Theorem pj3lem1 31447

Description: Lemma for projection triplet theorem. (Contributed by NM, 2-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjadj2co.1	⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
pjadj2co.2	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjadj2co.3	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pj3lem1	⊢ (𝐴 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem pj3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coass 6262	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻)) = ((projℎ‘𝐹) ∘ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))
2	1	fveq1i 6890	. 2 ⊢ ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐹) ∘ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))‘𝐴)
3		elin 3964	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 ∩ (𝐺 ∩ 𝐻)) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)))
4		pjadj2co.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
5	4	cheli 30473	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → 𝐴 ∈ ℋ)
6	5	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)) → 𝐴 ∈ ℋ)
7	4	pjfi 30945	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐹): ℋ⟶ ℋ
8		pjadj2co.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
9	8	pjfi 30945	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
10		pjadj2co.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
11	10	pjfi 30945	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
12	9, 11	hocofi 31007	. . . . . . 7 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)): ℋ⟶ ℋ
13	7, 12	hocoi 31005	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐹) ∘ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))‘𝐴) = ((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)))
14	6, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)) → (((projℎ‘𝐹) ∘ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))‘𝐴) = ((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)))
15	8, 10	pjclem4a 31439	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻) → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴)
16		eleq1 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴 → ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) ∈ 𝐹 ↔ 𝐴 ∈ 𝐹))
17		pjid 30936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Cℋ ∧ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) ∈ 𝐹) → ((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴))
18	4, 17	mpan 689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) ∈ 𝐹 → ((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴))
19	16, 18	syl6bir 254	. . . . . . . 8 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐹 → ((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)))
20		eqeq2 2745	. . . . . . . 8 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴 → (((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)) = (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) ↔ ((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)) = 𝐴))
21	19, 20	sylibd 238	. . . . . . 7 ⊢ ((((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐹 → ((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)) = 𝐴))
22	15, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻) → (𝐴 ∈ 𝐹 → ((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)) = 𝐴))
23	22	impcom 409	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)) → ((projℎ‘𝐹)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴)) = 𝐴)
24	14, 23	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 ∩ 𝐻)) → (((projℎ‘𝐹) ∘ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))‘𝐴) = 𝐴)
25	3, 24	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹 ∩ (𝐺 ∩ 𝐻)) → (((projℎ‘𝐹) ∘ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))‘𝐴) = 𝐴)
26		inass 4219	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) = (𝐹 ∩ (𝐺 ∩ 𝐻))
27	25, 26	eleq2s 2852	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) → (((projℎ‘𝐹) ∘ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐻)))‘𝐴) = 𝐴)
28	2, 27	eqtrid 2785	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((𝐹 ∩ 𝐺) ∩ 𝐻) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3947   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6541   ℋchba 30160   C_ℋ cch 30170  proj_ℎcpjh 30178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187  ax-hilex 30240  ax-hfvadd 30241  ax-hvcom 30242  ax-hvass 30243  ax-hv0cl 30244  ax-hvaddid 30245  ax-hfvmul 30246  ax-hvmulid 30247  ax-hvmulass 30248  ax-hvdistr1 30249  ax-hvdistr2 30250  ax-hvmul0 30251  ax-hfi 30320  ax-his1 30323  ax-his2 30324  ax-his3 30325  ax-his4 30326  ax-hcompl 30443

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-lm 22725  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cfil 24764  df-cau 24765  df-cmet 24766  df-grpo 29734  df-gid 29735  df-ginv 29736  df-gdiv 29737  df-ablo 29786  df-vc 29800  df-nv 29833  df-va 29836  df-ba 29837  df-sm 29838  df-0v 29839  df-vs 29840  df-nmcv 29841  df-ims 29842  df-dip 29942  df-ssp 29963  df-ph 30054  df-cbn 30104  df-hnorm 30209  df-hba 30210  df-hvsub 30212  df-hlim 30213  df-hcau 30214  df-sh 30448  df-ch 30462  df-oc 30493  df-ch0 30494  df-shs 30549  df-pjh 30636

This theorem is referenced by:  pj3si  31448