Theorem pjrni 30815

Description: The range of a projection. Part of Theorem 26.2 of [Halmos] p. 44. (Contributed by NM, 30-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjfn.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjrni	⊢ ran (projℎ‘𝐻) = 𝐻

Proof of Theorem pjrni

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjfn.1	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	pjfni 30814	. . . 4 ⊢ (projℎ‘𝐻) Fn ℋ
3	1	pjcli 30530	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ 𝐻)
4	3	rgen 3062	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ 𝐻
5		ffnfv 7101	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐻): ℋ⟶𝐻 ↔ ((projℎ‘𝐻) Fn ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ((projℎ‘𝐻)‘𝑥) ∈ 𝐻))
6	2, 4, 5	mpbir2an 709	. . 3 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶𝐻
7		frn 6710	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐻): ℋ⟶𝐻 → ran (projℎ‘𝐻) ⊆ 𝐻)
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (projℎ‘𝐻) ⊆ 𝐻
9		pjid 30808	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → ((projℎ‘𝐻)‘𝑦) = 𝑦)
10	1, 9	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘𝐻)‘𝑦) = 𝑦)
11	1	cheli 30345	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ℋ)
12		fnfvelrn 7066	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐻) Fn ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝑦) ∈ ran (projℎ‘𝐻))
13	2, 11, 12	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘𝐻)‘𝑦) ∈ ran (projℎ‘𝐻))
14	10, 13	eqeltrrd 2833	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ran (projℎ‘𝐻))
15	14	ssriv 3981	. 2 ⊢ 𝐻 ⊆ ran (projℎ‘𝐻)
16	8, 15	eqssi 3993	1 ⊢ ran (projℎ‘𝐻) = 𝐻

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060   ⊆ wss 3943  ran crn 5669   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531   ℋchba 30032   C_ℋ cch 30042  proj_ℎcpjh 30050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-inf2 9617  ax-cc 10411  ax-cnex 11147  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168  ax-pre-sup 11169  ax-addf 11170  ax-mulf 11171  ax-hilex 30112  ax-hfvadd 30113  ax-hvcom 30114  ax-hvass 30115  ax-hv0cl 30116  ax-hvaddid 30117  ax-hfvmul 30118  ax-hvmulid 30119  ax-hvmulass 30120  ax-hvdistr1 30121  ax-hvdistr2 30122  ax-hvmul0 30123  ax-hfi 30192  ax-his1 30195  ax-his2 30196  ax-his3 30197  ax-his4 30198  ax-hcompl 30315

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-se 5624  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7652  df-om 7838  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-supp 8128  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-rdg 8391  df-1o 8447  df-2o 8448  df-oadd 8451  df-omul 8452  df-er 8685  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9344  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9486  df-card 9915  df-acn 9918  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11853  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12454  df-z 12540  df-dec 12659  df-uz 12804  df-q 12914  df-rp 12956  df-xneg 13073  df-xadd 13074  df-xmul 13075  df-ioo 13309  df-ico 13311  df-icc 13312  df-fz 13466  df-fzo 13609  df-fl 13738  df-seq 13948  df-exp 14009  df-hash 14272  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15614  df-struct 17061  df-sets 17078  df-slot 17096  df-ndx 17108  df-base 17126  df-ress 17155  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-hom 17202  df-cco 17203  df-rest 17349  df-topn 17350  df-0g 17368  df-gsum 17369  df-topgen 17370  df-pt 17371  df-prds 17374  df-xrs 17429  df-qtop 17434  df-imas 17435  df-xps 17437  df-mre 17511  df-mrc 17512  df-acs 17514  df-mgm 18542  df-sgrp 18591  df-mnd 18602  df-submnd 18647  df-mulg 18922  df-cntz 19146  df-cmn 19613  df-psmet 20867  df-xmet 20868  df-met 20869  df-bl 20870  df-mopn 20871  df-fbas 20872  df-fg 20873  df-cnfld 20876  df-top 22322  df-topon 22339  df-topsp 22361  df-bases 22375  df-cld 22449  df-ntr 22450  df-cls 22451  df-nei 22528  df-cn 22657  df-cnp 22658  df-lm 22659  df-haus 22745  df-tx 22992  df-hmeo 23185  df-fil 23276  df-fm 23368  df-flim 23369  df-flf 23370  df-xms 23752  df-ms 23753  df-tms 23754  df-cfil 24698  df-cau 24699  df-cmet 24700  df-grpo 29606  df-gid 29607  df-ginv 29608  df-gdiv 29609  df-ablo 29658  df-vc 29672  df-nv 29705  df-va 29708  df-ba 29709  df-sm 29710  df-0v 29711  df-vs 29712  df-nmcv 29713  df-ims 29714  df-dip 29814  df-ssp 29835  df-ph 29926  df-cbn 29976  df-hnorm 30081  df-hba 30082  df-hvsub 30084  df-hlim 30085  df-hcau 30086  df-sh 30320  df-ch 30334  df-oc 30365  df-ch0 30366  df-shs 30421  df-pjh 30508

This theorem is referenced by:  pjfoi  30816  pjfi  30817  pj11i  30824  pjss1coi  31276  pjimai  31289  pj3i  31321