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Theorem pjhthlem1 31273
Description: Lemma for pjhth 31275. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjhth.1 𝐻C
pjhth.2 (𝜑𝐴 ∈ ℋ)
pjhth.3 (𝜑𝐵𝐻)
pjhth.4 (𝜑𝐶𝐻)
pjhth.5 (𝜑 → ∀𝑥𝐻 (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑥)))
pjhth.6 𝑇 = (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
Assertion
Ref Expression
pjhthlem1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐻   𝑥,𝑇
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem pjhthlem1
StepHypRef Expression
1 pjhth.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℋ)
2 pjhth.3 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐻)
3 pjhth.1 . . . . . 6 𝐻C
43cheli 31114 . . . . 5 (𝐵𝐻𝐵 ∈ ℋ)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℋ)
6 hvsubcl 30899 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℋ)
71, 5, 6syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) ∈ ℋ)
8 pjhth.4 . . . 4 (𝜑𝐶𝐻)
93cheli 31114 . . . 4 (𝐶𝐻𝐶 ∈ ℋ)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℋ)
11 hicl 30962 . . 3 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
127, 10, 11syl2anc 582 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
1312abscld 15419 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) ∈ ℝ)
1413recnd 11274 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) ∈ ℂ)
1513resqcld 14125 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
1615renegcld 11673 . . . . . 6 (𝜑 → -((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
17 hiidrcl 30977 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ)
1810, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ)
19 2re 12319 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
20 readdcl 11223 . . . . . . . 8 (((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
2118, 19, 20sylancl 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
22 0red 11249 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23 peano2re 11419 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ)
2418, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ)
25 hiidge0 30980 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐶 ·ih 𝐶))
2610, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝐶 ·ih 𝐶))
2718ltp1d 12177 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ·ih 𝐶) < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
2822, 18, 24, 26, 27lelttrd 11404 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
2924ltp1d 12177 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) < (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1))
30 df-2 12308 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
3130oveq2i 7430 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1))
3218recnd 11274 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
33 ax-1cn 11198 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
34 addass 11227 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1)))
3533, 33, 34mp3an23 1449 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1)))
3632, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1)))
3731, 36eqtr4id 2784 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) = (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1))
3829, 37breqtrrd 5177 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))
3922, 24, 21, 28, 38lttrd 11407 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))
4021, 39elrpd 13048 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ+)
41 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶))))
4241fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)) → (norm‘(𝐴 𝑥)) = (norm‘(𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)))))
4342breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)) → ((norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑥)) ↔ (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘(𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶))))))
44 pjhth.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥𝐻 (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑥)))
453chshii 31109 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐻S
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻S )
47 pjhth.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
4824recnd 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℂ)
4918, 26ge0p1rpd 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ+)
5049rpne0d 13056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ≠ 0)
5112, 48, 50divcld 12023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) ∈ ℂ)
5247, 51eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
53 shmulcl 31100 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻S𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝐻) → (𝑇 · 𝐶) ∈ 𝐻)
5446, 52, 8, 53syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 · 𝐶) ∈ 𝐻)
55 shaddcl 31099 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻S𝐵𝐻 ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ 𝐻) → (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)) ∈ 𝐻)
5646, 2, 54, 55syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)) ∈ 𝐻)
5743, 44, 56rspcdva 3607 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘(𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)))))
583cheli 31114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 · 𝐶) ∈ 𝐻 → (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ)
5954, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ)
60 hvsubass 30926 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) = (𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶))))
611, 5, 59, 60syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) = (𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶))))
6261fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (norm‘(𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)))))
6357, 62breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))))
64 normcl 31007 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 𝐵) ∈ ℋ → (norm‘(𝐴 𝐵)) ∈ ℝ)
657, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (norm‘(𝐴 𝐵)) ∈ ℝ)
66 hvsubcl 30899 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℋ)
677, 59, 66syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℋ)
68 normcl 31007 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℋ → (norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) ∈ ℝ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) ∈ ℝ)
70 normge0 31008 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝐴 𝐵)))
717, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (norm‘(𝐴 𝐵)))
7222, 65, 69, 71, 63letrd 11403 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))))
7365, 69, 71, 72le2sqd 14255 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) ↔ ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) ≤ ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2)))
7463, 73mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) ≤ ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2))
7569resqcld 14125 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) ∈ ℝ)
7665resqcld 14125 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
7775, 76subge0d 11836 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ≤ (((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) ↔ ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) ≤ ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2)))
7874, 77mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)))
79 2z 12627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
80 rpexpcl 14081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
8149, 79, 80sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
8215, 81rerpdivcld 13082 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
8382, 21remulcld 11276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℝ)
8483recnd 11274 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℂ)
8584negcld 11590 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℂ)
86 hicl 30962 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
877, 7, 86syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
8885, 87pncand 11604 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))) = -((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
89 normsq 31016 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℋ → ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) = (((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))))
9067, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) = (((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))))
91 his2sub 30974 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ ∧ ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℋ) → (((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (((𝐴 𝐵) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))))
927, 59, 67, 91syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (((𝐴 𝐵) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))))
93 his2sub2 30975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶))))
947, 7, 59, 93syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶))))
9594oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))) = ((((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶))) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))))
96 hicl 30962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℂ)
977, 59, 96syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℂ)
98 his2sub2 30975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶))))
9959, 7, 59, 98syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶))))
100 hicl 30962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
10159, 7, 100syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
102 hicl 30962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℂ)
10359, 59, 102syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℂ)
104101, 103subcld 11603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶))) ∈ ℂ)
10599, 104eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) ∈ ℂ)
10687, 97, 105subsub4d 11634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶))) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − (((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) + ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))))))
10782recnd 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
10833a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
