HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pjhthlem2 31154
Description: Lemma for pjhth 31155. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjhth.1 𝐻 ∈ Cβ„‹
pjhth.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
Assertion
Ref Expression
pjhthlem2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐻 βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜π»)𝐴 = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐻,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Proof of Theorem pjhthlem2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhth.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
21adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
3 pjhth.1 . . . . . . 7 𝐻 ∈ Cβ„‹
43cheli 30994 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
54ad2antrl 725 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
6 hvsubcl 30779 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ β„‹)
72, 5, 6syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ β„‹)
82adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
9 simplrl 774 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ π‘₯ ∈ 𝐻)
10 simpr 484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ 𝑦 ∈ 𝐻)
11 simplrr 775 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))
12 eqid 2726 . . . . . 6 (((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) / ((𝑦 Β·ih 𝑦) + 1)) = (((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) / ((𝑦 Β·ih 𝑦) + 1))
133, 8, 9, 10, 11, 12pjhthlem1 31153 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) = 0)
1413ralrimiva 3140 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) = 0)
153chshii 30989 . . . . 5 𝐻 ∈ Sβ„‹
16 shocel 31044 . . . . 5 (𝐻 ∈ Sβ„‹ β†’ ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ (βŠ₯β€˜π») ↔ ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) = 0)))
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ (βŠ₯β€˜π») ↔ ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) = 0))
187, 14, 17sylanbrc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ (βŠ₯β€˜π»))
19 hvpncan3 30804 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) = 𝐴)
205, 2, 19syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) = 𝐴)
2120eqcomd 2732 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ 𝐴 = (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)))
22 oveq2 7413 . . . 4 (𝑦 = (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑦) = (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)))
2322rspceeqv 3628 . . 3 (((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ (βŠ₯β€˜π») ∧ 𝐴 = (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜π»)𝐴 = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
2418, 21, 23syl2anc 583 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜π»)𝐴 = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
25 df-hba 30731 . . . 4 β„‹ = (BaseSetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
26 eqid 2726 . . . . 5 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
2726hhvs 30932 . . . 4 βˆ’β„Ž = ( βˆ’π‘£ β€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
2826hhnm 30933 . . . 4 normβ„Ž = (normCVβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
29 eqid 2726 . . . . 5 ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
3029, 15hhssba 31033 . . . 4 𝐻 = (BaseSetβ€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩)
3126hhph 30940 . . . . 5 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ CPreHilOLD
3231a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ CPreHilOLD)
3326, 29hhsst 31028 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ Sβ„‹ β†’ ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ (SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))
3415, 33ax-mp 5 . . . . . 6 ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ (SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
3529, 3hhssbnOLD 31041 . . . . . 6 ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ CBan
36 elin 3959 . . . . . 6 (⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ ((SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∩ CBan) ↔ (⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ (SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∧ ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ CBan))
3734, 35, 36mpbir2an 708 . . . . 5 ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ ((SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∩ CBan)
3837a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ ((SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∩ CBan))
3925, 27, 28, 30, 32, 38, 1minveco 30646 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))
40 reurex 3374 . . 3 (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))
4139, 40syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))
4224, 41reximddv 3165 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐻 βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜π»)𝐴 = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  βˆƒ!wreu 3368   ∩ cin 3942  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  SubSpcss 30483  CPreHilOLDccphlo 30574  CBanccbn 30624   β„‹chba 30681   +β„Ž cva 30682   Β·β„Ž csm 30683   Β·ih csp 30684  normβ„Žcno 30685   βˆ’β„Ž cmv 30687   Sβ„‹ csh 30690   Cβ„‹ cch 30691  βŠ₯cort 30692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847  ax-hcompl 30964
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lm 23088  df-haus 23174  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-cfil 25138  df-cau 25139  df-cmet 25140  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-gdiv 30258  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-vs 30361  df-nmcv 30362  df-ims 30363  df-ssp 30484  df-ph 30575  df-cbn 30625  df-hnorm 30730  df-hba 30731  df-hvsub 30733  df-hlim 30734  df-hcau 30735  df-sh 30969  df-ch 30983  df-oc 31014  df-ch0 31015
This theorem is referenced by:  pjhth  31155  omlsii  31165
  Copyright terms: Public domain W3C validator