HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjhthlem2 31246
Description: Lemma for pjhth 31247. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjhth.1 𝐻 ∈ Cβ„‹
pjhth.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
Assertion
Ref Expression
pjhthlem2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐻 βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜π»)𝐴 = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐻,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem pjhthlem2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhth.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
21adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
3 pjhth.1 . . . . . . 7 𝐻 ∈ Cβ„‹
43cheli 31086 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
54ad2antrl 726 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
6 hvsubcl 30871 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ β„‹)
72, 5, 6syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ β„‹)
82adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
9 simplrl 775 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ π‘₯ ∈ 𝐻)
10 simpr 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ 𝑦 ∈ 𝐻)
11 simplrr 776 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))
12 eqid 2725 . . . . . 6 (((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) / ((𝑦 Β·ih 𝑦) + 1)) = (((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) / ((𝑦 Β·ih 𝑦) + 1))
133, 8, 9, 10, 11, 12pjhthlem1 31245 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) = 0)
1413ralrimiva 3136 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) = 0)
153chshii 31081 . . . . 5 𝐻 ∈ Sβ„‹
16 shocel 31136 . . . . 5 (𝐻 ∈ Sβ„‹ β†’ ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ (βŠ₯β€˜π») ↔ ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) = 0)))
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ (βŠ₯β€˜π») ↔ ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) = 0))
187, 14, 17sylanbrc 581 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ (βŠ₯β€˜π»))
19 hvpncan3 30896 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) = 𝐴)
205, 2, 19syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) = 𝐴)
2120eqcomd 2731 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ 𝐴 = (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)))
22 oveq2 7424 . . . 4 (𝑦 = (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑦) = (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)))
2322rspceeqv 3623 . . 3 (((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ (βŠ₯β€˜π») ∧ 𝐴 = (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜π»)𝐴 = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
2418, 21, 23syl2anc 582 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜π»)𝐴 = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
25 df-hba 30823 . . . 4 β„‹ = (BaseSetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
26 eqid 2725 . . . . 5 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
2726hhvs 31024 . . . 4 βˆ’β„Ž = ( βˆ’π‘£ β€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
2826hhnm 31025 . . . 4 normβ„Ž = (normCVβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
29 eqid 2725 . . . . 5 ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
3029, 15hhssba 31125 . . . 4 𝐻 = (BaseSetβ€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩)
3126hhph 31032 . . . . 5 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ CPreHilOLD
3231a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ CPreHilOLD)
3326, 29hhsst 31120 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ Sβ„‹ β†’ ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ (SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))
3415, 33ax-mp 5 . . . . . 6 ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ (SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
3529, 3hhssbnOLD 31133 . . . . . 6 ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ CBan
36 elin 3955 . . . . . 6 (⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ ((SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∩ CBan) ↔ (⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ (SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∧ ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ CBan))
3734, 35, 36mpbir2an 709 . . . . 5 ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ ((SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∩ CBan)
3837a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ ((SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∩ CBan))
3925, 27, 28, 30, 32, 38, 1minveco 30738 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))
40 reurex 3368 . . 3 (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))
4139, 40syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))
4224, 41reximddv 3161 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐻 βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜π»)𝐴 = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  βˆƒ!wreu 3362   ∩ cin 3938  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5143   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ≀ cle 11279   / cdiv 11901  SubSpcss 30575  CPreHilOLDccphlo 30666  CBanccbn 30716   β„‹chba 30773   +β„Ž cva 30774   Β·β„Ž csm 30775   Β·ih csp 30776  normβ„Žcno 30777   βˆ’β„Ž cmv 30779   Sβ„‹ csh 30782   Cβ„‹ cch 30783  βŠ₯cort 30784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218  ax-hilex 30853  ax-hfvadd 30854  ax-hvcom 30855  ax-hvass 30856  ax-hv0cl 30857  ax-hvaddid 30858  ax-hfvmul 30859  ax-hvmulid 30860  ax-hvmulass 30861  ax-hvdistr1 30862  ax-hvdistr2 30863  ax-hvmul0 30864  ax-hfi 30933  ax-his1 30936  ax-his2 30937  ax-his3 30938  ax-his4 30939  ax-hcompl 31056
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-rest 17403  df-topgen 17424  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lm 23151  df-haus 23237  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-cfil 25201  df-cau 25202  df-cmet 25203  df-grpo 30347  df-gid 30348  df-ginv 30349  df-gdiv 30350  df-ablo 30399  df-vc 30413  df-nv 30446  df-va 30449  df-ba 30450  df-sm 30451  df-0v 30452  df-vs 30453  df-nmcv 30454  df-ims 30455  df-ssp 30576  df-ph 30667  df-cbn 30717  df-hnorm 30822  df-hba 30823  df-hvsub 30825  df-hlim 30826  df-hcau 30827  df-sh 31061  df-ch 31075  df-oc 31106  df-ch0 31107
This theorem is referenced by:  pjhth  31247  omlsii  31257
  Copyright terms: Public domain W3C validator