Theorem pjhthlem1 31411

Description: Lemma for pjhth 31413. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjhth.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjhth.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℋ)
pjhth.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐻)
pjhth.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐻)
pjhth.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)))
pjhth.6	⊢ 𝑇 = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))

Assertion

Ref	Expression
pjhthlem1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐻   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem pjhthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhth.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℋ)
2		pjhth.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐻)
3		pjhth.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
4	3	cheli 31252	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐻 → 𝐵 ∈ ℋ)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℋ)
6		hvsubcl 31037	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
7	1, 5, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
8		pjhth.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐻)
9	3	cheli 31252	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐻 → 𝐶 ∈ ℋ)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℋ)
11		hicl 31100	. . 3 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
12	7, 10, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
13	12	abscld 15476	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) ∈ ℂ)
15	13	resqcld 14166	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
16	15	renegcld 11691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
17		hiidrcl 31115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ)
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ)
19		2re 12341	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
20		readdcl 11239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
21	18, 19, 20	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
22		0red 11265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23		peano2re 11435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ)
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ)
25		hiidge0 31118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐶 ·ih 𝐶))
26	10, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐶 ·ih 𝐶))
27	18	ltp1d 12199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·ih 𝐶) < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
28	22, 18, 24, 26, 27	lelttrd 11420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
29	24	ltp1d 12199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) < (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1))
30		df-2 12330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
31	30	oveq2i 7443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1))
32	18	recnd 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
33		ax-1cn 11214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
34		addass 11243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1)))
35	33, 33, 34	mp3an23 1454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1)))
36	32, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1)))
37	31, 36	eqtr4id 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) = (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1))
38	29, 37	breqtrrd 5170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))
39	22, 24, 21, 28, 38	lttrd 11423	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))
40	21, 39	elrpd 13075	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ+)
41		oveq2 7440	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) → (𝐴 −ℎ 𝑥) = (𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
42	41	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))))
43	42	breq2d 5154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ↔ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))))
44		pjhth.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)))
45	3	chshii 31247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Sℋ )
47		pjhth.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
48	24	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℂ)
49	18, 26	ge0p1rpd 13108	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ+)
50	49	rpne0d 13083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ≠ 0)
51	12, 48, 50	divcld 12044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) ∈ ℂ)
52	47, 51	eqeltrid 2844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
53		shmulcl 31238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ 𝐻)
54	46, 52, 8, 53	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ 𝐻)
55		shaddcl 31237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ 𝐻 ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ 𝐻) → (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ 𝐻)
56	46, 2, 54, 55	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ 𝐻)
57	43, 44, 56	rspcdva 3622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))))
58	3	cheli 31252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ 𝐻 → (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
59	54, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
60		hvsubass 31064	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = (𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
61	1, 5, 59, 60	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = (𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
62	61	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))))
63	57, 62	breqtrrd 5170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
64		normcl 31145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℝ)
65	7, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℝ)
66		hvsubcl 31037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ)
67	7, 59, 66	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ)
68		normcl 31145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ → (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) ∈ ℝ)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) ∈ ℝ)
70		normge0 31146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
71	7, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
72	22, 65, 69, 71, 63	letrd 11419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
73	65, 69, 71, 72	le2sqd 14297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) ↔ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) ≤ ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2)))
74	63, 73	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) ≤ ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2))
75	69	resqcld 14166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) ∈ ℝ)
76	65	resqcld 14166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
77	75, 76	subge0d 11854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) ↔ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) ≤ ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2)))
78	74, 77	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)))
79		2z 12651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
80		rpexpcl 14122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
81	49, 79, 80	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
82	15, 81	rerpdivcld 13109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
83	82, 21	remulcld 11292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℝ)
84	83	recnd 11290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℂ)
85	84	negcld 11608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℂ)
86		hicl 31100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
87	7, 7, 86	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
88	85, 87	pncand 11622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((-((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) = -((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
89		normsq 31154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ → ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
90	67, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
91		his2sub 31112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))))
92	7, 59, 67, 91	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))))
93		his2sub2 31113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
94	7, 7, 59, 93	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
95	94	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))) = ((((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))))
96		hicl 31100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
97	7, 59, 96	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
98		his2sub2 31113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
99	59, 7, 59, 98	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
100		hicl 31100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
101	59, 7, 100	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
102		hicl 31100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
103	59, 59, 102	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
104	101, 103	subcld 11621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))) ∈ ℂ)
105	99, 104	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) ∈ ℂ)
106	87, 97, 105	subsub4d 11652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))))
107	82	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
108	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
109	107, 48, 108	adddid 11286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1)) = (((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) + ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1)))
110	37	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1)))
