  ax-hfvadd 29081  ax-hvcom 29082  ax-hvass 29083  ax-hv0cl 29084  ax-hvaddid 29085  ax-hfvmul 29086  ax-hvmulid 29087  ax-hvmulass 29088  ax-hvdistr1 29089  ax-hvdistr2 29090  ax-hvmul0 29091  ax-hfi 29160  ax-his1 29163  ax-his2 29164  ax-his3 29165  ax-his4 29166  ax-hcompl 29283

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-acn 9558  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-lm 22126  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cfil 24152  df-cau 24153  df-cmet 24154  df-grpo 28574  df-gid 28575  df-ginv 28576  df-gdiv 28577  df-ablo 28626  df-vc 28640  df-nv 28673  df-va 28676  df-ba 28677  df-sm 28678  df-0v 28679  df-vs 28680  df-nmcv 28681  df-ims 28682  df-dip 28782  df-ssp 28803  df-ph 28894  df-cbn 28944  df-hnorm 29049  df-hba 29050  df-hvsub 29052  df-hlim 29053  df-hcau 29054  df-sh 29288  df-ch 29302  df-oc 29333  df-ch0 29334  df-shs 29389  df-span 29390  df-chj 29391  df-pjh 29476

This theorem is referenced by:  spansncv  29734