HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjhthlem2 30376
Description: Lemma for pjhth 30377. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjhth.1 𝐻 ∈ Cβ„‹
pjhth.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
Assertion
Ref Expression
pjhthlem2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐻 βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜π»)𝐴 = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐻,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem pjhthlem2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhth.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
21adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
3 pjhth.1 . . . . . . 7 𝐻 ∈ Cβ„‹
43cheli 30216 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
54ad2antrl 727 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
6 hvsubcl 30001 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ β„‹)
72, 5, 6syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ β„‹)
82adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
9 simplrl 776 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ π‘₯ ∈ 𝐻)
10 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ 𝑦 ∈ 𝐻)
11 simplrr 777 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))
12 eqid 2737 . . . . . 6 (((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) / ((𝑦 Β·ih 𝑦) + 1)) = (((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) / ((𝑦 Β·ih 𝑦) + 1))
133, 8, 9, 10, 11, 12pjhthlem1 30375 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) = 0)
1413ralrimiva 3144 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) = 0)
153chshii 30211 . . . . 5 𝐻 ∈ Sβ„‹
16 shocel 30266 . . . . 5 (𝐻 ∈ Sβ„‹ β†’ ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ (βŠ₯β€˜π») ↔ ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) = 0)))
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ (βŠ₯β€˜π») ↔ ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) = 0))
187, 14, 17sylanbrc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ (βŠ₯β€˜π»))
19 hvpncan3 30026 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) = 𝐴)
205, 2, 19syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) = 𝐴)
2120eqcomd 2743 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ 𝐴 = (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)))
22 oveq2 7370 . . . 4 (𝑦 = (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑦) = (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)))
2322rspceeqv 3600 . . 3 (((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ (βŠ₯β€˜π») ∧ 𝐴 = (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜π»)𝐴 = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
2418, 21, 23syl2anc 585 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜π»)𝐴 = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
25 df-hba 29953 . . . 4 β„‹ = (BaseSetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
26 eqid 2737 . . . . 5 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
2726hhvs 30154 . . . 4 βˆ’β„Ž = ( βˆ’π‘£ β€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
2826hhnm 30155 . . . 4 normβ„Ž = (normCVβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
29 eqid 2737 . . . . 5 ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
3029, 15hhssba 30255 . . . 4 𝐻 = (BaseSetβ€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩)
3126hhph 30162 . . . . 5 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ CPreHilOLD
3231a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ CPreHilOLD)
3326, 29hhsst 30250 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ Sβ„‹ β†’ ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ (SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))
3415, 33ax-mp 5 . . . . . 6 ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ (SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
3529, 3hhssbnOLD 30263 . . . . . 6 ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ CBan
36 elin 3931 . . . . . 6 (⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ ((SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∩ CBan) ↔ (⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ (SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∧ ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ CBan))
3734, 35, 36mpbir2an 710 . . . . 5 ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ ((SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∩ CBan)
3837a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ ((SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∩ CBan))
3925, 27, 28, 30, 32, 38, 1minveco 29868 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))
40 reurex 3360 . . 3 (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))
4139, 40syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))
4224, 41reximddv 3169 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐻 βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜π»)𝐴 = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  βˆƒ!wreu 3354   ∩ cin 3914  βŸ¨cop 4597   class class class wbr 5110   Γ— cxp 5636   β†Ύ cres 5640  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  SubSpcss 29705  CPreHilOLDccphlo 29796  CBanccbn 29846   β„‹chba 29903   +β„Ž cva 29904   Β·β„Ž csm 29905   Β·ih csp 29906  normβ„Žcno 29907   βˆ’β„Ž cmv 29909   Sβ„‹ csh 29912   Cβ„‹ cch 29913  βŠ₯cort 29914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr1 29992  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069  ax-hcompl 30186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lm 22596  df-haus 22682  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-ssp 29706  df-ph 29797  df-cbn 29847  df-hnorm 29952  df-hba 29953  df-hvsub 29955  df-hlim 29956  df-hcau 29957  df-sh 30191  df-ch 30205  df-oc 30236  df-ch0 30237
This theorem is referenced by:  pjhth  30377  omlsii  30387
  Copyright terms: Public domain W3C validator