Theorem pjhthlem2 31684

Description: Lemma for pjhth 31685. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjhth.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjhth.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℋ)

Assertion

Ref	Expression
pjhthlem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐻,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem pjhthlem2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhth.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℋ)
2	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) → 𝐴 ∈ ℋ)
3		pjhth.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
4	3	cheli 31524	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐻 → 𝑥 ∈ ℋ)
5	4	ad2antrl 740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) → 𝑥 ∈ ℋ)
6		hvsubcl 31309	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
7	2, 5, 6	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) → (𝐴 −ℎ 𝑥) ∈ ℋ)
8	2	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
9		simplrl 788	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → 𝑥 ∈ 𝐻)
10		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → 𝑦 ∈ 𝐻)
11		simplrr 789	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))
12		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝑥) ·ih 𝑦) / ((𝑦 ·ih 𝑦) + 1)) = (((𝐴 −ℎ 𝑥) ·ih 𝑦) / ((𝑦 ·ih 𝑦) + 1))
13	3, 8, 9, 10, 11, 12	pjhthlem1 31683	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → ((𝐴 −ℎ 𝑥) ·ih 𝑦) = 0)
14	13	ralrimiva 3163	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) → ∀𝑦 ∈ 𝐻 ((𝐴 −ℎ 𝑥) ·ih 𝑦) = 0)
15	3	chshii 31519	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
16		shocel 31574	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ((𝐴 −ℎ 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((𝐴 −ℎ 𝑥) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐻 ((𝐴 −ℎ 𝑥) ·ih 𝑦) = 0)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((𝐴 −ℎ 𝑥) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐻 ((𝐴 −ℎ 𝑥) ·ih 𝑦) = 0))
18	7, 14, 17	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) → (𝐴 −ℎ 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻))
19		hvpncan3 31334	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ (𝐴 −ℎ 𝑥)) = 𝐴)
20	5, 2, 19	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) → (𝑥 +ℎ (𝐴 −ℎ 𝑥)) = 𝐴)
21	20	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) → 𝐴 = (𝑥 +ℎ (𝐴 −ℎ 𝑥)))
22		oveq2 7419	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐴 −ℎ 𝑥) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑥 +ℎ (𝐴 −ℎ 𝑥)))
23	22	rspceeqv 3613	. . 3 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ (𝐴 −ℎ 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
24	18, 21, 23	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
25		df-hba 31261	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
26		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
27	26	hhvs 31462	. . . 4 ⊢ −ℎ = ( −𝑣 ‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
28	26	hhnm 31463	. . . 4 ⊢ normℎ = (normCV‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
29		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
30	29, 15	hhssba 31563	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (BaseSet‘⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩)
31	26	hhph 31470	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ CPreHilOLD
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ CPreHilOLD)
33	26, 29	hhsst 31558	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩))
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
35	29, 3	hhssbnOLD 31571	. . . . . 6 ⊢ ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ ∈ CBan
36		elin 3929	. . . . . 6 ⊢ (⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ ∈ ((SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∩ CBan) ↔ (⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ ∈ (SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∧ ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ ∈ CBan))
37	34, 35, 36	mpbir2an 723	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ ∈ ((SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∩ CBan)
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩ ∈ ((SubSp‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) ∩ CBan))
39	25, 27, 28, 30, 32, 38, 1	minveco 31176	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))
40		reurex 3380	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))
41	39, 40	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∀𝑧 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑧)))
42	24, 41	reximddv 3187	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  ∃!wreu 3374   ∩ cin 3912  ⟨cop 4600   class class class wbr 5113   × cxp 5660   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   ≤ cle 11243   / cdiv 11870  SubSpcss 31013  CPreHil_OLDccphlo 31104  CBanccbn 31154   ℋchba 31211   +_ℎ cva 31212   ·_ℎ csm 31213   ·_ih csp 31214  norm_ℎcno 31215   −_ℎ cmv 31217   S_ℋ csh 31220   C_ℋ cch 31221  ⊥cort 31222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cc 10418  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178  ax-mulf 11179  ax-hilex 31291  ax-hfvadd 31292  ax-hvcom 31293  ax-hvass 31294  ax-hv0cl 31295  ax-hvaddid 31296  ax-hfvmul 31297  ax-hvmulid 31298  ax-hvmulass 31299  ax-hvdistr1 31300  ax-hvdistr2 31301  ax-hvmul0 31302  ax-hfi 31371  ax-his1 31374  ax-his2 31375  ax-his3 31376  ax-his4 31377  ax-hcompl 31494

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-acn 9927  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fl 13824  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-rest 17474  df-topgen 17495  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-fbas 21487  df-fg 21488  df-top 23019  df-topon 23036  df-bases 23071  df-cld 23144  df-ntr 23145  df-cls 23146  df-nei 23223  df-lm 23354  df-haus 23440  df-fil 23971  df-fm 24063  df-flim 24064  df-flf 24065  df-cfil 25382  df-cau 25383  df-cmet 25384  df-grpo 30785  df-gid 30786  df-ginv 30787  df-gdiv 30788  df-ablo 30837  df-vc 30851  df-nv 30884  df-va 30887  df-ba 30888  df-sm 30889  df-0v 30890  df-vs 30891  df-nmcv 30892  df-ims 30893  df-ssp 31014  df-ph 31105  df-cbn 31155  df-hnorm 31260  df-hba 31261  df-hvsub 31263  df-hlim 31264  df-hcau 31265  df-sh 31499  df-ch 31513  df-oc 31544  df-ch0 31545

This theorem is referenced by:  pjhth  31685  omlsii  31695