HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjhthlem2 31411
Description: Lemma for pjhth 31412. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjhth.1 𝐻C
pjhth.2 (𝜑𝐴 ∈ ℋ)
Assertion
Ref Expression
pjhthlem2 (𝜑 → ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐻,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem pjhthlem2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhth.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℋ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → 𝐴 ∈ ℋ)
3 pjhth.1 . . . . . . 7 𝐻C
43cheli 31251 . . . . . 6 (𝑥𝐻𝑥 ∈ ℋ)
54ad2antrl 728 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → 𝑥 ∈ ℋ)
6 hvsubcl 31036 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 𝑥) ∈ ℋ)
72, 5, 6syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → (𝐴 𝑥) ∈ ℋ)
82adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) ∧ 𝑦𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
9 simplrl 777 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) ∧ 𝑦𝐻) → 𝑥𝐻)
10 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) ∧ 𝑦𝐻) → 𝑦𝐻)
11 simplrr 778 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) ∧ 𝑦𝐻) → ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))
12 eqid 2737 . . . . . 6 (((𝐴 𝑥) ·ih 𝑦) / ((𝑦 ·ih 𝑦) + 1)) = (((𝐴 𝑥) ·ih 𝑦) / ((𝑦 ·ih 𝑦) + 1))
133, 8, 9, 10, 11, 12pjhthlem1 31410 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) ∧ 𝑦𝐻) → ((𝐴 𝑥) ·ih 𝑦) = 0)
1413ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → ∀𝑦𝐻 ((𝐴 𝑥) ·ih 𝑦) = 0)
153chshii 31246 . . . . 5 𝐻S
16 shocel 31301 . . . . 5 (𝐻S → ((𝐴 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((𝐴 𝑥) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦𝐻 ((𝐴 𝑥) ·ih 𝑦) = 0)))
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 ((𝐴 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((𝐴 𝑥) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦𝐻 ((𝐴 𝑥) ·ih 𝑦) = 0))
187, 14, 17sylanbrc 583 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → (𝐴 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻))
19 hvpncan3 31061 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) = 𝐴)
205, 2, 19syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) = 𝐴)
2120eqcomd 2743 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → 𝐴 = (𝑥 + (𝐴 𝑥)))
22 oveq2 7439 . . . 4 (𝑦 = (𝐴 𝑥) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + (𝐴 𝑥)))
2322rspceeqv 3645 . . 3 (((𝐴 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (𝐴 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
2418, 21, 23syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
25 df-hba 30988 . . . 4 ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
26 eqid 2737 . . . . 5 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
2726hhvs 31189 . . . 4 = ( −𝑣 ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
2826hhnm 31190 . . . 4 norm = (normCV‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
29 eqid 2737 . . . . 5 ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
3029, 15hhssba 31290 . . . 4 𝐻 = (BaseSet‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩)
3126hhph 31197 . . . . 5 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ CPreHilOLD
3231a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ CPreHilOLD)
3326, 29hhsst 31285 . . . . . . 7 (𝐻S → ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))
3415, 33ax-mp 5 . . . . . 6 ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
3529, 3hhssbnOLD 31298 . . . . . 6 ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ CBan
36 elin 3967 . . . . . 6 (⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ ((SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∩ CBan) ↔ (⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∧ ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ CBan))
3734, 35, 36mpbir2an 711 . . . . 5 ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ ((SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∩ CBan)
3837a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ ((SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∩ CBan))
3925, 27, 28, 30, 32, 38, 1minveco 30903 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑥𝐻𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))
40 reurex 3384 . . 3 (∃!𝑥𝐻𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)) → ∃𝑥𝐻𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))
4139, 40syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐻𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))
4224, 41reximddv 3171 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  ∃!wreu 3378  cin 3950  cop 4632   class class class wbr 5143   × cxp 5683  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cle 11296   / cdiv 11920  SubSpcss 30740  CPreHilOLDccphlo 30831  CBanccbn 30881  chba 30938   + cva 30939   · csm 30940   ·ih csp 30941  normcno 30942   cmv 30944   S csh 30947   C cch 30948  cort 30949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lm 23237  df-haus 23323  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-ssp 30741  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272
This theorem is referenced by:  pjhth  31412  omlsii  31422
  Copyright terms: Public domain W3C validator