pjhthlem1 - Hilbert Space Explorer

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Theorem pjhthlem1 29168

Description: Lemma for pjhth 29170. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pjhth.1	⊢ 𝐻 ∈ C_ℋ
pjhth.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℋ)
pjhth.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐻)
pjhth.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐻)
pjhth.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ≤ (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝑥)))
pjhth.6	⊢ 𝑇 = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))

**Assertion**
Ref	Expression
pjhthlem1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) = 0)

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐶 𝑥,𝐻 𝑥,𝑇 Allowed substitution hint: 𝜑(𝑥)

**Proof of Theorem pjhthlem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhth.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℋ)
2		pjhth.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐻)
3		pjhth.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ C_ℋ
4	3	cheli 29009	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐻 → 𝐵 ∈ ℋ)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℋ)
6		hvsubcl 28794	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
7	1, 5, 6	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
8		pjhth.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐻)
9	3	cheli 29009	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐻 → 𝐶 ∈ ℋ)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℋ)
11		hicl 28857	. . 3 ⊢ (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) ∈ ℂ)
12	7, 10, 11	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) ∈ ℂ)
13	12	abscld 14796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) ∈ ℝ)
14	13	recnd 10669	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) ∈ ℂ)
15	13	resqcld 13612	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
16	15	renegcld 11067	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
17		hiidrcl 28872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 ·_ih 𝐶) ∈ ℝ)
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·_ih 𝐶) ∈ ℝ)
19		2re 11712	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
20		readdcl 10620	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ·_ih 𝐶) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
21	18, 19, 20	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
22		0red 10644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23		peano2re 10813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ·_ih 𝐶) ∈ ℝ → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ)
24	18, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ)
25		hiidge0 28875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐶 ·_ih 𝐶))
26	10, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐶 ·_ih 𝐶))
27	18	ltp1d 11570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·_ih 𝐶) < ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))
28	22, 18, 24, 26, 27	lelttrd 10798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))
29	24	ltp1d 11570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) < (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) + 1))
30	18	recnd 10669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·_ih 𝐶) ∈ ℂ)
31		ax-1cn 10595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
32		addass 10624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 ·_ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·_ih 𝐶) + (1 + 1)))
33	31, 31, 32	mp3an23 1449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ·_ih 𝐶) ∈ ℂ → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·_ih 𝐶) + (1 + 1)))
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·_ih 𝐶) + (1 + 1)))
35		df-2 11701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (1 + 1)
36	35	oveq2i 7167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2) = ((𝐶 ·_ih 𝐶) + (1 + 1))
37	34, 36	syl6reqr 2875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2) = (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) + 1))
38	29, 37	breqtrrd 5094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) < ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2))
39	22, 24, 21, 28, 38	lttrd 10801	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2))
40	21, 39	elrpd 12429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ⁺)
41		oveq2 7164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) → (𝐴 −_ℎ 𝑥) = (𝐴 −_ℎ (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
42	41	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) → (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝑥)) = (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))))
43	42	breq2d 5078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ≤ (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝑥)) ↔ (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ≤ (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))))
44		pjhth.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ≤ (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝑥)))
45	3	chshii 29004	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐻 ∈ S_ℋ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ S_ℋ )
47		pjhth.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))
48	24	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) ∈ ℂ)
49	18, 26	ge0p1rpd 12462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ⁺)
50	49	rpne0d 12437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) ≠ 0)
51	12, 48, 50	divcld 11416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) ∈ ℂ)
52	47, 51	eqeltrid 2917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
53		shmulcl 28995	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐻 ∈ S_ℋ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ 𝐻)
54	46, 52, 8, 53	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ 𝐻)
55		shaddcl 28994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐻 ∈ S_ℋ ∧ 𝐵 ∈ 𝐻 ∧ (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ 𝐻) → (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ 𝐻)
56	46, 2, 54, 55	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ 𝐻)
57	43, 44, 56	rspcdva 3625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ≤ (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))))
58	3	cheli 29009	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ 𝐻 → (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
59	54, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
60		hvsubass 28821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = (𝐴 −_ℎ (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
61	1, 5, 59, 60	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = (𝐴 −_ℎ (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
62	61	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) = (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ (𝐵 +_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))))
63	57, 62	breqtrrd 5094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ≤ (norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
64		normcl 28902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ∈ ℝ)
65	7, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ∈ ℝ)
66		hvsubcl 28794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℋ)
67	7, 59, 66	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℋ)
68		normcl 28902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℋ → (norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) ∈ ℝ)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) ∈ ℝ)
70		normge0 28903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))
71	7, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)))
72	22, 65, 69, 71, 63	letrd 10797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
73	65, 69, 71, 72	le2sqd 13621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵)) ≤ (norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) ↔ ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2) ≤ ((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2)))
74	63, 73	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2) ≤ ((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2))
75	69	resqcld 13612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2) ∈ ℝ)
76	65	resqcld 13612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
77	75, 76	subge0d 11230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) ↔ ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2) ≤ ((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2)))
78	74, 77	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)))
79		2z 12015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
80		rpexpcl 13449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ⁺ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ⁺)
81	49, 79, 80	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ⁺)
82	15, 81	rerpdivcld 12463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
83	82, 21	remulcld 10671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) ∈ ℝ)
84	83	recnd 10669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) ∈ ℂ)
85	84	negcld 10984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) ∈ ℂ)
86		hicl 28857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
87	7, 7, 86	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
88	85, 87	pncand 10998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((-((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) = -((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)))
89		normsq 28911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℋ → ((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
90	67, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
91		his2sub 28869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℋ) → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))))
92	7, 59, 67, 91	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))))
93		his2sub2 28870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
94	7, 7, 59, 93	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
95	94	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))) = ((((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))))
96		hicl 28857	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
97	7, 59, 96	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
98		his2sub2 28870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) = (((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
99	59, 7, 59, 98	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) = (((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))
100		hicl 28857	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
101	59, 7, 100	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
102		hicl 28857	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
103	59, 59, 102	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
104	101, 103	subcld 10997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) ∈ ℂ)
105	99, 104	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) ∈ ℂ)
106	87, 97, 105	subsub4d 11028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))))
107	82	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
108	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
