HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjhthlem1 30911
Description: Lemma for pjhth 30913. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjhth.1 ๐ป โˆˆ Cโ„‹
pjhth.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‹)
pjhth.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ป)
pjhth.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ป)
pjhth.5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)))
pjhth.6 ๐‘‡ = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))
Assertion
Ref Expression
pjhthlem1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) = 0)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐ป   ๐‘ฅ,๐‘‡
Allowed substitution hint:   ๐œ‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem pjhthlem1
StepHypRef Expression
1 pjhth.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‹)
2 pjhth.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ป)
3 pjhth.1 . . . . . 6 ๐ป โˆˆ Cโ„‹
43cheli 30752 . . . . 5 (๐ต โˆˆ ๐ป โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‹)
52, 4syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‹)
6 hvsubcl 30537 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
71, 5, 6syl2anc 582 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
8 pjhth.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ป)
93cheli 30752 . . . 4 (๐ถ โˆˆ ๐ป โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‹)
108, 9syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‹)
11 hicl 30600 . . 3 (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
127, 10, 11syl2anc 582 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1312abscld 15387 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)) โˆˆ โ„)
1413recnd 11246 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
1513resqcld 14094 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) โˆˆ โ„)
1615renegcld 11645 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) โˆˆ โ„)
17 hiidrcl 30615 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ถ ยทih ๐ถ) โˆˆ โ„)
1810, 17syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยทih ๐ถ) โˆˆ โ„)
19 2re 12290 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„
20 readdcl 11195 . . . . . . . 8 (((๐ถ ยทih ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2) โˆˆ โ„)
2118, 19, 20sylancl 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2) โˆˆ โ„)
22 0red 11221 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
23 peano2re 11391 . . . . . . . . 9 ((๐ถ ยทih ๐ถ) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) โˆˆ โ„)
2418, 23syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) โˆˆ โ„)
25 hiidge0 30618 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (๐ถ ยทih ๐ถ))
2610, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ถ ยทih ๐ถ))
2718ltp1d 12148 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยทih ๐ถ) < ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))
2822, 18, 24, 26, 27lelttrd 11376 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))
2924ltp1d 12148 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) < (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) + 1))
30 df-2 12279 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
3130oveq2i 7422 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2) = ((๐ถ ยทih ๐ถ) + (1 + 1))
3218recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยทih ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
33 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
34 addass 11199 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ถ ยทih ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) + 1) = ((๐ถ ยทih ๐ถ) + (1 + 1)))
3533, 33, 34mp3an23 1451 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ ยทih ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) + 1) = ((๐ถ ยทih ๐ถ) + (1 + 1)))
3632, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) + 1) = ((๐ถ ยทih ๐ถ) + (1 + 1)))
3731, 36eqtr4id 2789 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2) = (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) + 1))
3829, 37breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) < ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2))
3922, 24, 21, 28, 38lttrd 11379 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2))
4021, 39elrpd 13017 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2) โˆˆ โ„+)
41 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐ต +โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ) = (๐ด โˆ’โ„Ž (๐ต +โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))))
4241fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐ต +โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (๐ต +โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))))
4342breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐ต +โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)) โ†” (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (๐ต +โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))))))
44 pjhth.5 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ป (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐‘ฅ)))
453chshii 30747 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐ป โˆˆ Sโ„‹
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ Sโ„‹ )
47 pjhth.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐‘‡ = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))
4824recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) โˆˆ โ„‚)
4918, 26ge0p1rpd 13050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) โˆˆ โ„+)
5049rpne0d 13025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) โ‰  0)
5112, 48, 50divcld 11994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)) โˆˆ โ„‚)
5247, 51eqeltrid 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
53 shmulcl 30738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ป โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ ๐ป)
5446, 52, 8, 53syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ ๐ป)
55 shaddcl 30737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ป โˆˆ Sโ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ ๐ป โˆง (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ ๐ป) โ†’ (๐ต +โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆˆ ๐ป)
5646, 2, 54, 55syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ต +โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆˆ ๐ป)
5743, 44, 56rspcdva 3612 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (๐ต +โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))))
583cheli 30752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ ๐ป โ†’ (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
5954, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
60 hvsubass 30564 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) = (๐ด โˆ’โ„Ž (๐ต +โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))))
611, 5, 59, 60syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) = (๐ด โˆ’โ„Ž (๐ต +โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))))
6261fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) = (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž (๐ต +โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))))
6357, 62breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))))
64 normcl 30645 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„)
657, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„)
66 hvsubcl 30537 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„‹)
677, 59, 66syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„‹)
68 normcl 30645 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) โˆˆ โ„)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) โˆˆ โ„)
70 normge0 30646 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))
717, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))
7222, 65, 69, 71, 63letrd 11375 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))))
7365, 69, 71, 72le2sqd 14224 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โ‰ค (normโ„Žโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)))
7463, 73mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2))
7569resqcld 14094 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) โˆˆ โ„)
7665resqcld 14094 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) โˆˆ โ„)
7775, 76subge0d 11808 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (((normโ„Žโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) โ‰ค ((normโ„Žโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)))
7874, 77mpbird 256 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (((normโ„Žโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)))
79 2z 12598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 โˆˆ โ„ค
80 rpexpcl 14050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) โˆˆ โ„+ โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„+)
8149, 79, 80sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„+)
