HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pjhthlem2 30632
Description: Lemma for pjhth 30633. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjhth.1 𝐻 ∈ Cβ„‹
pjhth.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
Assertion
Ref Expression
pjhthlem2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐻 βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜π»)𝐴 = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐻,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Proof of Theorem pjhthlem2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhth.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
21adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
3 pjhth.1 . . . . . . 7 𝐻 ∈ Cβ„‹
43cheli 30472 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐻 β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
54ad2antrl 726 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
6 hvsubcl 30257 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ β„‹)
72, 5, 6syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ β„‹)
82adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ 𝐴 ∈ β„‹)
9 simplrl 775 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ π‘₯ ∈ 𝐻)
10 simpr 485 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ 𝑦 ∈ 𝐻)
11 simplrr 776 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))
12 eqid 2732 . . . . . 6 (((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) / ((𝑦 Β·ih 𝑦) + 1)) = (((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) / ((𝑦 Β·ih 𝑦) + 1))
133, 8, 9, 10, 11, 12pjhthlem1 30631 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) β†’ ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) = 0)
1413ralrimiva 3146 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) = 0)
153chshii 30467 . . . . 5 𝐻 ∈ Sβ„‹
16 shocel 30522 . . . . 5 (𝐻 ∈ Sβ„‹ β†’ ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ (βŠ₯β€˜π») ↔ ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) = 0)))
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ (βŠ₯β€˜π») ↔ ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐻 ((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) Β·ih 𝑦) = 0))
187, 14, 17sylanbrc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ (βŠ₯β€˜π»))
19 hvpncan3 30282 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝐴 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) = 𝐴)
205, 2, 19syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) = 𝐴)
2120eqcomd 2738 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ 𝐴 = (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)))
22 oveq2 7413 . . . 4 (𝑦 = (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) β†’ (π‘₯ +β„Ž 𝑦) = (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)))
2322rspceeqv 3632 . . 3 (((𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ (βŠ₯β€˜π») ∧ 𝐴 = (π‘₯ +β„Ž (𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜π»)𝐴 = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
2418, 21, 23syl2anc 584 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐻 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜π»)𝐴 = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
25 df-hba 30209 . . . 4 β„‹ = (BaseSetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
26 eqid 2732 . . . . 5 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
2726hhvs 30410 . . . 4 βˆ’β„Ž = ( βˆ’π‘£ β€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
2826hhnm 30411 . . . 4 normβ„Ž = (normCVβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
29 eqid 2732 . . . . 5 ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
3029, 15hhssba 30511 . . . 4 𝐻 = (BaseSetβ€˜βŸ¨βŸ¨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩)
3126hhph 30418 . . . . 5 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ CPreHilOLD
3231a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ CPreHilOLD)
3326, 29hhsst 30506 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ Sβ„‹ β†’ ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ (SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©))
3415, 33ax-mp 5 . . . . . 6 ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ (SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
3529, 3hhssbnOLD 30519 . . . . . 6 ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ CBan
36 elin 3963 . . . . . 6 (⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ ((SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∩ CBan) ↔ (⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ (SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∧ ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ CBan))
3734, 35, 36mpbir2an 709 . . . . 5 ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ ((SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∩ CBan)
3837a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩ ∈ ((SubSpβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©) ∩ CBan))
3925, 27, 28, 30, 32, 38, 1minveco 30124 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))
40 reurex 3380 . . 3 (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))
4139, 40syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐻 βˆ€π‘§ ∈ 𝐻 (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž π‘₯)) ≀ (normβ„Žβ€˜(𝐴 βˆ’β„Ž 𝑧)))
4224, 41reximddv 3171 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐻 βˆƒπ‘¦ ∈ (βŠ₯β€˜π»)𝐴 = (π‘₯ +β„Ž 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆƒ!wreu 3374   ∩ cin 3946  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  SubSpcss 29961  CPreHilOLDccphlo 30052  CBanccbn 30102   β„‹chba 30159   +β„Ž cva 30160   Β·β„Ž csm 30161   Β·ih csp 30162  normβ„Žcno 30163   βˆ’β„Ž cmv 30165   Sβ„‹ csh 30168   Cβ„‹ cch 30169  βŠ₯cort 30170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30239  ax-hfvadd 30240  ax-hvcom 30241  ax-hvass 30242  ax-hv0cl 30243  ax-hvaddid 30244  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulid 30246  ax-hvmulass 30247  ax-hvdistr1 30248  ax-hvdistr2 30249  ax-hvmul0 30250  ax-hfi 30319  ax-his1 30322  ax-his2 30323  ax-his3 30324  ax-his4 30325  ax-hcompl 30442
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lm 22724  df-haus 22810  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-cfil 24763  df-cau 24764  df-cmet 24765  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-ssp 29962  df-ph 30053  df-cbn 30103  df-hnorm 30208  df-hba 30209  df-hvsub 30211  df-hlim 30212  df-hcau 30213  df-sh 30447  df-ch 30461  df-oc 30492  df-ch0 30493
This theorem is referenced by:  pjhth  30633  omlsii  30643
  Copyright terms: Public domain W3C validator