109	107, 48, 108	adddid 10665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) + 1)) = (((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) + ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1)))
110	37	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) + 1)))
111		his5 28863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = ((∗‘𝑇) · ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)))
112	52, 7, 10, 111	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = ((∗‘𝑇) · ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)))
113	52	cjcld 14555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑇) ∈ ℂ)
114	113, 12	mulcomd 10662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝑇) · ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) · (∗‘𝑇)))
115	12	cjcld 14555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) ∈ ℂ)
116	12, 115, 48, 50	divassd 11451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) · ((∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))))
117	12	absvalsqd 14802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))))
118	117	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) = ((((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
119	47	fveq2i 6673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∗‘𝑇) = (∗‘(((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
120	12, 48, 50	cjdivd 14582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (∗‘(((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / (∗‘((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))))
121	24	cjred 14585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) = ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))
122	121	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / (∗‘((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
123	120, 122	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (∗‘(((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
124	119, 123	syl5eq 2868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑇) = ((∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
125	124	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) · (∗‘𝑇)) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) · ((∗‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))))
126	116, 118, 125	3eqtr4rd 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) · (∗‘𝑇)) = (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
127	112, 114, 126	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
128	15	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) ∈ ℂ)
129	128, 48	mulcomd 10662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) = (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2)))
130	48	sqvald 13508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2) = (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
131	129, 130	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))))
132	128, 48, 48, 50, 50	divcan5d 11442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))) = (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
133	131, 132	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)))
134	24	resqcld 13612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ)
135	134	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℂ)
136	81	rpne0d 12437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2) ≠ 0)
137	128, 48, 135, 136	div23d 11453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
138	127, 133, 137	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
139	82, 24	remulcld 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) ∈ ℝ)
140	138, 139	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℝ)
141		hire 28871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·_ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))))
142	7, 59, 141	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))))
143	140, 142	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)))
144	143, 138	eqtr3d 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
145		his35 28865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·_ih 𝐶)))
146	52, 52, 10, 10, 145	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·_ih 𝐶)))
147	47	fveq2i 6673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (abs‘𝑇) = (abs‘(((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
148	12, 48, 50	absdivd 14815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / (abs‘((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))))
149	49	rpge0d 12436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))
150	24, 149	absidd 14782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) = ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))
151	150	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / (abs‘((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
152	148, 151	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
153	147, 152	syl5eq 2868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑇) = ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)))
154	153	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))↑2))
155	52	absvalsqd 14802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (𝑇 · (∗‘𝑇)))
156	14, 48, 50	sqdivd 13524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) / ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1))↑2) = (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)))
157	154, 155, 156	3eqtr3d 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (∗‘𝑇)) = (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)))
158	157	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·_ih 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·_ih 𝐶)))
159	146, 158	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·_ih 𝐶)))
160	144, 159	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) = (((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·_ih 𝐶))))
161		pncan2 10893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐶 ·_ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·_ih 𝐶)) = 1)
162	30, 31, 161	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·_ih 𝐶)) = 1)
163	162	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·_ih 𝐶))) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1))
164	107, 48, 30	subdid 11096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·_ih 𝐶))) = (((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·_ih 𝐶))))
165	163, 164	eqtr3d 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1) = (((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·_ih 𝐶))))
166	160, 99, 165	3eqtr4d 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1))
167	138, 166	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))) = (((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)) + ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1)))
168	109, 110, 167	3eqtr4rd 2867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)))
169	168	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝑇 ·_ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))))) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2))))
170	95, 106, 169	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·_ℎ 𝐶) ·_ih ((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2))))
171	90, 92, 170	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2))))
172	87, 84	negsubd 11003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) + -((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2))) = (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2))))
173	87, 85	addcomd 10842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)) + -((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2))) = (-((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))))
174	171, 172, 173	3eqtr2d 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2) = (-((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))))
175		normsq 28911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ∈ ℋ → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)))
176	7, 175	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵)))
177	174, 176	oveq12d 7174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)) = ((-((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih (𝐴 −_ℎ 𝐵))))
178	21	renegcld 11067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
179	178	recnd 10669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ)
180	128, 179, 135, 136	div23d 11453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)))
181	21	recnd 10669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ)
182	107, 181	mulneg2d 11094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) = -((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)))
183	180, 182	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) = -((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)))
184	88, 177, 183	3eqtr4rd 2867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)) = (((norm_ℎ‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) −_ℎ (𝑇 ·_ℎ 𝐶)))↑2) − ((norm_ℎ‘(𝐴 −_ℎ 𝐵))↑2)))
185	78, 184	breqtrrd 5094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2)))
186	15, 178	remulcld 10671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) ∈ ℝ)
187	186, 81	ge0divd 12470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) ↔ 0 ≤ ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·_ih 𝐶) + 1)↑2))))
188	185, 187	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)))
189		mulneg12 11078	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ) → (-((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) = (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)))
190	128, 181, 189	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)) = (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)))
191	188, 190	breqtrrd 5094	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (-((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·_ih 𝐶) + 2)))
192	16, 40, 191	prodge0ld 12498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ -((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2))
193	15	le0neg1d 11211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2)))
194	192, 193	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) ≤ 0)
195	13	sqge0d 13613	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2))
196		0re 10643	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
197		letri3 10726	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) = 0 ↔ (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2))))
198	15, 196, 197	sylancl 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) = 0 ↔ (((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2))))
199	194, 195, 198	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶))↑2) = 0)
200	14, 199	sqeq0d 13510	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶)) = 0)
201	12, 200	abs00d 14806	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −_ℎ 𝐵) ·_ih 𝐶) = 0)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 ∀wral 3138 class class class wbr 5066 ‘cfv 6355 (class class class)co 7156 ℂcc 10535 ℝcr 10536 0cc0 10537 1c1 10538 + caddc 10540 · cmul 10542 < clt 10675 ≤ cle 10676 − cmin 10870 -cneg 10871 / cdiv 11297 2c2 11693 ℤcz 11982 ℝ⁺crp 12390 ↑cexp 13430 ∗ccj 14455 abscabs 14593 ℋchba 28696 +_ℎ cva 28697 ·_ℎ csm 28698 ·_ih csp 28699 norm_ℎcno 28700 −_ℎ cmv 28702 S_ℋ csh 28705 C_ℋ cch 28706