8215, 81rerpdivcld 13051 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
8382, 21remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)) โˆˆ โ„)
8483recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)) โˆˆ โ„‚)
8584negcld 11562 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ -((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)) โˆˆ โ„‚)
86 hicl 30600 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
877, 7, 86syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
8885, 87pncand 11576 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((-((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)) + ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = -((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)))
89 normsq 30654 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))))
9067, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))))
91 his2sub 30612 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹ โˆง ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) โˆ’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))))
927, 59, 67, 91syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) โˆ’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))))
93 his2sub2 30613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))))
947, 7, 59, 93syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))))
9594oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) โˆ’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))) = ((((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) โˆ’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))))
96 hicl 30600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
977, 59, 96syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
98 his2sub2 30613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) = (((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))))
9959, 7, 59, 98syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) = (((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))))
100 hicl 30600 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
10159, 7, 100syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
102 hicl 30600 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
10359, 59, 102syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
104101, 103subcld 11575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) โˆˆ โ„‚)
10599, 104eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) โˆˆ โ„‚)
10687, 97, 105subsub4d 11606 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) โˆ’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆ’ (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) + ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))))))
10782recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
10833a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
109107, 48, 108adddid 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) + 1)) = (((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)) + ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท 1)))
11037oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)) = ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) + 1)))
111 his5 30606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((โˆ—โ€˜๐‘‡) ยท ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)))
11252, 7, 10, 111syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((โˆ—โ€˜๐‘‡) ยท ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)))
11352cjcld 15147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (โˆ—โ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
114113, 12mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((โˆ—โ€˜๐‘‡) ยท ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) ยท (โˆ—โ€˜๐‘‡)))
11512cjcld 15147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (โˆ—โ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
11612, 115, 48, 50divassd 12029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) ยท (โˆ—โ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) ยท ((โˆ—โ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))))
11712absvalsqd 15393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) ยท (โˆ—โ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))))
118117oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)) = ((((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) ยท (โˆ—โ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)))
11947fveq2i 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (โˆ—โ€˜๐‘‡) = (โˆ—โ€˜(((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)))
12012, 48, 50cjdivd 15174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ (โˆ—โ€˜(((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))) = ((โˆ—โ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)) / (โˆ—โ€˜((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))))
12124cjred 15177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐œ‘ โ†’ (โˆ—โ€˜((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)) = ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))
122121oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ ((โˆ—โ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)) / (โˆ—โ€˜((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))) = ((โˆ—โ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)))
123120, 122eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (โˆ—โ€˜(((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))) = ((โˆ—โ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)))
124119, 123eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (โˆ—โ€˜๐‘‡) = ((โˆ—โ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)))
125124oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) ยท (โˆ—โ€˜๐‘‡)) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) ยท ((โˆ—โ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))))
126116, 118, 1253eqtr4rd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) ยท (โˆ—โ€˜๐‘‡)) = (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)))
127112, 114, 1263eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) = (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)))
12815recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
129128, 48mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)) = (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) ยท ((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2)))
13048sqvald 14112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2) = (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)))
131129, 130oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) = ((((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) ยท ((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2)) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))))
132128, 48, 48, 50, 50divcan5d 12020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) ยท ((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2)) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))) = (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)))
133131, 132eqtr2d 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)) = ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)))
13424resqcld 14094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„)
135134recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
13681rpne0d 13025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2) โ‰  0)
137128, 48, 135, 136div23d 12031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) = ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)))
138127, 133, 1373eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)))
13982, 24remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)) โˆˆ โ„)
140138, 139eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„)
141 hire 30614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„ โ†” ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))))
1427, 59, 141syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„ โ†” ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))))
143140, 142mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))
144143, 138eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)))
145 his35 30608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘‡ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((๐‘‡ ยท (โˆ—โ€˜๐‘‡)) ยท (๐ถ ยทih ๐ถ)))
14652, 52, 10, 10, 145syl22anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((๐‘‡ ยท (โˆ—โ€˜๐‘‡)) ยท (๐ถ ยทih ๐ถ)))
14747fveq2i 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (absโ€˜๐‘‡) = (absโ€˜(((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)))
14812, 48, 50absdivd 15406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))) = ((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)) / (absโ€˜((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))))
14949rpge0d 13024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))
