Theorem spansncvi 29915

Description: Hilbert space has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (Contributed by NM, 7-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spansncv.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
spansncv.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
spansncv.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spansncvi	⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))

Proof of Theorem spansncvi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))
2		pssss 4026	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		pssnel 4401	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
5		ssel2 3912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))
6		spansncv.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
7		spansncv.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
8	6, 7	spansnji 29909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐶})) = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))
9	8	eleq2i 2830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))
10	7	spansnchi 29825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (span‘{𝐶}) ∈ Cℋ
11	6, 10	chseli 29722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
12	9, 11	bitr3i 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧))
13		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵))
14	13	biimpac 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵)
15	2	sselda 3917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		spansncv.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
17	16	chshii 29490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
18		shsubcl 29483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ (𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
19	17, 18	mp3an1 1446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑦 +ℎ 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
20	14, 15, 19	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
21	20	exp43 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵))))
22	21	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵))))
23	22	imp45 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵)
24	6	cheli 29495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℋ)
25	10	cheli 29495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → 𝑧 ∈ ℋ)
26		hvpncan2 29303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) = 𝑧)
27	24, 25, 26	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) = 𝑧)
28	27	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (((𝑦 +ℎ 𝑧) −ℎ 𝑦) ∈ 𝐵 ↔ 𝑧 ∈ 𝐵))
29	23, 28	syl5ib 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))) → 𝑧 ∈ 𝐵))
30	29	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
31	30	anandis 674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
32	31	exp45 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵))))
33	32	imp41 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
34	33	adantrr 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
35		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 = 0ℎ → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑦 +ℎ 0ℎ))
36		ax-hvaddid 29267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 +ℎ 0ℎ) = 𝑦)
37	24, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 +ℎ 0ℎ) = 𝑦)
38	35, 37	sylan9eqr 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = 𝑦)
39	38	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑦))
40		eleq1a 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝐴))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 ∈ 𝐴))
42	39, 41	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 = 0ℎ) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴))
43	42	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → (𝑧 = 0ℎ → 𝑥 ∈ 𝐴))
44	43	necon3bd 2956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑧 ≠ 0ℎ))
45	44	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≠ 0ℎ)
46		spansnss 29834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵)
47	17, 46	mpan 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵)
48		spansneleq 29833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶})))
49	7, 48	mpan 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ≠ 0ℎ → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶})))
50	49	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝐶}))
51	50	sseq1d 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → ((span‘{𝑧}) ⊆ 𝐵 ↔ (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
52	47, 51	syl5ib 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ≠ 0ℎ ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
53	52	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
54	45, 53	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
55	54	exp44 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))))
56	55	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (span‘{𝐶}) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))))
57	56	imp41 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
58	57	adantrl 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑧 ∈ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
59	34, 58	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)) ∧ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)
60	59	exp43 436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (span‘{𝐶})) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))))
61	60	rexlimivv 3220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ (span‘{𝐶})𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
62	12, 61	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
63	5, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
64	63	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
65	64	anandirs 675	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
66	65	expimpd 453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
67	66	exlimdv 1937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
68	4, 67	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
69	68	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)))
70	69	pm2.43d 53	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵))
71	70	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵)
72	6, 10, 16	chlubii 29735	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (span‘{𝐶}) ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ⊆ 𝐵)
73	3, 71, 72	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})) ⊆ 𝐵)
74	1, 73	eqssd 3934	1 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐶})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ℋchba 29182   +_ℎ cva 29183  0_ℎc0v 29187   −_ℎ cmv 29188   S_ℋ csh 29191   C_ℋ cch 29192   +_ℋ cph 29194  spancspn 29195   ∨_ℋ chj 29196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hvcom 29264  ax-hvass 29265  ax-hv0cl 29266  ax-hvaddid 29267  ax-hfvmul 29268  ax-hvmulid 29269  ax-hvmulass 29270  ax-hvdistr1 29271  ax-hvdistr2 29272  ax-hvmul0 29273  ax-hfi 29342  ax-his1 29345  ax-his2 29346  ax-his3 29347  ax-his4 29348  ax-hcompl 29465

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-lm 22288  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cfil 24324  df-cau 24325  df-cmet 24326  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864  df-dip 28964  df-ssp 28985  df-ph 29076  df-cbn 29126  df-hnorm 29231  df-hba 29232  df-hvsub 29234  df-hlim 29235  df-hcau 29236  df-sh 29470  df-ch 29484  df-oc 29515  df-ch0 29516  df-shs 29571  df-span 29572  df-chj 29573  df-pjh 29658

This theorem is referenced by:  spansncv  29916