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2793 ax-sep 5203 ax-nul 5210 ax-pow 5266 ax-pr 5330 ax-un 7461 ax-cnex 10593 ax-resscn 10594 ax-1cn 10595 ax-icn 10596 ax-addcl 10597 ax-addrcl 10598 ax-mulcl 10599 ax-mulrcl 10600 ax-mulcom 10601 ax-addass 10602 ax-mulass 10603 ax-distr 10604 ax-i2m1 10605 ax-1ne0 10606 ax-1rid 10607 ax-rnegex 10608 ax-rrecex 10609 ax-cnre 10610 ax-pre-lttri 10611 ax-pre-lttrn 10612 ax-pre-ltadd 10613 ax-pre-mulgt0 10614 ax-pre-sup 10615 ax-hilex 28776 ax-hfvadd 28777 ax-hvass 28779 ax-hv0cl 28780 ax-hfvmul 28782 ax-hvdistr1 28785 ax-hvmul0 28787 ax-hfi 28856 ax-his1 28859 ax-his2 28860 ax-his3 28861 ax-his4 28862

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3773 df-csb 3884 df-dif 3939 df-un 3941 df-in 3943 df-ss 3952 df-pss 3954 df-nul 4292 df-if 4468 df-pw 4541 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4839 df-iun 4921 df-br 5067 df-opab 5129 df-mpt 5147 df-tr 5173 df-id 5460 df-eprel 5465 df-po 5474 df-so 5475 df-fr 5514 df-we 5516 df-xp 5561 df-rel 5562 df-cnv 5563 df-co 5564 df-dm 5565 df-rn 5566 df-res 5567 df-ima 5568 df-pred 6148 df-ord 6194 df-on 6195 df-lim 6196 df-suc 6197 df-iota 6314 df-fun 6357 df-fn 6358 df-f 6359 df-f1 6360 df-fo 6361 df-f1o 6362 df-fv 6363 df-riota 7114 df-ov 7159 df-oprab 7160 df-mpo 7161 df-om 7581 df-2nd 7690 df-wrecs 7947 df-recs 8008 df-rdg 8046 df-er 8289 df-en 8510 df-dom 8511 df-sdom 8512 df-sup 8906 df-pnf 10677 df-mnf 10678 df-xr 10679 df-ltxr 10680 df-le 10681 df-sub 10872 df-neg 10873 df-div 11298 df-nn 11639 df-2 11701 df-3 11702 df-n0 11899 df-z 11983 df-uz 12245 df-rp 12391 df-seq 13371 df-exp 13431 df-cj 14458 df-re 14459 df-im 14460 df-sqrt 14594 df-abs 14595 df-hnorm 28745 df-hvsub 28748 df-sh 28984 df-ch 28998

This theorem is referenced by: pjhthlem2 29169

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