Theorem hstrlem3 30017

Description: Lemma for strong set of CH states theorem: the function 𝑆, that maps a closed subspace to the square of the norm of its projection onto a unit vector, is a state. This lemma restates the hypotheses in a more convenient form to work with. (Contributed by NM, 30-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hstrlem3.1	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((projℎ‘𝑥)‘𝑢))
hstrlem3.2	⊢ (𝜑 ↔ (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1))
hstrlem3.3	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
hstrlem3.4	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
hstrlem3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CHStates)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑢   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢)   𝐴(𝑢)   𝐵(𝑢)   𝑆(𝑥,𝑢)

Proof of Theorem hstrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hstrlem3.2	. 2 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1))
2		eldifi 4086	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → 𝑢 ∈ 𝐴)
3		hstrlem3.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
4	3	cheli 28988	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ 𝐴 → 𝑢 ∈ ℋ)
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → 𝑢 ∈ ℋ)
6		hstrlem3.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ Cℋ ↦ ((projℎ‘𝑥)‘𝑢))
7	6	hstrlem3a 30016	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ CHStates)
8	5, 7	sylan 582	. 2 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ (normℎ‘𝑢) = 1) → 𝑆 ∈ CHStates)
9	1, 8	sylbi 219	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CHStates)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3916   ↦ cmpt 5127  ‘cfv 6336  1c1 10519   ℋchba 28675  norm_ℎcno 28679   C_ℋ cch 28685  proj_ℎcpjh 28693  CHStateschst 28719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7442  ax-inf2 9085  ax-cc 9838  ax-cnex 10574  ax-resscn 10575  ax-1cn 10576  ax-icn 10577  ax-addcl 10578  ax-addrcl 10579  ax-mulcl 10580  ax-mulrcl 10581  ax-mulcom 10582  ax-addass 10583  ax-mulass 10584  ax-distr 10585  ax-i2m1 10586  ax-1ne0 10587  ax-1rid 10588  ax-rnegex 10589  ax-rrecex 10590  ax-cnre 10591  ax-pre-lttri 10592  ax-pre-lttrn 10593  ax-pre-ltadd 10594  ax-pre-mulgt0 10595  ax-pre-sup 10596  ax-addf 10597  ax-mulf 10598  ax-hilex 28755  ax-hfvadd 28756  ax-hvcom 28757  ax-hvass 28758  ax-hv0cl 28759  ax-hvaddid 28760  ax-hfvmul 28761  ax-hvmulid 28762  ax-hvmulass 28763  ax-hvdistr1 28764  ax-hvdistr2 28765  ax-hvmul0 28766  ax-hfi 28835  ax-his1 28838  ax-his2 28839  ax-his3 28840  ax-his4 28841  ax-hcompl 28958

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3012  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7095  df-ov 7140  df-oprab 7141  df-mpo 7142  df-of 7390  df-om 7562  df-1st 7670  df-2nd 7671  df-supp 7812  df-wrecs 7928  df-recs 7989  df-rdg 8027  df-1o 8083  df-2o 8084  df-oadd 8087  df-omul 8088  df-er 8270  df-map 8389  df-pm 8390  df-ixp 8443  df-en 8491  df-dom 8492  df-sdom 8493  df-fin 8494  df-fsupp 8815  df-fi 8856  df-sup 8887  df-inf 8888  df-oi 8955  df-card 9349  df-acn 9352  df-pnf 10658  df-mnf 10659  df-xr 10660  df-ltxr 10661  df-le 10662  df-sub 10853  df-neg 10854  df-div 11279  df-nn 11620  df-2 11682  df-3 11683  df-4 11684  df-5 11685  df-6 11686  df-7 11687  df-8 11688  df-9 11689  df-n0 11880  df-z 11964  df-dec 12081  df-uz 12226  df-q 12331  df-rp 12372  df-xneg 12489  df-xadd 12490  df-xmul 12491  df-ioo 12724  df-ico 12726  df-icc 12727  df-fz 12878  df-fzo 13019  df-fl 13147  df-seq 13355  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-rlim 14826  df-sum 15023  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-starv 16558  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-unif 16566  df-hom 16567  df-cco 16568  df-rest 16674  df-topn 16675  df-0g 16693  df-gsum 16694  df-topgen 16695  df-pt 16696  df-prds 16699  df-xrs 16753  df-qtop 16758  df-imas 16759  df-xps 16761  df-mre 16835  df-mrc 16836  df-acs 16838  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-submnd 17935  df-mulg 18203  df-cntz 18425  df-cmn 18886  df-psmet 20515  df-xmet 20516  df-met 20517  df-bl 20518  df-mopn 20519  df-fbas 20520  df-fg 20521  df-cnfld 20524  df-top 21480  df-topon 21497  df-topsp 21519  df-bases 21532  df-cld 21605  df-ntr 21606  df-cls 21607  df-nei 21684  df-cn 21813  df-cnp 21814  df-lm 21815  df-haus 21901  df-tx 22148  df-hmeo 22341  df-fil 22432  df-fm 22524  df-flim 22525  df-flf 22526  df-xms 22908  df-ms 22909  df-tms 22910  df-cfil 23836  df-cau 23837  df-cmet 23838  df-grpo 28249  df-gid 28250  df-ginv 28251  df-gdiv 28252  df-ablo 28301  df-vc 28315  df-nv 28348  df-va 28351  df-ba 28352  df-sm 28353  df-0v 28354  df-vs 28355  df-nmcv 28356  df-ims 28357  df-dip 28457  df-ssp 28478  df-ph 28569  df-cbn 28619  df-hnorm 28724  df-hba 28725  df-hvsub 28727  df-hlim 28728  df-hcau 28729  df-sh 28963  df-ch 28977  df-oc 29008  df-ch0 29009  df-shs 29064  df-chj 29066  df-pjh 29151  df-hst 29968

This theorem is referenced by:  hstrlem6  30020  hstri  30021