Theorem pjhthlem2 31744

Description: Lemma for pjhth 31745. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjhth.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjhth.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℋ)

Assertion

Ref	Expression
pjhthlem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐻,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem pjhthlem2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhth.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℋ)
2	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) → 𝐴 ∈ ℋ)
3		pjhth.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
4	3	cheli 31584	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → 𝑥 ∈ ℋ)
5	4	ad2antrl 740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) → 𝑥 ∈ ℋ)
6		hvsubcl 31369	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
7	2, 5, 6	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) → (𝐴 −ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
8	2	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
9		simplrl 788	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → 𝑥 ∈ 𝐻)
10		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → 𝑦 ∈ 𝐻)
11		simplrr 789	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝑥) ·ih 𝑦) / ((𝑦 ·ih 𝑦) + 1)) = (((𝐴 −ℎ 𝑥) ·ih 𝑦) / ((𝑦 ·ih 𝑦) + 1))
13	3, 8, 9, 10, 11, 12	pjhthlem1 31743	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → ((𝐴 −ℎ 𝑥) ·ih 𝑦) = 0)
14	13	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ 𝐻 ((𝐴 −ℎ 𝑥) ·ih 𝑦) = 0)
15	3	chshii 31579	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
16		shocel 31634	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐴 −ℎ 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((𝐴 −ℎ 𝑥) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐻 ((𝐴 −ℎ 𝑥) ·ih 𝑦) = 0)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((𝐴 −ℎ 𝑥) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐻 ((𝐴 −ℎ 𝑥) ·ih 𝑦) = 0))
18	7, 14, 17	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) → (𝐴 −ℎ 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻))
19		hvpncan3 31394	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (𝐴 −ℎ 𝑥)) = 𝐴)
20	5, 2, 19	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) → (𝑥 +ℎ (𝐴 −ℎ 𝑥)) = 𝐴)
21	20	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) → 𝐴 = (𝑥 +ℎ (𝐴 −ℎ 𝑥)))
22		oveq2 7418	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐴 −ℎ 𝑥) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (𝐴 −ℎ 𝑥)))
23	22	rspceeqv 3604	. . 3 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ (𝐴 −ℎ 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
24	18, 21, 23	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
25		df-hba 31321	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
26		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
27	26	hhvs 31522	. . . 4 ⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
28	26	hhnm 31523	. . . 4 ⊢ normℎ = (normCV‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
29		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
30	29, 15	hhssba 31623	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)
31	26	hhph 31530	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ CPreHilOLD
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ CPreHilOLD)
33	26, 29	hhsst 31618	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
35	29, 3	hhssbnOLD 31631	. . . . . 6 ⊢ ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ ∈ CBan
36		elin 3921	. . . . . 6 ⊢ (⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ ∈ ((SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∩ CBan) ↔ (⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∧ ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ ∈ CBan))
37	34, 35, 36	mpbir2an 723	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ ∈ ((SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∩ CBan)
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ ∈ ((SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∩ CBan))
39	25, 27, 28, 30, 32, 38, 1	minveco 31236	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))
40		reurex 3373	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))
41	39, 40	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))
42	24, 41	reximddv 3181	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ∃!wreu 3367   ∩ cin 3904  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109   × cxp 5659   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   ≤ cle 11239   / cdiv 11866  SubSpcss 31073  CPreHil_OLDccphlo 31164  CBanccbn 31214   ℋchba 31271   +_ℎ cva 31272   ·_ℎ csm 31273   ·_ih csp 31274  norm_ℎcno 31275   −_ℎ cmv 31277   S_ℋ csh 31280   C_ℋ cch 31281  ⊥cort 31282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10414  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174  ax-mulf 11175  ax-hilex 31351  ax-hfvadd 31352  ax-hvcom 31353  ax-hvass 31354  ax-hv0cl 31355  ax-hvaddid 31356  ax-hfvmul 31357  ax-hvmulid 31358  ax-hvmulass 31359  ax-hvdistr1 31360  ax-hvdistr2 31361  ax-hvmul0 31362  ax-hfi 31431  ax-his1 31434  ax-his2 31435  ax-his3 31436  ax-his4 31437  ax-hcompl 31554

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-rest 17470  df-topgen 17491  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-top 23051  df-topon 23068  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lm 23386  df-haus 23472  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-cfil 25414  df-cau 25415  df-cmet 25416  df-grpo 30845  df-gid 30846  df-ginv 30847  df-gdiv 30848  df-ablo 30897  df-vc 30911  df-nv 30944  df-va 30947  df-ba 30948  df-sm 30949  df-0v 30950  df-vs 30951  df-nmcv 30952  df-ims 30953  df-ssp 31074  df-ph 31165  df-cbn 31215  df-hnorm 31320  df-hba 31321  df-hvsub 31323  df-hlim 31324  df-hcau 31325  df-sh 31559  df-ch 31573  df-oc 31604  df-ch0 31605

This theorem is referenced by:  pjhth  31745  omlsii  31755