HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjhthlem2 30334
Description: Lemma for pjhth 30335. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjhth.1 𝐻C
pjhth.2 (𝜑𝐴 ∈ ℋ)
Assertion
Ref Expression
pjhthlem2 (𝜑 → ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐻,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem pjhthlem2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhth.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℋ)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → 𝐴 ∈ ℋ)
3 pjhth.1 . . . . . . 7 𝐻C
43cheli 30174 . . . . . 6 (𝑥𝐻𝑥 ∈ ℋ)
54ad2antrl 726 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → 𝑥 ∈ ℋ)
6 hvsubcl 29959 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 𝑥) ∈ ℋ)
72, 5, 6syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → (𝐴 𝑥) ∈ ℋ)
82adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) ∧ 𝑦𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
9 simplrl 775 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) ∧ 𝑦𝐻) → 𝑥𝐻)
10 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) ∧ 𝑦𝐻) → 𝑦𝐻)
11 simplrr 776 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) ∧ 𝑦𝐻) → ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))
12 eqid 2736 . . . . . 6 (((𝐴 𝑥) ·ih 𝑦) / ((𝑦 ·ih 𝑦) + 1)) = (((𝐴 𝑥) ·ih 𝑦) / ((𝑦 ·ih 𝑦) + 1))
133, 8, 9, 10, 11, 12pjhthlem1 30333 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) ∧ 𝑦𝐻) → ((𝐴 𝑥) ·ih 𝑦) = 0)
1413ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → ∀𝑦𝐻 ((𝐴 𝑥) ·ih 𝑦) = 0)
153chshii 30169 . . . . 5 𝐻S
16 shocel 30224 . . . . 5 (𝐻S → ((𝐴 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((𝐴 𝑥) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦𝐻 ((𝐴 𝑥) ·ih 𝑦) = 0)))
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 ((𝐴 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((𝐴 𝑥) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦𝐻 ((𝐴 𝑥) ·ih 𝑦) = 0))
187, 14, 17sylanbrc 583 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → (𝐴 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻))
19 hvpncan3 29984 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) = 𝐴)
205, 2, 19syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) = 𝐴)
2120eqcomd 2742 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → 𝐴 = (𝑥 + (𝐴 𝑥)))
22 oveq2 7365 . . . 4 (𝑦 = (𝐴 𝑥) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + (𝐴 𝑥)))
2322rspceeqv 3595 . . 3 (((𝐴 𝑥) ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 = (𝑥 + (𝐴 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
2418, 21, 23syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐻 ∧ ∀𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
25 df-hba 29911 . . . 4 ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
26 eqid 2736 . . . . 5 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
2726hhvs 30112 . . . 4 = ( −𝑣 ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
2826hhnm 30113 . . . 4 norm = (normCV‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
29 eqid 2736 . . . . 5 ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
3029, 15hhssba 30213 . . . 4 𝐻 = (BaseSet‘⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩)
3126hhph 30120 . . . . 5 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ CPreHilOLD
3231a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ CPreHilOLD)
3326, 29hhsst 30208 . . . . . . 7 (𝐻S → ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩))
3415, 33ax-mp 5 . . . . . 6 ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
3529, 3hhssbnOLD 30221 . . . . . 6 ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ CBan
36 elin 3926 . . . . . 6 (⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ ((SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∩ CBan) ↔ (⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ (SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∧ ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ CBan))
3734, 35, 36mpbir2an 709 . . . . 5 ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ ((SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∩ CBan)
3837a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩ ∈ ((SubSp‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩) ∩ CBan))
3925, 27, 28, 30, 32, 38, 1minveco 29826 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑥𝐻𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))
40 reurex 3357 . . 3 (∃!𝑥𝐻𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)) → ∃𝑥𝐻𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))
4139, 40syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐻𝑧𝐻 (norm‘(𝐴 𝑥)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑧)))
4224, 41reximddv 3168 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  ∃!wreu 3351  cin 3909  cop 4592   class class class wbr 5105   × cxp 5631  cres 5635  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  cle 11190   / cdiv 11812  SubSpcss 29663  CPreHilOLDccphlo 29754  CBanccbn 29804  chba 29861   + cva 29862   · csm 29863   ·ih csp 29864  normcno 29865   cmv 29867   S csh 29870   C cch 29871  cort 29872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his2 30025  ax-his3 30026  ax-his4 30027  ax-hcompl 30144
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lm 22580  df-haus 22666  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-ssp 29664  df-ph 29755  df-cbn 29805  df-hnorm 29910  df-hba 29911  df-hvsub 29913  df-hlim 29914  df-hcau 29915  df-sh 30149  df-ch 30163  df-oc 30194  df-ch0 30195
This theorem is referenced by:  pjhth  30335  omlsii  30345
  Copyright terms: Public domain W3C validator