109107, 48, 108adddid 11270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1)) = (((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) + ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1)))
11037oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1)))
111 his5 30968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((∗‘𝑇) · ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)))
11252, 7, 10, 111syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((∗‘𝑇) · ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)))
11352cjcld 15179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∗‘𝑇) ∈ ℂ)
114113, 12mulcomd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((∗‘𝑇) · ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) = (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘𝑇)))
11512cjcld 15179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) ∈ ℂ)
11612, 115, 48, 50divassd 12058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
11712absvalsqd 15425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))))
118117oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
11947fveq2i 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∗‘𝑇) = (∗‘(((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
12012, 48, 50cjdivd 15206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (∗‘(((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / (∗‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
12124cjred 15209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (∗‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
122121oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / (∗‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
123120, 122eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (∗‘(((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
124119, 123eqtrid 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗‘𝑇) = ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
125124oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘𝑇)) = (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
126116, 118, 1253eqtr4rd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘𝑇)) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
127112, 114, 1263eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
12815recnd 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℂ)
129128, 48mulcomd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)))
13048sqvald 14143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) = (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
131129, 130oveq12d 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
132128, 48, 48, 50, 50divcan5d 12049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
133131, 132eqtr2d 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
13424resqcld 14125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ)
135134recnd 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℂ)
13681rpne0d 13056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ≠ 0)
137128, 48, 135, 136div23d 12060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
138127, 133, 1373eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
13982, 24remulcld 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) ∈ ℝ)
140138, 139eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℝ)
141 hire 30976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵))))
1427, 59, 141syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵))))
143140, 142mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)))
144143, 138eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
145 his35 30970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
14652, 52, 10, 10, 145syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
14747fveq2i 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (abs‘𝑇) = (abs‘(((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
14812, 48, 50absdivd 15438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / (abs‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
14949rpge0d 13055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
15024, 149absidd 15405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (abs‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
151150oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / (abs‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
152148, 151eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
153147, 152eqtrid 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (abs‘𝑇) = ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
154153oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))↑2))
15552absvalsqd 15425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (𝑇 · (∗‘𝑇)))
15614, 48, 50sqdivd 14159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))↑2) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
157154, 155, 1563eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑇 · (∗‘𝑇)) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
158157oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·ih 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
159146, 158eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
160144, 159oveq12d 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶))) = (((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶))))
161 pncan2 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶)) = 1)
16232, 33, 161sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶)) = 1)
163162oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶))) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1))
164107, 48, 32subdid 11702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶))) = (((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶))))
165163, 164eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1) = (((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶))))
166160, 99, 1653eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1))
167138, 166oveq12d 7437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) + ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))) = (((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) + ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1)))
168109, 110, 1673eqtr4rd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) + ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
169168oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − (((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) + ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))))) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
17095, 106, 1693eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
17190, 92, 1703eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
17287, 84negsubd 11609 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) + -((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
17387, 85addcomd 11448 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) + -((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))) = (-((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))))
174171, 172, 1733eqtr2d 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) = (-((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))))
175 normsq 31016 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 𝐵) ∈ ℋ → ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)))
1767, 175syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)))
177174, 176oveq12d 7437 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) = ((-((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))))
17821renegcld 11673 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
179178recnd 11274 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ)
180128, 179, 135, 136div23d 12060 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
18121recnd 11274 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ)
182107, 181mulneg2d 11700 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = -((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
183180, 182eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = -((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
18488, 177, 1833eqtr4rd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = (((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)))
18578, 184breqtrrd 5177 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
18615, 178remulcld 11276 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℝ)
187186, 81ge0divd 13089 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ↔ 0 ≤ ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2))))
188185, 187mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
189 mulneg12 11684 . . . . . . . 8 ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ) → (-((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
190128, 181, 189syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (-((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
191188, 190breqtrrd 5177 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (-((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
19216, 40, 191prodge0ld 13117 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ -((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))
19315le0neg1d 11817 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)))
194192, 193mpbird 256 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0)
19513sqge0d 14137 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))
196 0re 11248 . . . . 5 0 ∈ ℝ
197 letri3 11331 . . . . 5 ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = 0 ↔ (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))))
19815, 196, 197sylancl 584 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = 0 ↔ (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))))
199194, 195, 198mpbir2and 711 . . 3 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = 0)
20014, 199sqeq0d 14145 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) = 0)
20112, 200abs00d 15429 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476  -cneg 11477   / cdiv 11903  2c2 12300  cz 12591  +crp 13009  cexp 14062  ccj 15079  abscabs 15217  chba 30801   + cva 30802   · csm 30803   ·ih csp 30804  normcno 30805   cmv 30807   S csh 30810   C cch 30811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-hilex 30881  ax-hfvadd 30882  ax-hvass 30884  ax-hv0cl 30885  ax-hfvmul 30887  ax-hvdistr1 30890  ax-hvmul0 30892  ax-hfi 30961  ax-his1 30964  ax-his2 30965  ax-his3 30966  ax-his4 30967
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-hnorm 30850  df-hvsub 30853  df-sh 31089  df-ch 31103
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