111		his5 31106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((∗‘𝑇) · ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)))
112	52, 7, 10, 111	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((∗‘𝑇) · ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)))
113	52	cjcld 15236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑇) ∈ ℂ)
114	113, 12	mulcomd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝑇) · ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘𝑇)))
115	12	cjcld 15236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) ∈ ℂ)
116	12, 115, 48, 50	divassd 12079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
117	12	absvalsqd 15482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))))
118	117	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
119	47	fveq2i 6908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∗‘𝑇) = (∗‘(((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
120	12, 48, 50	cjdivd 15263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (∗‘(((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / (∗‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
121	24	cjred 15266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
122	121	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / (∗‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
123	120, 122	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (∗‘(((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
124	119, 123	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑇) = ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
125	124	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘𝑇)) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
126	116, 118, 125	3eqtr4rd 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘𝑇)) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
127	112, 114, 126	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
128	15	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℂ)
129	128, 48	mulcomd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)))
130	48	sqvald 14184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) = (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
131	129, 130	oveq12d 7450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
132	128, 48, 48, 50, 50	divcan5d 12070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
133	131, 132	eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
134	24	resqcld 14166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ)
135	134	recnd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℂ)
136	81	rpne0d 13083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ≠ 0)
137	128, 48, 135, 136	div23d 12081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
138	127, 133, 137	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
139	82, 24	remulcld 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) ∈ ℝ)
140	138, 139	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℝ)
141		hire 31114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
142	7, 59, 141	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
143	140, 142	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
144	143, 138	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
145		his35 31108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
146	52, 52, 10, 10, 145	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
147	47	fveq2i 6908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (abs‘𝑇) = (abs‘(((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
148	12, 48, 50	absdivd 15495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / (abs‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
149	49	rpge0d 13082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
150	24, 149	absidd 15462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
151	150	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / (abs‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
152	148, 151	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
153	147, 152	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑇) = ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
154	153	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))↑2))
155	52	absvalsqd 15482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (𝑇 · (∗‘𝑇)))
156	14, 48, 50	sqdivd 14200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))↑2) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
157	154, 155, 156	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (∗‘𝑇)) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
158	157	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·ih 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
159	146, 158	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
160	144, 159	oveq12d 7450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶))))
161		pncan2 11516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶)) = 1)
162	32, 33, 161	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶)) = 1)
163	162	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶))) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1))
164	107, 48, 32	subdid 11720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶))) = (((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶))))
165	163, 164	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1) = (((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶))))
166	160, 99, 165	3eqtr4d 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1))
167	138, 166	oveq12d 7450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))) = (((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) + ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1)))
168	109, 110, 167	3eqtr4rd 2787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
169	168	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
170	95, 106, 169	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
171	90, 92, 170	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
172	87, 84	negsubd 11627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) + -((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
173	87, 85	addcomd 11464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) + -((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))) = (-((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
174	171, 172, 173	3eqtr2d 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) = (-((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
175		normsq 31154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
176	7, 175	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
177	174, 176	oveq12d 7450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) = ((-((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
178	21	renegcld 11691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
179	178	recnd 11290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ)
180	128, 179, 135, 136	div23d 12081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
181	21	recnd 11290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ)
182	107, 181	mulneg2d 11718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = -((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
183	180, 182	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = -((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
184	88, 177, 183	3eqtr4rd 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = (((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)))
185	78, 184	breqtrrd 5170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
186	15, 178	remulcld 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℝ)
187	186, 81	ge0divd 13116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ↔ 0 ≤ ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2))))
188	185, 187	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
189		mulneg12 11702	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ) → (-((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
190	128, 181, 189	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
191	188, 190	breqtrrd 5170	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (-((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
192	16, 40, 191	prodge0ld 13144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ -((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))
193	15	le0neg1d 11835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)))
194	192, 193	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0)
195	13	sqge0d 14178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))
196		0re 11264	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
197		letri3 11347	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = 0 ↔ (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))))
198	15, 196, 197	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = 0 ↔ (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))))
199	194, 195, 198	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = 0)
200	14, 199	sqeq0d 14186	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) = 0)
201	12, 200	abs00d 15486	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296   ≤ cle 11297   − cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  2c2 12322  ℤcz 12615  ℝ⁺crp 13035  ↑cexp 14103  ∗ccj 15136  abscabs 15274   ℋchba 30939   +_ℎ cva 30940   ·_ℎ csm 30941   ·_ih csp 30942  norm_ℎcno 30943   −_ℎ cmv 30945   S_ℋ csh 30948   C_ℋ cch 30949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-hilex 31019  ax-hfvadd 31020  ax-hvass 31022  ax-hv0cl 31023  ax-hfvmul 31025  ax-hvdistr1 31028  ax-hvmul0 31030  ax-hfi 31099  ax-his1 31102  ax-his2 31103  ax-his3 31104  ax-his4 31105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-hnorm 30988  df-hvsub 30991  df-sh 31227  df-ch 31241

This theorem is referenced by:  pjhthlem2  31412