15024, 149absidd 15373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)) = ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))
151150oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)) / (absโ€˜((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))) = ((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)))
152148, 151eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))) = ((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)))
153147, 152eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘‡) = ((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)))
154153oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐‘‡)โ†‘2) = (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))โ†‘2))
15552absvalsqd 15393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐‘‡)โ†‘2) = (๐‘‡ ยท (โˆ—โ€˜๐‘‡)))
15614, 48, 50sqdivd 14128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)) / ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1))โ†‘2) = (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)))
157154, 155, 1563eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ ยท (โˆ—โ€˜๐‘‡)) = (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)))
158157oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡ ยท (โˆ—โ€˜๐‘‡)) ยท (๐ถ ยทih ๐ถ)) = ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท (๐ถ ยทih ๐ถ)))
159146, 158eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท (๐ถ ยทih ๐ถ)))
160144, 159oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) = (((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)) โˆ’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท (๐ถ ยทih ๐ถ))))
161 pncan2 11471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ถ ยทih ๐ถ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) โˆ’ (๐ถ ยทih ๐ถ)) = 1)
16232, 33, 161sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) โˆ’ (๐ถ ยทih ๐ถ)) = 1)
163162oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) โˆ’ (๐ถ ยทih ๐ถ))) = ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท 1))
164107, 48, 32subdid 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1) โˆ’ (๐ถ ยทih ๐ถ))) = (((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)) โˆ’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท (๐ถ ยทih ๐ถ))))
165163, 164eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท 1) = (((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)) โˆ’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท (๐ถ ยทih ๐ถ))))
166160, 99, 1653eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) = ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท 1))
167138, 166oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) + ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))) = (((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)) + ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท 1)))
168109, 110, 1673eqtr4rd 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) + ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))) = ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)))
169168oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆ’ (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)) + ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))))) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2))))
17095, 106, 1693eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ))) โˆ’ ((๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ) ยทih ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2))))
17190, 92, 1703eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2))))
17287, 84negsubd 11581 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) + -((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2))) = (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆ’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2))))
17387, 85addcomd 11420 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) + -((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2))) = (-((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)) + ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))))
174171, 172, 1733eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) = (-((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)) + ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))))
175 normsq 30654 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))
1767, 175syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))
177174, 176oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((normโ„Žโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((-((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)) + ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) โˆ’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))))
17821renegcld 11645 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ -((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2) โˆˆ โ„)
179178recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ -((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2) โˆˆ โ„‚)
180128, 179, 135, 136div23d 12031 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) ยท -((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) = ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท -((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)))
18121recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2) โˆˆ โ„‚)
182107, 181mulneg2d 11672 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท -((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)) = -((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)))
183180, 182eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) ยท -((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) = -((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)))
18488, 177, 1833eqtr4rd 2781 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) ยท -((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)) = (((normโ„Žโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐‘‡ ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)))
18578, 184breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) ยท -((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2)))
18615, 178remulcld 11248 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) ยท -((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)) โˆˆ โ„)
187186, 81ge0divd 13058 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) ยท -((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)) โ†” 0 โ‰ค ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) ยท -((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)) / (((๐ถ ยทih ๐ถ) + 1)โ†‘2))))
188185, 187mpbird 256 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) ยท -((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)))
189 mulneg12 11656 . . . . . . . 8 ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)) = (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) ยท -((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)))
190128, 181, 189syl2anc 582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)) = (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) ยท -((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)))
191188, 190breqtrrd 5175 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (-((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) ยท ((๐ถ ยทih ๐ถ) + 2)))
19216, 40, 191prodge0ld 13086 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค -((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2))
19315le0neg1d 11789 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2)))
194192, 193mpbird 256 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) โ‰ค 0)
19513sqge0d 14106 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2))
196 0re 11220 . . . . 5 0 โˆˆ โ„
197 letri3 11303 . . . . 5 ((((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) = 0 โ†” (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค ((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2))))
19815, 196, 197sylancl 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) = 0 โ†” (((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค ((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2))))
199194, 195, 198mpbir2and 709 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ))โ†‘2) = 0)
20014, 199sqeq0d 14114 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ)) = 0)
20112, 200abs00d 15397 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) ยทih ๐ถ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  โ„คcz 12562  โ„+crp 12978  โ†‘cexp 14031  โˆ—ccj 15047  abscabs 15185   โ„‹chba 30439   +โ„Ž cva 30440   ยทโ„Ž csm 30441   ยทih csp 30442  normโ„Žcno 30443   โˆ’โ„Ž cmv 30445   Sโ„‹ csh 30448   Cโ„‹ cch 30449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hfvmul 30525  ax-hvdistr1 30528  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-hnorm 30488  df-hvsub 30491  df-sh 30727  df-ch 30741
This theorem is referenced by:  pjhthlem2  30912
  Copyright terms: Public domain W3C validator