Theorem pj3lem1 29654

Description: Lemma for projection triplet theorem. (Contributed by NM, 2-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjadj2co.1	⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
pjadj2co.2	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjadj2co.3	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pj3lem1	⊢ (𝐴 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem pj3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coass 5910	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐹) ∘ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))
2	1	fveq1i 6449	. 2 ⊢ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐹) ∘ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))‘𝐴)
3		elin 4019	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 ∩ (𝐺 ∩ 𝐻)) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)))
4		pjadj2co.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
5	4	cheli 28678	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → 𝐴 ∈ ℋ)
6	5	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)) → 𝐴 ∈ ℋ)
7	4	pjfi 29152	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐹): ℋ⟶ ℋ
8		pjadj2co.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
9	8	pjfi 29152	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
10		pjadj2co.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
11	10	pjfi 29152	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
12	9, 11	hocofi 29214	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ
13	7, 12	hocoi 29212	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐹) ∘ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))‘𝐴) = ((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)))
14	6, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)) → (((projℎ‘𝐹) ∘ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))‘𝐴) = ((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)))
15	8, 10	pjclem4a 29646	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴)
16		eleq1 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴 → ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) ∈ 𝐹 ↔ 𝐴 ∈ 𝐹))
17		pjid 29143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Cℋ ∧ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) ∈ 𝐹) → ((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴))
18	4, 17	mpan 680	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) ∈ 𝐹 → ((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴))
19	16, 18	syl6bir 246	. . . . . . . 8 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐹 → ((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)))
20		eqeq2 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴 → (((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) ↔ ((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)) = 𝐴))
21	19, 20	sylibd 231	. . . . . . 7 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐹 → ((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)) = 𝐴))
22	15, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻) → (𝐴 ∈ 𝐹 → ((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)) = 𝐴))
23	22	impcom 398	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)) → ((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)) = 𝐴)
24	14, 23	eqtrd 2814	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)) → (((projℎ‘𝐹) ∘ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))‘𝐴) = 𝐴)
25	3, 24	sylbi 209	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 ∩ (𝐺 ∩ 𝐻)) → (((projℎ‘𝐹) ∘ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))‘𝐴) = 𝐴)
26		inass 4044	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) = (𝐹 ∩ (𝐺 ∩ 𝐻))
27	25, 26	eleq2s 2877	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) → (((projℎ‘𝐹) ∘ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))‘𝐴) = 𝐴)
28	2, 27	syl5eq 2826	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3791   ∘ ccom 5361  ‘cfv 6137   ℋchba 28365   C_ℋ cch 28375  proj_ℎcpjh 28383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cc 9594  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354  ax-hilex 28445  ax-hfvadd 28446  ax-hvcom 28447  ax-hvass 28448  ax-hv0cl 28449  ax-hvaddid 28450  ax-hfvmul 28451  ax-hvmulid 28452  ax-hvmulass 28453  ax-hvdistr1 28454  ax-hvdistr2 28455  ax-hvmul0 28456  ax-hfi 28525  ax-his1 28528  ax-his2 28529  ax-his3 28530  ax-his4 28531  ax-hcompl 28648

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-omul 7850  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-acn 9103  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-xneg 12262  df-xadd 12263  df-xmul 12264  df-ioo 12496  df-ico 12498  df-icc 12499  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-fl 12917  df-seq 13125  df-exp 13184  df-hash 13442  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-clim 14636  df-rlim 14637  df-sum 14834  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-starv 16364  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-unif 16372  df-hom 16373  df-cco 16374  df-rest 16480  df-topn 16481  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-topgen 16501  df-pt 16502  df-prds 16505  df-xrs 16559  df-qtop 16564  df-imas 16565  df-xps 16567  df-mre 16643  df-mrc 16644  df-acs 16646  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-submnd 17733  df-mulg 17939  df-cntz 18144  df-cmn 18592  df-psmet 20145  df-xmet 20146  df-met 20147  df-bl 20148  df-mopn 20149  df-fbas 20150  df-fg 20151  df-cnfld 20154  df-top 21117  df-topon 21134  df-topsp 21156  df-bases 21169  df-cld 21242  df-ntr 21243  df-cls 21244  df-nei 21321  df-cn 21450  df-cnp 21451  df-lm 21452  df-haus 21538  df-tx 21785  df-hmeo 21978  df-fil 22069  df-fm 22161  df-flim 22162  df-flf 22163  df-xms 22544  df-ms 22545  df-tms 22546  df-cfil 23472  df-cau 23473  df-cmet 23474  df-grpo 27937  df-gid 27938  df-ginv 27939  df-gdiv 27940  df-ablo 27989  df-vc 28003  df-nv 28036  df-va 28039  df-ba 28040  df-sm 28041  df-0v 28042  df-vs 28043  df-nmcv 28044  df-ims 28045  df-dip 28145  df-ssp 28166  df-ph 28257  df-cbn 28308  df-hnorm 28414  df-hba 28415  df-hvsub 28417  df-hlim 28418  df-hcau 28419  df-sh 28653  df-ch 28667  df-oc 28698  df-ch0 28699  df-shs 28756  df-pjh 28843

This theorem is referenced by:  pj3si  29655